角（提高）知识讲解

1 角（提高）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算. 【要点梳理】 要点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部．如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始 位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无 关． （2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直 线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周 角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图 1 图 22 要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出 30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1°的角，1° 的 为 1 分，记作“1′”，1′的 为 1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角 的度量制，叫做角度制． 1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得 数大于 60 时要向高一位进位． 要点三、角的比较与运算 1.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法 1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法 2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由 图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 1 60 1 603 2.角的和、差运算 如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差， 记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点诠释： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边 与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出 30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画 出 15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图 所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC = ∠AOB． 要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 要点四、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线 OA 的方向是北偏 东 60°；射线 OB 的方向是南偏西 30°．这里的“北偏东 60°”和“南偏西 30°”表示方 向的角，就叫做方位角． 要点诠释： （1）正东，正西，正南，正北 4 个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 60°”一般不说成“东偏北 30 °” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点 O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以 O 为端点． 要点五、钟表上有关夹角问题 钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30°的角，分针 1 分钟转 6°， 时针每小时转 30°，时针 1 分钟转 0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计 算问题． 1 24 【典型例题】 类型一、角的概念 1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于 180°的角，试一一画出来． 【思路点拨】首先发现一副三角板上有 30°，45°，60°，90°这样 4 个不相等的角，利 用这些角进行一次和差，可得小于 180°的所有角． 【答案与解析】 解：除了可以画 30°，45°，60°，90°外，还可画 15°，75°，105°，120°，135°， 150°，165°的七个度数的角，画法如图所示． 【总结升华】利用一副三角板共可以画出 11 个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90 °，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°． 举一反三： 【变式】（2015 春•成武县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 【答案】C． 类型二、角度制的换算 2. 计算下列各题： (1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″； (3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3． 【答案与解析】 解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″5 即：152°49′12″+20.18°＝173°． 解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°， ∴ 152.82°+20.18°＝173°． 即：152°49′12″+20.18°＝173°． (2)将 82°化为 81°59′60″，则 ∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″． 423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′， ∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″． ∴ 41°37′÷3=13°52′20″． 【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算； 在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满 60″进 1′，满 60′进 1 °；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒 和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入． 举一反三： 【变式】计算： (1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″； (3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4． 【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°； (2)180°-98°24′30″＝81°35′30″； (3)15°50′42″×3＝47°32′6″； (4)88°14′48″÷4＝22°3′42″． 类型三、角的比较与运算 3. 如图所示表示两块三角板．6 (1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2 的大小； (2)量出图中各角的度数，并把图中的 6 个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连 接． 【答案与解析】 解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法， 可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α． (2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β ＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ． 