一元一次方程应用（二）“希望工程”义演与追赶小明（提高）知识讲解

1 一元一次方程应用（二）---- “希望工程”义演与追赶小明（提高）知识讲解 【学习目标】 1.能够分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题；体会对同一问题设不同未知数 的算法多样化； 2.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，发展文字语言、图形语言、符号语言之间 的转换能力； 3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想. 【要点梳理】 要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类问 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的 关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两 边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去 即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、“希望工程”义演（分配问题） 分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取 工程材料，调剂人数或货物等. 这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时， 也考察了同学们的日常生活知识. 要点诠释： 分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考 虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的 比例关系. 要点三、追赶小明（行程问题） （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， →分析 抽象 →求解 检验2 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的 速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助 画草图来分析． 要点四、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【典型例题】 类型一、“希望工程”义演（分配问题） 1．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每 3m 长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 750m 长的这种布料生产学生服，应分 别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套? 【思路点拨】每 3 米布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，意思是每 1 米布料可做上衣 件，或 做裤子 1 条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】 解：设做上衣需要 xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为 件，做裤子的件数为 件，则有： x＝450， 750-x＝750-450＝300(m)， （套） 答：用 450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产 300 套． 【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件 数． 举一反三： 【变式】某工程队每天安排 120 个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 m3 或运土 3 m3， 为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人? 【答案】 解：设安排 x 人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得： 5x＝3(120-x)， 解得 x＝45． 120-45＝75(人)． 答：应安排 45 人挖土，75 人运土． 类型二、行程问题 3 2 23 x × 750 33 x− × 2 3(750 ) 3 3 x x−= 450 2 3003 × =3 1.车过桥问题 2. 某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥 共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度． 【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】 解：设火车车身长为 xm，根据题意，得： ， 解得：x＝300， 所以 ． 答：火车的长度是 300m，车速是 30m/s． 【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下 (注：A 点表示火车头)： (1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长． (2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的， 所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三： 【变式】某要塞有步兵 692 人，每 4 人一横排，各排相距 1 米向前行走，每分钟走 86 米， 通过长 86 米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要 x 分钟，列方程得： ， 解得：x＝3 答：从第一排上桥到排尾离桥需要 3 分钟． 2.相遇问题（相向问题） 3．小李骑自行车从 A 地到 B 地，小明骑自行车从 B 地到 A 地，两人都匀速前进.已知 两人在上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12 点，两人又相距 36 千米.求 A、B 两地间的路程. 【答案与解析】 解：设 A、B 两地间的路程为 x 千米，由题意得： 1200 1200 50 30 x x+ −= 1200 1200 300 3050 50 x+ += = 69286 1 1 864x  = − × +   36 36 2 4 x x− +=4 解得： 108． 答：A、B 两地间的路程为 108 千米. 【总结升华】根据“匀速前进”可知 A、B 的速度不变，进而 A、B 的速度和不变.利用速度 和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三： 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410 二次相遇问题】 【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线 行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 A 站 34km，已知甲车的速度 是 70km/h，乙车的速度是 52km/h，求 A、B 两站间的距离. 