多边形和圆的初步认识 知识讲解

1 多边形和圆的初步认识 知识讲解 【学习目标】 1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩； 2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形； 3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数； 4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力. 【要点梳理】 要点一、多边形及正多边形 1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其 中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图： 要点诠释： 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2．相关概念： 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个 n 边形有 n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 要点诠释： (1)过 n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为 ． (2)过 n 边形的一个顶点的对角线可以把 n 边形分成(n-2)个三角形． 要点二、圆及扇形 1. 圆的定义 ( 3) 2 n n −2 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的 图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段 OA 叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二 者缺一不可. 　②圆是一条封闭曲线. 2.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧 AB” 或“弧 AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的 图形叫做扇形. 要点诠释：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB 是圆的一个圆心角，也是扇形 OAB 的圆心角. 【典型例题】 类型一、多边形及正多边形 1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出 来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形. 【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可. 【答案】（1）3，线段 AC、线段 AD、线段 AE；（2）4. AB E A B CF D3 【总结升华】 (1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角. (2) 过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共 条对角线. (3) n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（ －2）个三角形. 举一反三： 【变式】（2016 春•荣成市期中）从一个 边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶 点可以把这个 边形分割成三角形个数是（　　） A．3 个 B．（ ﹣1）个 C．5 个 D．（ ﹣2）个 【答案】D 2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还 剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明． 按图(1)所示方式去截，不经过点 B 和 D，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图(2)所示方式去截，经过点 D(或点 B)．不经过点 B(或点 D)，还剩 4 个角，即得 到一个四边形． 按图(3)所示方式去截，经过点 D、点 B，则剩下 3 个角，即得到三角形． 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形． 【总结升华】一个 n 边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是 n 边形，也可能是(n-1) 边形，利用它我们可以解决一些具体问题． 举一反三： 【变式】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（ ）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C. 3．如图是对称中心为点 的正六边形．如果用一个含 角的直角三角板的角，借助 点 （使角的顶点落在点 处），把这个正六边形的面积 等分，那么 的所有可能的值是 ___________ __ . ( 3) 2 n n − n n n n n4 【答案】 根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可， 即可知：360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2． 故 n 的所有可能的值是 2，3，4，6，12． 类型二、圆 4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=50°，则∠MON 等 于　 　． 【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N 的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角 的度数． 【答案】80°． 【解析】 解：∵OM=ON， ∴∠N=∠M=50°， ∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°， 故答案为 80°． 【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点． 【变式】如图,一根 5m 长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域. 5 【答案】 类型三、扇形 5. 将一个半径为 3 的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的 度数之比为 2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积 之比吗，你发现了什么 【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念． 【答案与解析】 解：这三个圆心角的度数分别为： ； ； . 圆的面积 ， 这三个圆心角的面积分别为： ； ； ． 这三个圆心角的面积之比为： 2：3：4． 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比． 【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数 n 与 360 的比， 即 ：S 圆＝n：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比． 6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16 平方厘米．这个扇形的面积为多少？ 【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝ 120平方厘米． 【答案与解析】 ° °2360 802 3 4 × =+ + ° °3360 1202 3 4 × =+ + ° °4360 1602 3 4 × =+ + 2 9rπ π= 809 2360 π π× = 1209 3360 π π× = 1609 4360 π π× = 2 :3 : 4π π π = S扇6 解：设扇形所在圆的半径为 r，则 ，则： 扇形的面积为： （平方厘米）. 答：这个扇形的面积为 16.75 平方厘米． 【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法． 2 16r = 1203.14 16 16.75360 × × ≈7 【巩固练习】 一、选择题 1.下列几何图形中，平面图形的个数为（ ）个. ①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形. A.4 B.5 C.3 D.6 2．从 n 边形的一个顶点出发共有对角线( ) . A．(n-2)条 B．(n-3)条 C．(n-1)条 D．(n-4)条 3．如图，图中四边形有( ) . A．3 个 B．5 个 C．2 个 D．6 个 4 以已知点 O 为圆心，已知线段 a 为半径作圆，可以作（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5（2016•重庆校级一模）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有 6 条对角线，则它的边数 是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6 （2015•重庆校级模拟）如图，正四边形有 2 条对角线，正五边形有 5 条对角线，正六边 形有 9 条对角线，则正十边形有（　　）条对角线． A．27 B．35 C．40 D．44 二、填空题 7．（2015 春•龙口市期中）从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成 7 个三角形，则该多边形为　 　边形． 8. 已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画 _____个圆. 9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________． 10.（2016•哈尔滨）一个扇形的圆心角为 120°，面积为 12πcm 2，则此扇形的半径为　 　 cm． 11.一个七边形的边数减少 1，则它的对角线条数减少________，n 边形的边数增加 2，则对 角线增加______． 12.平面内到定点 A 的距离等于 3 的点组成的图形是 . 三、解答题 13.已知从 n 边形的一个顶点出发共有 4 条对角线，其周长为 56，且各边长是连续的自然数， 求这个多边形的各边长． cm8 14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的 2 倍，求此多边 形的边数． 15. （2014 秋•腾冲县校级期末）如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm， 求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系） 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】①⑥②为平面图形. 2. 【答案】B； 3. 【答案】A； 【解析】四边形有：四边形 ABCD,四边形 ABOD，四边形 ABCO. 4. 【答案】A； 【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选 A. 5. 【答案】D； 【解析】设多边形有 条边，则 ﹣3=6，解得 =9． 6. 【答案】B 二、填空题 7. 【答案】九 【解析】由题意可知，n﹣2=7，解得 n=9．则这个多边形的边数为 9，多边形为九边 形． 8. 【答案】无数；无数；1； 【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可． 9. 【答案】位置，大小； 10．【答案】6； 【解析】设该扇形的半径为 R，则 ，解得 R=6． 11.【答案】5，2n－1； n n n 2120 12360 π πR× =9 【解析】七边形的对角线条数为： （条），七边形的边数减少 1，即六边 形的对角线条数为 （条），相减得 5 条，所以一个七边形的边数减少 1，它的 对角线条数减少 5 条；同理 n 边形的边数增加 2，则对角线增加 (条) ． 12. 【答案】以 A 为圆心 3 为半径的圆. 三、解答题 13.【解析】 解：由题意 n-3＝4，n＝7． 设各边长为 x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，则有： x-3+ x-2+ x-1+x+x+1+x+2+x+3＝56， 7x＝56，x＝8． ∴ 各边长为 5，6，7，8，9，10，11． 14.【解析】 解：设多边形的边数为 n，根据题意，有： n＝2(n-3)， 解得 n＝6， 故这个多边形的边数为 6． 15.【解析】 解：∵∠A+∠B+∠C=180° ∴ 答：图中的三个扇形面积之和为 ． cm 7 (7 3) 142 × − = 6 (6 3) 92 × − = ( 2)( 2 3) ( 3) 2 12 2 n n n n n + + − −− = −