【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条 边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较． 举一反三： 【变式】如图，∠AOB 的平分线 OM,ON 为∠MOA 内的一条射线，OG 为∠AOB 外的一条射线.某 同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝ （∠BON－∠AON），你认为这个同学得到 的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来. 【答案】 解：正确，理由如下： ∵∠AOB 的平分线 OM， ∴∠AOM＝∠MOB 又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON ∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON ∴∠MON＝ （∠BON－∠AON） 1 2 1 27 4.（2016 春•龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且 OM 平分∠BOC，ON 平 分∠AOC， （1）求∠MON 的度数； （2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON 的度数； （3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON 的度数； （4）从上面结果中看出有什么规律？ 【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即 可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的 结论进行总结． 【答案与解析】 解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°， ∴∠BOC=120° ∵OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC ∴∠COM=60°，∠CON=15° ∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°． （2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°， ∴∠BOC=α+30° ∵OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC ∴∠COM= +15°，∠CON=15° ∴∠MON=∠COM﹣∠CON= ． （3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β， ∴∠BOC=90°+β ∵OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC ∴∠COM=45°+ ，∠CON= ． ∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现： ∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关． 【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示 角之间的倍分关系． 【高清课堂：角 397364 角的有关计算例 4】 举一反三： 【变式】如图，已知 O 是直线 AC 上一点，OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC 内，且∠BOE＝ ∠EOC， ∠DOE＝70°，求∠EOC 的度数. 1 28 【答案】 解：设∠EOC= °，则∠BOE＝ ∠EOC＝ °，根据题意可得： ， 解得： . ∠EOC＝2∠BOE＝80°. 类型四、方位角 5.（2015•浦东新区三模）已知小岛 A 位于基地 O 的东南方向，货船 B 位于基地 O 的北 偏东 50°方向，那么∠AOB 的度数等于　 　． 【答案】85°． 【解析】 解：如图：∵∠2=50°， ∴∠3=40°， ∵∠1=45°， ∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°． 【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出 A，B 的 方位，注意东南方向是 45 度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题 6. 在 7 时到 7 时 10 分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】 解：设 7 时 x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得： x 1 2 1 2 x 1180 12 702 2 x x x − − + = 80x =9 ， ． 答：7 时 分钟时针与分针成一条直线． 【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一 定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为 ＝6°/分；②时针的速度为 ＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的 12 倍． 举一反三： 【变式】某人下午 6 点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为 110°，下午 7 点前回家 时，发现表上的时针和分针的夹角又是 110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】 解：设此人外出用了 x 分钟，则分针转了 6x 度，时针转了 0.5x 度．根据题意得： 6x-0.5x＝110×2，解之得 x＝40． 答 ： 此 人 外 出 购 物 用 了 40 分 钟 的 时 间 ． 16 302x x− = 5511x = 5511 360 60 30 60 ° 分10 【巩固练习】 一、选择题 1．关于平角、周角的说法正确的是( )． A．平角是一条直线. B．周角是一条射线． C．反向延长射线 OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角． 2.（2015 春•淄博校级期中）在时刻 8：30 时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是 （　　） A．60° B．70° C．75° D．85° 3．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点 O，则∠AOB+∠DOC 的值 （ ）． A．小于 180° B．等于 180° C．大于 180° D．不能确定 4．（2016•朝阳区校级模拟）下面等式成立的是（　　） A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48° C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′ 5. 如图，OB、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB，ON 平分∠COD，若∠MON＝α，∠ BOC＝β，则表示∠AOD 的式子是（ ）． A．2α－β B．α－β C．α＋β D．以上都不正确 6．（2016 春•福田区期末）如图，O 为我国南海某人造海岛，某国商船在 A 的位置，∠ 1=40°，下列说法正确的是（　　） A．商船在海岛的北偏西 50°方向 B．海岛在商船的北偏西 40°方向 C．海岛在商船的东偏南 50°方向 D．商船在海岛的东偏南 40°方向 二、填空题 7．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点 A、B、C 来表示，书店在学校的北偏西 30 °，食堂在学校的南偏东 15°，则平面图上的∠ABC 应该是 ． 8．把一个平角 16 等分，则每份(用度、分、秒表示)为__________．11 9．