一元一次方程应用（一）水箱变高了与打折销售（提高）知识讲解

1 一元一次方程应用（一）-- 水箱变高了与打折销售（提高）知识讲解 【学习目标】 1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻 找等量关系． 2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】 要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的 关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两 边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去 即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；② 原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式： 长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高 正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长 圆的周长公式：C= ；面积公式： ； 圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥= ×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体 积也变，但重量不变. 要点三、打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 →分析 抽象 →求解 检验 2d rπ π= 2S rπ= 1 3 -= 100%= 100%× ×利润 售价 成本利润率 成本 成本2 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打 几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 要点四、方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的 优劣性后下结论． 【典型例题】 类型一、水箱变高了（等积变形问题） 1．（2015•厦门校级一模）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2， 现要把一块长 100 米，宽 50 米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作 物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是 3：4？请说明理 由． 【思路点拨】可设种植作物甲的面积是 x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x） 平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为 3：4，列出方程求解即可． 【答案与解析】 解：设种植作物甲的面积是 x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，依 题意有 x：[2（100×50﹣x）]=3：4， 解得 x=3000， 100×50﹣x =5000﹣3000 =2000． 故种植作物甲的面积是 3000 平方米，种植作物乙的面积是 2000 平方米，使甲、乙两种作物 的总产量的比为 3：4． 【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，得出两部分面积之比． 类型二、打折销售（利润问题） 2．文星商店以每支 4 元的价格进 100 支钢笔，卖出时每支的标价 6 元，当卖出一部分 钢笔后，剩余的打 9 折出售，卖完时商店赢利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支? 【答案与解析】 解：设打折的钢笔有 x 支，则有： 6(100-x)+6×90%x＝100×4+188 解得 x＝20 答：打 9 折的钢笔有 20 支． 【总结升华】本题可以采用列表法分析问题： 售价 数量 售出总价 按标价出售 6 100-x 6(100-x) 剩余的打折出售 6×90% x 6×90%x 此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系 来构建方程的，其结果一样．3 举一反三： 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究 1】 【变式】某种商品的标价为 900 元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售， 并返 100 元现金.这样他仍可获得 10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？ （用四舍五入法精确到个位） 【答案】 解：设此商品的进货价为 x 元，依题意，得： (900×0.9-100)-x=10%x， 得：x= ∴ x≈645. 答：此商品的进价约为 645 元. 3．商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B 型节能冰箱每台 售价比 A 型冰箱高出 10%，但每日耗电量却为 0.55 度．现将 A 型冰箱打折出售(打一折后的 售价为原价的 )，问商场将 A 型冰箱打几折，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费用与 B 型冰 箱 10 年的总费用相当(每年 365 天，每度电按 0.40 元计算)． 【思路点拨】本题主要是根据两种电冰箱使用 10 年所耗电量的费用相同来列方程. 【答案与解析】 解：设商场 A 型冰箱打 x 折，依题意，买 A 型冰箱需 2190× 元，10 年的电费是 365×10 ×1×0.4 元；买 B 型冰箱需 2190×(1+10%)元，10 年的电费是 365×10×0.55×0.4 元， 依题意，得： 2190× +365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 x＝8 答：商场将 A 型冰箱打 8 折出售，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费用与 B 型冰箱 10 年的总 费用相当． 【总结升华】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读 懂题意，根据耗电量、售价、打折情况列出方程求解． 类型三、方案设计问题 4．某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元，制 成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工厂的生 产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加 工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕．为此， 该厂某领导提出了两种可行方案： 方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案 1，依题意， 总利润=2000 元×4+500 元×(9-4)=10500（元）． （2）若选择方案 2． 方法一： 564511 1 10 10 x 10 x4 解：设将 x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售. 依题意得， ， 解得 ． 当 时， ． 总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案 2 较好． 方法二： 解：设 x 天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶. x+3(4-x)=9 x=1.5 4-x=2.5 1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元） ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案 2 较好． 答：选择方案 2 获利最多，只要在四天内用 7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用 1.5 吨的鲜奶加工成 奶片． 【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我 们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案 2 中的方法一，设将 x 吨鲜奶制成奶片， 则列表如下： 每吨利润 吨数 工效 天数 酸奶 1200 3 奶片 2000 1 合计 9 4 通过列表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计 算，同学们可根据理解自己选择． 