线段、射线、直线（提高）知识讲解

1 线段、射线、直线（提高）知识讲解 【学习目标】 1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示； 2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验； 3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题； 4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力. 【要点梳理】 要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法 1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最 基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线. （2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 要点诠释： （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图 1、图 2、图 3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用 两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 要点诠释： （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示， 但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和 任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺 序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射 线．如下图 4 中射线 OA，射线 OB 是不同的射线； 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图 5 中射线 OA、射线 OB、射线 OC 都表示同一条射线． 图 4 图 52 （2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图示 表示方法 线段 AB 或线段 a 射线 OA 或射线 a 直线 AB 或直线 a 端点 两个 一个 无 长度 可度量 不可度量 不可度量 延伸性 不向两方延伸　 向一方无限延伸 向两方无限延伸 要点二、基本性质 1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点诠释： （1）点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图 6 中，点 O 在直线 l 上，也可以说成是直线 l 经过点 O； ②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图 6 中，点 P 在直线 l 外，也可以说直线 l 不经过点 P. （2）两条不同的直线相交只有一个交点. 2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图 7 所示，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最短的． 要点诠释： （1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点三、比较线段的长短 1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 AB＝ a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段 图 73 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段. 2.线段的比较： （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端 点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点 C 是线段 AB 的中点，则 ，或 AB＝2AC＝2BC． 要点诠释：若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上． 【典型例题】 类型一、有关概念 1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段． 【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段 CB、BC、BE 的延长线上的点，也就是说，A、 D、F 三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段 了． 【答案与解析】 解：直线有一条：直线 AD； 射线有六条：射线 BA、射线 BD、射线 CA、射线 CD、射线 BF、射线 EF； 线段有三条：线段 BC、线段 BE、线段 CE． 【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延 长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成 了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的， 只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点． 举一反三： 【高清课堂：直线、射线、线段 397363 拓展 4】 【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这 是为什么?画图说明. 【答案】 解： 1 2AC CB AB= =4 ∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.） ∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两 个公共点. 类型二、有关作图 2．（2016 春•高青县期中）已知平面上四点 A、B、C、D，如图： （1）画直线 AD； （2）画射线 BC，与 AD 相交于 O； （3）连结 AC、BD 相交于点 F． 【思路点拨】（1）画直线 AD，连接 AD 并向两方无限延长；（2）画射线 BC，以 B 为端点向 BC 方向延长交 AD 于点 O；（3）连接各点，其交点即为点 F． 【答案与解析】 解：如图所示： 【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题 的关键． 