如图所示，∠AOC 与∠BOD 都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______． 10.（2015 春•高密市期末）从 A 沿北偏东 60°的方向行驶到 B，再从 B 沿南偏西 20°的方 向行驶到 C，则∠ABC=　 　度． 11．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等 于 ． 12．如图，在 的内部从 引出 3 条射线，那么图中共有__________个角；如果引出 5 条射线，有 __ 个角；如果引出 条射线，有 _ 个角． 三、解答题 13．（2015 春•平南县期中）如图，在 A、B 两处之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路 走向是北偏东 46°，A、B 两地同时开工，若干天后公路准确接通． （1）B 地修公路的走向是南偏西多少度？ （2）若公路 AB 长 12 千米，另一条公路 BC 长 6 千米，且 BC 的走向是北偏西 44°，试求 A 到公路 BC 的距离？ 14. （2016 春•威海期中）如图，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作直线 OC，已知∠AOC≠ 90°，射线 OD 平分∠AOC，射线 OE 平分∠BOC，射线 OF 平分∠DOE．求： AOE∠ O n12 （1）当 0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB+∠DOC 的度数； （2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC 的度数． 15. 如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC=60°，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC． （1）求∠EOF 的度数； （2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用 x 的代数式来表示 y； （3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF 是多少度？ 16．如图①，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝ 90°) ． (1)将图①中的三角板绕点 O 旋转一定的角度得图②，使边 OM 恰好平分∠BOC，问：ON 是否 平分∠AOC?请说明理由； (2)将图①中的三角板绕点 O 旋转一定的角度得图③，使边 ON 在∠BOC 的内部，如果∠BOC＝ 60°，则∠BOM 与∠NOC 之间存在怎样的数量关系? 请说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】角与直线、射线、线段是不同的几何图形，不能混淆． 2．【答案】C． O B C E A F13 【解析】8 点 30 分，时针和分针中间相差 2.5 个大格．∵钟表 12 个数字，每相邻两个数 字之间的夹角为 30°，∴8 点 30 分分针与时针的夹角是 2.5×30°=75°. 3．【答案】B； 【解析】∠AOB+∠DOC=(∠AOC+∠BOC)+( 90°－∠BOC) =90°+90°=180°． 4．【答案】D 【解析】解：A、83.5°=83°50′，错误； B、37°12′=37.48°，错误； C、24°24′24″=24.44°，错误； D、41.25°=41°15′，正确． 故选 D． 5. 【答案】A； 6．【答案】B； 【解析】解：如图， ∵EF∥BC， ∴∠2=∠1=40°， ∴海岛在商船的北偏西 40°方向， 故选 B． 二、填空题 7. 【答案】165°； 【解析】如图所示． 8. 【答案】11°15′； 【解析】度、分、秒的换算为“六十进制”，上一级的余数乘以 60，变换到下一级再运 算． 9.【答案】20°； 【解析】设∠AOB＝2x，则∠AOD＝11x，∠DOC＝2x，所以∠BOC＝7x，所以 2x+7x＝90 °，x＝10°，∠AOB＝2x＝20°． 10.【答案】40． 【解析】如图，A 沿北偏东 60°的方向行驶到 B，则∠BAC=90°﹣60°=30°， B 沿南偏西 20°的方向行驶到 C，则∠BCO=90°﹣20°=70°， 又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC， ∴∠ABC=70°﹣30°=40°．14 11.【答案】60°； 【解析】连接 BC，可得：△ABC 为等边三角形． 12.【答案】10, 21， ； 【 解 析 】 在 的 内 部 从 引 出 3 条 射 线 ， 则 图 中 共 有 角 的 个 数 ： ； 如果引出 5 条射线，则图中共有角的个数： ； 如果引出 条射线，则图中共有角的个数： ． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知 B 地所修公路的走向是南偏西 46°； （2）∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣46°﹣44°=90°， ∴AB⊥BC， ∴A 地到公路 BC 的距离是 AB=12 千米． 14．【解析】 解：如图 1， （1）∵射线 OD 平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD， ∵射线 OE 平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOE， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= ∠AOC+ ∠BOC=90°， ∵OF 平分∠DOE， ∴∠DOF=∠EOF= ∠DOE=45°， ∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°﹣∠DOF=180°﹣45°=135°； （2）设∠AOD=∠COD=x°，则∠AOC=2x°， 由（1）的证明过程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°， ∠AOC≠90°，分情况考虑如下： ①当∠AOC 为锐角时，如图 1，∠COF=∠DOF﹣∠COD=45°﹣x， ( 1)( 2) 2 n n+ + AOE∠ O 4 3 2 1 10+ + + = 6 5 4 3 2 1 21+ + + + + = n ( 1)( 2)( 1) ( 1) ... 1 2 n nn n n + ++ + + − + + =15 ∵∠DOC=3∠COF， ∴x=3•（45°﹣x）， 解得 x=33.75°， ∴∠AOC=2x=67.5°． ②当∠AOC 为钝角时，如图 2，∠COF=∠COD﹣∠DOF=x﹣45°， ∵∠DOC=3∠COF， ∴x=3•（x﹣45°）， 解得 x=67.5°， ∴∠AOC=2x=135°． 综合，可得∠AOC=67.5°或 135°． 15.【解析】 解：（1）∵∠AOB 是直角，∠BOC=60°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°， ∵OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC， ∴∠EOC= ∠AOC= ×150°=75°，∠COF= ∠BOC==30°， ∴∠EOF=∠EOC-∠COF=75°-30°=45°； （2）∵∠AOB 是直角，∠AOC=x°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=x°-90°， ∵OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC， ∴∠EOC= ∠AOC= x°，∠COF= ∠BOC= （x°-90°）， ∴∠EOF=∠EOC-∠COF= x°- （x°-90°）=45°； （3）根据（2）的规律发现，∠EOF 的度数只与∠AOB 有关， ∠EOF= ∠AOB= ×90°=45°． 16. 【解析】 解：(1)ON 平分∠AOC．理由如下： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 216 ∵ ∠MON＝90° ∴ ∠BOM+∠AON＝90° ∠MOC+∠NOC＝90° 又∵ OM 平分∠BOC ∴ ∠BOM＝∠MOC ∴ ∠AON＝∠NOC ∴ ON 平分∠AOC (2)∵ ∠CON+∠NOB＝60° 又∵ ∠BOM+∠NOB＝90° ∴ ∠BOM＝∠NOC+30°