【答案】 解：设 A、B 两站间的距离为 x km，由题意得： 解得：x=122 答： A、B 两站间的距离为 122km. 3.追及问题（同向问题） 4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 2 小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿 车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理 15 分钟后， 又上路追这辆卡车，但速度减小了 ，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】 解：设卡车的速度为 x 千米/时，由题意得： 解得： x=24 答：卡车的速度为 24 千米/时． 【总结升华】采用“线段示意图”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行 驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间． 4.航行问题（顺逆流问题） 5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5 千米/时的航段，从 A 地上船，沿江而下 至 B 地，然后溯江而上到 C 地下船，共乘船 4 小时．已知 A、C 两地相距 10 千米，船在静水 中的速度为 7.5 千米/时，求 A、B 两地间的距离． 【思路点拨】由于 C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在 A、B 之间；（2）C 地在 A 地 上游． 【答案与解析】 解：设 A、B 两地间的距离为 x 千米． (1)当 C 地在 A、B 两地之间时，依题意得． 解这个方程得：x＝20 (2)当 C 地在 A 地上游时，依题意得： x = 2 34 34 70 52 x x− += 1 3 1 12 2 ( 30) (1 ) ( 30) 24 3x x x x x x+ + + = + + − × + × 10 47.5 2.5 7.5 2.5 x x −+ =+ − 10 47.5 2.5 7.5 2.5 x x ++ =+ −5 解这个方程得： 答：A、B 两地间的距离为 20 千米或 千米． 【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线段示意图”分析法画出示意图(如 下图所示)，然后利用“共乘”4 小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会 遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题． 5.环形问题 6．（2015 春•海南校级月考）甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后 相遇？ 【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程 =400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400． 【答案与解析】 解：设二人同时同地同向出发，x 分钟后二人相遇，则： 240x﹣200x=400， 解得：x=10． 设两人背向而行，y 分钟后相遇，则： 240y+200y=400， 解得：y= ． 答：二人同时同地同向出发，10 分钟后二人相遇；若背向跑， 分钟后相遇． 【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲 路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的 长度． 举一反三： 【变式】两人沿着边长为 90m 的正方形行走，按 A→B→C→D→A…方向，甲从 A 以 65m/min 的速度，乙从 B 以 72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一 条边上? 【答案】 20 3x = 20 36 解：设乙追上甲用了 x 分钟，则有： 72x-65x＝3×90 而 答：乙第一次追上甲时在 AD 边上. 类型三、工程问题 7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池； 单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开 放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】 解：设再过 x 小时可把水注满．由题意得： 解得： ． 答：打开丙管后 小时可把水放满． 【总结升华】相等关系：甲、乙开 2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1． 举一反三： 【变式】（2015 春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做 15 小时完成，乙单独做 10 小时完 成，甲先单独做 9 小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多 少小时完成？ 【答案】 解：设乙还要 x 小时完成，根据题意得： ， 解得：x=4． 答 ： 余 下 的 任 务 由 乙 单 独 完 成 ， 那 么 乙 还 要 4 小 时 完 成 ． 270 7x = 270 2072 = + 907 7 × × ×7 360 1 1 1 1 1( ) 2 ( ) 16 8 6 8 9 x+ × + + − = 30 13x = 30 137 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015 春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组 22 人，第二组 26 人．现第一 组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是 第二组的 2 倍？设抽调 x 人，则可列方程（　　） A．22+x=2×26 B．22+x=2（26﹣x） C．2（22+x）=26﹣x D．22=2（26﹣x） 2．甲组人数是乙组人数的 2 倍，从甲组抽调 8 人到乙组，这时甲组剩下的人数恰比乙组人 数的一半多 2 个，设乙组原有 x 人，则可列方程( )． A． B． C. D． 3.甲乙两地相距 180 千米，已知轮船在静水中的航速是 a 千米/小时，水流速度是 10 千米/ 小时，若轮船从甲地顺流航行 3 小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶 1 小时后离乙地 的距离是（ ）. A．40 千米 B．50 千米 C．60 千米 D．140 千米 4.一列长 150 米的火车，以每秒 15 米的速度通过 600 米的隧道，从火车进入隧道口算起， 这列火车完全通过隧道所需时间是（ ）. A．60 秒 B．30 秒 C．40 秒 D．50 秒 5．有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客车乘 43 人， 则只有 1 人不能上车，有下列四个等式：①40m＋10＝43m－1； ② ； ③ ； ④40m＋10＝43m＋1，其中正确的是（ ）. A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 6．