举一反三： 【变式 1】下列说法正确的有 ( ) ①射线与其反向延长线成一条直线； ②直线 a、b 相交于点 m； ③两直线相交于两个交点； ④直线 A 与直线 B 相交于点 M A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个5 【答案】C 【变式 2】下列说法中，正确的个数有( ) ①已知线段 a，b 且 a-b＝c，则 c 的值不是正的就是负的； ②已知平面内的任意三点 A，B，C 则 AB+BC≥AC； ③延长 AB 到 C，使 BC＝AB，则 AC＝2AB； ④直线上的顺次三点 D、E、F，则 DE+EF＝DF． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 类型三、个（条）数或长度的计算 3. 根据题意，完成下列填空． 如图所示， 与 是同一平面内的两条相交直线，它们有 1 个交点，如果在这个平面内， 再画第 3 条直线 ，那么这 3 条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第 4 条 直线 ，那么这 4 条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6 条直线最多可有________个交点，n(n 为大于 1 的整数)条直线最多可有________个交点(用 含有 n 的代数式表示)． 【答案】3， 6， 15， . 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好 3 条直线最多可有 2+1＝3 个交点，再类推 4 条直线，5 条直线，6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般 性的结论． 【 总 结 升 华 】 n(n 为 大 于 1 的 整 数 ) 条 直 线 的 交 点 最 多 可 有 ： 个. 举一反三： 【变式 1】平面上有 个点，最多可以确定 条直线. 【答案】 【变式 2】一条直线有 个点，最多可以确定 条线段， 条射线. 【答案】 ， 【高清课堂：直线、射线、线段 397363 拓展 1（4）】 【变式 3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 【答案】0 个，1 个，2 个，或 3 个. 4. 已知线段 AB＝14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4cm，M 是线段 AC 的中点，求 线段 AM 的长． 1l 2l 3l 4l ( 1) 2 n n − ( 1)1 2 3 ... ( 1) 2 n nn −+ + + + − = n ( 1) 2 n n − n ( 1) 2 n n − 2n6 【思路点拨】题目中只说明了 A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点 C 在线段 AB 上，还 是在线段 AB 外(也就是在线段 AB 的延长线上)．所以要分两种情况求线段 AM 的长． 【答案与解析】 解：①当点 C 在线段 AB 上时，如图所示． 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 ． 又因为 AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm， 所以 ． ②当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示． 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 ． 又因为 AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm， 所以 9(cm)． 所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm． 【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即 当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论． 举一反三： 【变式】（2014 秋•温州期末）已知点 B 在直线 AC 上，线段 AB=8cm，AC=18cm，P、Q 分别是 线段 AB、AC 的中点，则线段 PQ=　 　． 【答案】13cm 或 5cm． 解：当点 C 在点 A 左侧时，AP= AC=9，AQ= AB=4， ∴PQ=AQ+AP=9+4=13cm． 当点 C 在点 B 右侧时，AP= AB=4cm，BC=AC﹣AB=10cm，AQ= ，AC=9， PQ=AQ﹣AP=9﹣4=5cm． 故答案为：13cm 或 5cm． ． 类型四、路程最短问题 5.（2015 春•嵊州市期末）某公司员工分别在 A、B、C 三个住宅区，A 区有 30 人，B 区有 30 人，C 区有 10 人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间 1 2AM AC= 1 ( )2AM AB BC= − 1 (14 4) 5(cm)2 = − = 1 2AM AC= 1 ( )2AM AB BC= + =7 只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 （　　） 　 A．A 区 B． B 区 C． C 区 D． A、B 两区之间 【答案】B． 【解析】 解：①设在 A 区、B 区之间时，设距离 A 区 x 米， 则所有员工步行路程之和=30x+30（100﹣x）+10（100+200﹣x）， =30x+3000﹣30x+3000﹣10x， =﹣10x+6000， ∴当 x 最大为 100 时，即在 B 区时，路程之和最小，为 5000 米； ②设在 B 区、C 区之间时，设距离 B 区 x 米， 则所有员工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200﹣x）， =3000+30x+30x+2000﹣10x， =50x+5000， ∴当 x 最大为 0 时，即在 B 区时，路程之和最小，为 5000 米； 综上所述，停靠点的位置应设在 B 区． 【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员 工步行的路程和，选择最小的即可得解. 举一反三： 【变式】如图，从 A 到 B 最短的路线是（　　）. A．A-G-E-B B．A-C-E-B C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B 【 答 案 】 D8 【巩固练习】 一、选择题 1．下列说法中正确的是( ) . A．直线 BA 与直线 AB 是同一条直线. B．延长直线 AB. C．经过三点可作一条直线. D．直线 AB 的长为 2cm. 2．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置 关系是（ ）. A．任意三点都不共线. B．有且仅有三点共线. C．