方程的意义（提高）知识讲解

1 方程的意义（提高）知识讲解 【学习目标】 1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系； 2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程 的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】 【高清课堂：从算式到方程 一、方程的有关概念】 要点一、方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释： 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释： 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中 未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解， 否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）. 【高清课堂：从算式到方程 二、一元一次方程的有关概念】 要点二、一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方 程. 要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是 1;④分母中不含 有未知数． 【高清课堂：从算式到方程 三、解方程的依据——等式的性质】 要点三、等式的性质 　1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 　2．等式的性质： 　　等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果 ，那么 (c 为一个数或一个式子) . 　　等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即： 如果 ，那么 ；如果 ，那么 . 要点诠释： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式 不一定成立， 如 x＝0 中，两边加上 得 x＋ ，这个等式不成立; (3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．2 【典型例题】 类型一、方程的概念 1．（2015 秋•盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（　　） A.3 B.m+2n=0 C. x=-3 D.4y＞3 【思路点拨】根据方程的定义进行判断. 【答案】D 【解析】 解：A、含有未知数且是等式，故本选项是方程； B、含有未知数且是等式，故本选项是方程； C、含有未知数且是等式，故本选项是方程； D、含有未知数但不是等式，故本选项错误． 故答案为 D. 【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式， 但等式不一定是方程． 2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )． A．2x-1＝3 (2，-1) B． (3，-3) C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4) 【答案】C. 【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解， 若左边≠右边的，则不是方程的解． 【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代 入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等， 则这个数不是方程的解． 举一反三： 【变式】若 是关于 的方程 的解，则 的值为__________. 【答案】-1． 类型二、一元一次方程的相关概念 3．已知下列方程：① ；②x＝0；③ ；④x+y＝0；⑤ ；⑥ 0.2x＝4．其中一元一次方程的个数是( )． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方程①中未知数 x 的最高次数是 2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有 未知数 x，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥ 满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程． 【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知 数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方 2 4 5x + = 5 1 18 x x + = − 2 1 0x + = 1 3xx + = 6 23 x x= −3 程）． 举一反三： 【变式】(1)已知关于 x 的一元一次方程 ，求得 m＝________． (2) 已 知 方 程 (m-4)x+2 ＝ 2009 是 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ________． (3)若 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为( ) A．±2 B．-2 C．2 D．4 【答案】(1) (2)m≠4 (3)B 类型三、等式的性质 4．（2016 春•建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（　　） A．若 a=b，则 a+c=b+c B．若 2x=a，则 x=a﹣2 C．若 6a=2b，则 a=3b D．若 a=b+2，则 3a=3b+2 【思路点拨】根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可． 【答案】A. 【解析】解：A、正确，符合等式的基本性质（1）； B、错误，若 2x=a，则 x= ； C、错误，若 6a=2b，则 a= b； D、错误，若 a=b+2，则 3a=3b+6． 故选 A． 【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质． （1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为 0 数或字母，等式仍成立． 举一反三： 【变式】（2015•河北模拟）已知 x=y≠﹣ ，且 xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3； ② = ； ③ = ；④2x+2y=0，其中一定正确的有（　　） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 解：①③正正确； 类型四、等式或方程的应用 5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你 在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式． 3 21 05 mx + = | | 1( 2) 5mm x −− = 1 3m = −4 …… (2)通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式． 【答案与解析】 解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第 n 个图形每 条线上应该是 n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数， 等式的左边是从 1 个点开始的，第 2 个图形增加 4 个点表示为 4×1+1，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为 4×2+1，…，第 n 个图形共增加(n-1)个 4 个点，表示为 4(n-1)+1;等式的 右边，把第一个图形看作 4 点重合为一个点，表示为 4×1-3，第 2 个图形增加 4 个点，表 示为 4×2-3，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为 4×3-3，…，第 n 个图形看作 n 个 4 个点 少 3 个点，表示为 4n-3，所以有 4(n-1)+1＝4n-3． (1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3 【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系． 举一反三： 【变式】某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分 率为 x,则下面所列方程中正确的是( ) A. B. C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【 答 案 】 A. ( )2289 1 256x− = ( )2256 1 289x− =5 方程的意义（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．