举一反三： 【变式】（2015 春•绿园区期末）某移动公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴费 50 元月租费，然后每通话 1min 再付话费 0.4 元；“快捷通”不缴月租费，每通话 1min 付话费 0.6 元（本题的通话均指市内通话）．若一个月通话 xmin，两种方式的费用分别为 y1 元和 y2 元． （1）用含 x 的式子分别表示 y1 和 y2，则 y1=　 　，y2=　 　； （2）某人估计一个月通话 300min，选择哪种业务合算？ （3）每个月通话多少分钟时，两种方式所付的费用一样多？ 【答案】 解：（1）y1=50+0.4x；y2=0.6x； 故答案为：50+0.4x，0.6x； （2）令 x=300 则 y1=50+0.4×300=170；y2=0.6×300=180 所以选择全球通合算． 9 41 3 x x−+ = 1.5x = 1.5x = 9 7.5x− = 9 x− 9 3 x− x 1 x5 （3）令 y1=y2，则 50+0.4x=0.6x， 解之，得 x=250 所 以 通 话 250 分 钟 两 种 费 用 相 同 ．6 【巩固练习】 一、选择题 1．有一个底面半径为 10cm，高为 30cm 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径 为 10cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满 12 杯，则小杯的高为（　　） 　A ． 6cm B ． 8cm C ． 10cm D ． 12cm 2．请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ） A． 　　　　B． C． 　 　　　　　D． 3． 图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸 片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②） 所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为 8：3，图（②）纸片的面积为 33，则图 （①）纸片的面积为（　　） 　A ． B ． C ． 42 D ． 44 4．某物品标价为 132 元，若以 9 折出售，仍可获利 10%，则该物品进价是( ) A．105 元 B．106 元 C．108 元 D．118 元 5． 某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为 135 元, 若按成本计算, 其 中一件盈利 25%, 一件亏本 25%, 则在这次买卖中他 ( ) A．不赚不赔 B． 赚 9 元 C． 赔 18 元 D．赚 18 元7 6．（2015•大庆）某品牌自行车 1 月份销售量为 100 辆，每辆车售价相同．2 月份的销售量 比 1 月份增加 10%，每辆车的售价比 1 月份降低了 80 元．2 月份与 1 月份的销售总额相同， 则 1 月份的售价为（　　） A．880 元 B．800 元 C．720 元 D．1080 元 二、填空题 7．用长为 1 米，直径是 40 毫米的圆钢能锻拉成直径为 4 毫米的圆钢丝　 　 　米． 8．一只直径为 90 毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为 131×131 平方毫米、高为 81 毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了 多少设大约下降了 x 毫米，则可列方程　 ． 9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为 4cm 的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形 纸片上剪去一个宽为 5cm 的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为　　 cm2． 10．（2015•牡丹江）某商品每件标价为 150 元，若按标价打 8 折后，再降价 10 元销售，仍 获利 10%，则该商品每件的进价为　　元． 11．五•一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折， 小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000 元的商品，共节省 2800 元，则用贵宾卡又享受了　　 折优惠． 12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了 284 元．其中衣服按标价打 六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为 300 元，则裤子的标价应为 元. 三、解答题 13．（2015•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每 件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备 采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销 售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？ 14．若进货价降低 8%，而售出价不变，那么利润可由目前的 p%增加到（p+10）%，求 p． 15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时， 小明与他爸爸的对话：8 问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C 【解析】设小杯的高为 x，根据题意得：π×102×30=π×12×（10÷2）2x 解得：x=10 2．【答案】A 【解析】等级变形问题，形变体积不变． 3．【答案】C 【解析】设每一份为 x，则图②中白色的面积为 8x，灰色部分的面积为 3x，由题意，得 8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为： 33+9=42． 4．【答案】 C 【解析】设该物品进价是 x 元，则有 132×90%＝(1+10%)x ， 解得 x＝108． 5．【答案】C 【 解 析 】 成 本 分 别 为 ： ， ； 盈 亏 ： 6.【答案】A． 【解析】设 1 月份每辆车售价为 x 元，则 2 月份每辆车的售价为（x﹣80）元， 依题意得 100x=（x﹣80）×100×（1+10%）， 解得 x=880． 即 1 月份每辆车售价为 880 元． 二、填空题 7．【答案】100 【解析】设能锻拉成直径为 4 毫米的圆钢丝 x 米，则 ，解得： ＝ 100． 8．【答案】 【解析】等级变形问题，形变体积不变． 9．【答案】80 【解析】解：设正方形的边长是 xcm，则根据题意得：4x=5（x﹣4），解得：x=20．故长 方条的面积为 4x=80cm2． 135 1081 25% =+ 135 1801 25% =− 135 135 108 180 18+ − − = − 2 220 1= 2 xπ π× × × × x9 10.【答案】100． 【解析】设该商品每件的进价为 x 元，则 150×80%﹣10﹣x=x×10%， 解得 x=100．即该商品每件的进价为 100 元． 11．【答案】九 　 【解析】设用贵宾卡又享受了 x 折优惠，依题意得：10000﹣10000×80%× =2800，解 之得：x=9． 12．【答案】130 【解析】设裤子标价为 x 元．由题意得：300×60%+80%x=284，解得：x=130． 三、解答题 13.【解析】 解：设每件衬衫降价 x 元，依题意有 120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%）， 解得 x=20． 答：每件衬衫降价 20 元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标． 14．【解析】 解：设进货价为 x，则下降后的进货价为 0.92x． 则 （1+p%）x= [1+（10+p）%]0.92x， 即（1+0.01p）x= [1+0.01（p+10）] 0.92x， 解得： p=15． 答：p 为 15． 15．【解析】 解：(1)设小明他们一共去了 x 个成人，则去了(11-x)个学生，根据题意得： 40x+0.5×40×(11-x)＝360． 解得 x＝7．所以 11-x＝4． 答：小明他们一共去了 7 个成人，4 个学生． (2)若按 14 人购买团体票，则需要花费： 14×40×60%＝336(元)， 360-336＝24(元)． 答：买团体票更省钱，可节省 24 元．