有两点在另外两点确定的直线外. D．以上答案都不对. 3．A、B 是平面上两点，AB＝10cm，P 为平面上一点，若 PA+PB＝20cm，则 P 点（ ）. A．只能在直线 AB 外. B．只能在直线 AB 上. C．不能在直线 AB 上. D．不能在线段 AB 上． 4.根据语句“点 M 在直线 a 外，过 M 有一直线 b 交直线 a 于点 N、直线 b 上另一点 Q 位于 M、 N 之间”画图，正确的是( )． 5．（2015•邯郸二模）如图，C、D 是线段 AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数， 且总和为 29，则线段 AB 的长度是（　　） 　 A．8 B． 9 C． 8 或 9 D． 无法确定 6．（2016•花都区一模）已知线段 AB=8cm，点 C 是直线 AB 上一点，BC=2cm，若 M 是 AB 的中 点，N 是 BC 的中点，则线段 MN 的长度为（　　） A．5cm B．5cm 或 3cm C．7cm 或 3cm D．7cm 7．如图所示，从 A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从 A 地到 B 地 有 2 条水路、2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，走空中从 A 地不到 B 地而 直接到 C 地，则从 A 地到 C 地可供选择的方案有( )． A．20 种 B．8 种 C．5 种 D．13 种 8．如图所示，“回”字形的道路宽为 1 米，整个“回”字形的道路构 成了一个长为 8 米，宽为 7 米的长方形，一个人从入口点 A 沿着道路 中央走到终点 B，他共走了( )． A．55 米 B．55.5 米 C．56 米 D．56.6 米 二、填空题 9.（2015 春•烟台期末）在直线 l 上顺次取 A、B、C 三点，使得 AB=3cm，BC=5cm，若点 D 是 线段 AC 的中点，则线段 DB 的长度等于　　cm． 10．如图所示，OD、OE 是两条射线，A 在射线 OD 上，B、C 在射线 OE 上，则图有共有线段 ________条，分别是________；共有________条射线，分别是________．9 11.如图，AB=6，BC=4，D、E 分别是 AB、BC 的中点，则 BD+BE= ， 根据公理： ，可知 BD+BE DE. 12.经过平面上三点可以画 条直线. 13．同一平面内三条线直线两两相交，最少有 个交点，最多有 个交点. 14.如图所示，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按 逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，…．则“17”在射线________上； “2007”在射线________上． 三、解答题 15.如图所示一只蚂蚁在 A 处，想到 C 处的最短路线，请画出简图，并说明理 由. 16．小明发现这样一个问题：“在一次聚会中，共有 6 人参加，如果每两人都握一次手，共 握几次手?”通过思考，小明得出了答案， 那请问同学们：如果有 n 个人参加聚会，每两人 都握一次手，一共要握多少次手呢? 17.（2016 春•岱岳区期中）如图，M 是线段 AB 的中点，点 C 在线段 AB 上，且 AC=8cm，N 是 AC 的中点，MN=6cm，求线段 AB 的长． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A； 2．【答案】B； 3．【答案】D； 【解析】若点 P 在线段 AB 上，则有 PA+PB＝10．cm，故这种情况不可能． 4. 【答案】D； 【解析】逐一排除． 5.【答案】C． 【解析】根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29， 即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29， 3AB+CD=29， ∵图中所有线段的长度都是正整数， ∴当 CD=1 时，AB 不是整数， 第 10 题 第 11 题 第 14 题10 当 CD=2 时，AB=9， 当 CD=3 时，AB 不是整数， 当 CD=4 时，AB 不是整数， 当 CD=5 时，AB=8， … 当 CD=8 时，AB=7， 又∵AB＞CD， ∴AB 只有为 9 或 8． 6．【答案】B； 【解析】解：如图 1 由 M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，得 MB= AB=4cm，BN= BC=1cm， 由线段的和差，得 MN=MB+BN=4+1=5cm； 如图 2 由 M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，得 MB= AB=4cm，BN= BC=1cm， 由线段的和差，得 MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm； 故选：B． 7．【答案】D； 【解析】从 A 地直接到 C 地只有 1 种方案；先从 A 到 B，再到 C 地有 4×3＝12 种方案， 所以共有 12+1＝13 种方案可供选择． 8．【答案】C； 【解析】他走的路程分别为 7.5 米、6 米、7 米、5 米、6 米、4 米、5 米、3 米、4 米、2 米、3 米、1 米、2.5 米，其和为 56 米． 二、填空题 9.【答案】1. 【解析】如图，由题意得，AC=AB+BC=8cm，又∵D 是线段 AC 的中点， ∴CD= （AB+BC）=4cm，∴BD=BC﹣CD=1cm．故答案为：1． 10.【答案】6，线段 OA、OB、OC、BC、AC、AB； 5，射线 OD、OE、BE、AD、CE． 11.【答案】5，两点之间线段最短，>． 【解析】线段的基本性质．11 12.【答案】1 或 3． 【解析】三点在一条直线时，只能确定一条直线；当三点不共线线上，可确定三条直 线． 13.【答案】1, 3． 【解析】如下图，三条直线两两相交有两种情况： 14.【答案】OE、OC ． 【解析】当数字为 6n+1(n≥0)时在射线 OA 上；当数字为 6n+2 时在射线 OB 上；当数字 为 6n+3 时在射线 OC 上；当数字为 6n+4 时在射线 OD 上；当数字为 6n+5 时在射 线 OE 上；当数字为 6n 时在射线 OF 上． 三、解答题 15.【解析】 解：如图所示一只蚂蚁在 A 处，想到 C 处的最短路线如图所示， 理由是：两点之间，线段最短.（圆柱的侧面展开图是长方形，是一个平面） 16．【解析】 解：若 6 人，共握手：5+4+3+2+1=15（次） 若有 个人，一共要握(n-1)+(n-2)+…+4+3+2+1 次手． 17.【解析】 解：由 AC=8cm，N 是 AC 的中点，得 AN= AC=4cm． 由线段的和差，得 AM=AN+MN=4+6=10cm． 由 M 是线段 AB 的中点，得 AB=2AM=20cm， 线段 AB 的长是 20cm． n ( 1) 2 n n −=