某种出租车的收费标准是：起步价 7 元(即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费)，超过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元(不足 1km 按 1km 计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支 付车费 19 元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是( ). A．11　 B．8　 C．7　 D．5 二、填空题 7．浙江万马篮球队主力队员再一次比赛中 22 投 14 中得 28 分，除了三个三分球全中外，他 还中了 个两分球和 个一分球. 8．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为 a 度,超过部分电量的毎 度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则 a = 度. 9. （2014•泗县校级模拟）一轮船往返与 A、B 两港之间，逆水航行需 3 小时，顺水航行 需 2 小时，水速是 3 千米/时，则轮船在静水中的速度是________千米/时. 10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分 钟，若每小时行 18 千米，则比火车开出时间迟到 15 分钟．若打算在火车开出前 10 分钟到 达火车站，求此人此时骑摩托车的速度该是 千米/小时. 11．某项工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完 成 此 项 工 作 ， 若 设 甲 一 共 做 了 x 天 ， 乙 工 作 的 天 数 为 ________ ， 由 此 可 列 出 方 程 ________________． 12 22x x= + 12 ( 8) 22x x= + + 12 8 22x x− = + 12 8 ( 8) 22x x− = + + 43 1 40 10 +=+ nn 43 1 40 10 −=− nn8 12. 9 人 14 天完成了一件工作的 ，而剩下的工作要在 4 天内完成，则需增加的人数是 __________． 三、解答题 13. 在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间 70 名工人承接了制作 丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾 1 800 条或者脖子的丝巾 1 200 条，一条脖 子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产 脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 14. （2015 春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做 15 小时完成，乙单独做 10 小时完成， 甲先单独做 9 小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小 时完成？ 15.已知甲乙两人在一个 200 米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的 4 段，即两 条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑 4 米，乙平均每秒跑 6 米，若甲乙两人分别从 A、C 两处同时相向出发（如图），则： （1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置. （2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？ （3）他们第 100 次相遇时，在哪一段跑道上？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B 2．【答案】D. 3．【答案】A. 【解析】顺流速度为： 千米/时，逆流速度为： 千米/时. 4．【答案】D. 【解析】 秒. 5．【答案】D. 【解析】根据 m,n 的值不变，分别列方程即可. 6．【答案】B. 【解析】等量关系：（经过的路程-3）×2.4+起步价 7 元=19． 二、填空题 7．【答案】8,3 【解析】设他投中了 x 个两分球，则投中（14-3-x）个一分球，依题意得：2x+（14-3-x） =28-9,x=8, 14-3-8=3. 8．【答案】40. 【解析】当 时， ，不合题意； 当 时， . 9.【答案】15. 【解析】设轮船在静水中的速度是 x 千米/时，则 3（x﹣3）=2（x+3）解得：x=15. 10.【答案】27 【解析】设火车开出时间为 x 小时，由题意得： ，解得 x=1.设 5 3 180 3 60÷ = 60 2 10 40− × = 150 600 5015 + = 100a > 56 0.56 0.5100 = ≠ 100a ≤ 0.5 0.5(1 20%)(100 ) 56a a+ + − = 15 1530 x- = x+60 60 （ ）18（ ） 乙 甲 D C BA9 此人骑车速度为每小时 y 千米， 11．【答案】 ； . 12.【答案】12. 【 解 析 】 根 据 9 人 14 天 完 成 了 一 件 工 作 的 ， 可 知 每 人 每 天 完 成 这 件 工 作 的 ，设需要增加的人数为 x 人，根据题意得： ， 解得 x=12． 三、解答题 13．【解析】 解：设应分配 名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得： 答：应分配 30 名工人生产脖子上的丝巾，40 名工人生产手上的丝巾． 14.【解析】 解：设乙还要 x 小时完成，根据题意得： ， 解得：x=4． 答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要 4 小时完成． 15.【解析】 解：（1）设 秒后两人首次相遇， 依题意得到方程 ． 解得： ． 甲跑的路程= 米， 答：10 秒后两人首次相遇，此时他们在直道 AB 上，且离 B 点 10 米的位置. （2）设 y 秒后两人再次相遇， 依题意得到方程 ． 解得： ． 答：20 秒后两人再次相遇． （3）第 1 次相遇，总用时 10 秒， 第 2 次相遇，总用时 10+20×1，即 30 秒 第 3 次相遇，总用时 10+20×2，即 50 秒 第 100 次相遇，总用时 10+20×99，即 1990 秒 则此时甲跑的圈数为 1990×4÷200=39.8 1530× - 60y= =27101- 60 （1 ） 1x − 1 14 6 x x −+ = 3 5 3 1 1 1 5 9 14 210 × × = 1 34 ( 9) 1210 5x× × + = − x xx 12002)70(1800 ×=− 30=x 40307070 =−=− x x 4 6 100x x+ = 10x = 4 10=40´ 4 6 200y y+ = 20y =10 200×0.8=160 米，此时甲在 AD 弯道上. 此题解法较多，提供另解： 甲乙速度比为 2∶3，所以甲的路程是两人总和的 第 1 次相遇，甲跑的路程为 ， 第 2 次相遇，甲跑的路程为 ， 第 3 次相遇，甲跑的路程为 ， 第 100 次相遇，甲跑的路程为 ， 因为 7960÷200 的余数为 160 此时甲在 AD 弯道上. 2 5 2 1005´ 2 (100 200 1)5´ + ´ 2 (100 200 2)5´ + ´ 2 (100 200 99) 79605´ + ´ =