下列各式是方程的是( ) A． B．2m-3＞1 C．25+7＝18+14 D． 2. 若 x＝1 是方程 2x-a＝0 的解，则 a 为( )． A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（2016 春•卧龙区期中）已知（3﹣2a）x+2=0 是关于 x 的一元一次方程，则|a﹣ |一定 （　　） A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不确定 4．（2015•秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那 么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条 性质的是（　　） A. a•c=b•d，a÷c=b÷d B. a•d=b÷d，a÷d=b•d C. a•d=b•d，a÷d=b÷d D. a•d=b•d，a÷d=b÷d （d≠0） 5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是 70，而鸡与猪的腿数之和是 196， 问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为 x，则列出的方程应是( )． A．2x+(70-x)＝196 B．2x+4(70-x)＝196 C．4x+2(70-x)＝196 D．2x+4(70-x)＝ 6.已知关于 的方程 与 的解相同，则 的值是 （ ） A．9 B．-9 C．7 D．-8 7. 一件商品按成本价提高 40%后标价，再打 8 折（标价的 ）销售，售价为 240 元，设这 件商品的成本价为 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A．x·40%× =240 B．x（1+40%）× =240 C．240×40%× =x D．x·40%=240× 8. 将 的分母化为整数，得( )． A． B． C． D． 二、填空题 9.（2016 春•浦东新区期中）若关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0 是一元一次方程，那么 k=　 　． 5 3 3 x y+ 73 8 52t t− = + 196 2 y 3 24y m+ = 4 1y + = m 10 8 x 10 8 10 8 10 8 10 8 1 03.0 01.05.0 2.0 =+− xx 1 3 01.05.0 2 =+− xx 1003 505 =+− xx 100 3 01.05.0 20 =+− xx 13 505 =+− xx6 10．(2015 春.山西期中)已知方程 2xm-3+3=5 是一元一次方程，则 m=________. 11.若 ，则 . 12.将方程 的两边同乘以 ______得到 3(x+2) =2(2x－3)这种变形的根据是 _____ _. 13.一个个位数是 4 的三位数，如果把 4 换到左边，所得数比原数的 3 倍还多 98，若这个三 位数去掉尾数 4，剩下的两位数是 ，求原数，则可列方程为____________________. 14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，…… 这些等式反映自然数间的某种规律，设 n(n≥1)表示自然数，用关于 n 的等式表示这个 规律为________． 三、解答题 15.（1）若关于 的方程 是一元一次方程，求 的值. （2）若关于 的方程 是一元一次方程，求 的值. 16. （2014 秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由 3+x=5，得 x=5+3． （2）由 7x=﹣4，得 x= ． （3）由 ，得 y=2． （4）由 3=x﹣2，得 x=﹣2﹣3． 17.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过 10 吨部 分按 0.45 元/吨收费，超过 10 吨而不超过 20 吨部分按 0.80 元/吨收费，超过 20 吨部分按 1.5 元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费 14 元，问老李家六月份用水多少吨？ 请你为解决此题建立方程模型． 18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为 1)和相应的等式，探究其中的规律： (1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示； 0)2(43 2 =−+− yx =+ yx 6 32 4 2 −=+ xx x x 22 ( 2) 1 0( )a a xx− − − + = a x 5 41 352 4 nx − + = n7 (2)猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D. 【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否 含有未知数，两条都满足了就是方程．A、B 不是等式；C 中没有未知数． 2.【答案】C. 【解析】把 x＝1 代入方程得 2×1-a＝0，解得 a＝2． 3.【答案】A. 【解析】解：由题意得，3﹣2a≠0， 解得，a≠ ， 则|a﹣ |＞0， 故选：A． 4.【答案】D . 5.【答案】B 【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196． 6.【答案】A 【解析】由 得 ，将其代入 可得： ． 7.【答案】B 【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率． 8.【答案】D 【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质． 二、填空题 9. 【答案】0 【解析】解：由关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0 是一元一次方程，得 |k﹣1|=1 且 k﹣2≠0． 解得 k=0． 故答案为：0． 10.【答案】4 . 11.【答案】 【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得： ， ，即可求 出． 12.【答案】12, 等式的性质 2； 13.【答案】 【解析】 原数应表示为： ，再根据题意即可得出答案 ． 14.【答案】 (n+2)2-n2＝4(n+1) 【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字 都是 4 的倍数．即：3 2-12 ＝4×2，4 2-22 ＝4×3，5 2-32 ＝4×4，6 2-42 ＝4× 4 1y + = 3y = − 3 24y m+ = 9m = 4 11 043 =− x 02 =− y xx +=++ 40098)410(3 10 4x +8 5，…．设 n(n≥1)表示自然数，把第一个等式中的 l 换成 n，3 换成(n+2)，2 换 成(n+1)，得(n+2)2-n2＝4(n+1)，就是第 n 个等式． 三、解答题 15.【解析】（1）∵ 是一元一次方程 ∴ ，且 ，可得： ∴ 的值为 ． （2）∵ 是一元一次方程 ∴ 可得： ∴ 的值为 ． 16.【解析】 解：（1）由 3+x=5，得 x=5+3，变形不正确， ∵方程左边减 3，方程的右边加 3， ∴变形不正确； （2）由 7x=﹣4，得 x= ，变形不正确， ∵左边除以 7，右边乘 ， ∴变形不正确； （3）由 ，得 y=2，变形不正确， ∵左边乘 2，右边加 2， ∴变形不正确； （4）由 3=x﹣2，得 x=﹣2﹣3，变形不正确， ∵左边加 x 减 3，右边减 x 减 3， ∴变形不正确． 17.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水 超过了 20 吨． 设老李家六月份用水 x 吨，根据题意得 0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14． 18.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第 n 个等式，首起数字是 n，第 2 个数的分子是 n，分母比分子大 1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间 是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加 1 份，其中空白 1 份． 如图所示： ． (2) 22 ( 2) 1 0( )a a xx− − − + = 2 0a − = ( 2) 0a− − ≠ 2a = − a 2− 5 41 352 4 nx − + = 5 4 1n − = 1n = n 1 5 55 56 6 × = − 1 1 n nn nn n × = −+ +9