《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1 《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】 1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想； 2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思 想； 3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一 次方程． 要点诠释： （1）一元一次方程变形后总可以化为 ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形 式． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为 1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 要点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质：2 等式的性质 1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式． 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等 式． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 要点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax＝b(a≠0) 的形式． (5)系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右 两边的值不相等，则不是方程的解． 要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 3.行程问题：路程＝速度×时间 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： . 8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的 优劣性后下结论． 【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于 x 的一元一次方程，求 m 和 x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都 是 1，系数不为 0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】 解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于 x 的一元一次方程， 所以 3m-4＝0 且 5-3m≠0． 由 3m-4＝0 解得 ，又 能使 5-3m≠0，所以 m 的值是 ． 将 代入原方程，则原方程变为 ，解得 ． bx a = 3 210 10 10abcd a b c d= × + × + × + 4 3m = 4 3m = 4 3 4 3m = 4 85 3 3 3x − − × =   8 3x = −3 所以 ， ． 【 总 结 升 华 】 解 答 这 类 问 题 ， 一 定 要 严 格 按 照 一 元 一 次 方 程 的 定 义 ． 方 程 (3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2 是关于 x 的一元一次方程，就是说 x 的二次项系数 3m-4＝0， 而 x 的一次项系数 5-3m≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三： 【高清课堂：一元一次方程复习 393349 等式和方程例 3】 【变式】下面方程变形中，错在哪里： (1)方程 2x=2y 两边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-y, 得 1=-1. （2） ，去分母，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x. 【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以 x-y，只有一种可能就是 x-y 为 0 了，所 以出现了 1=-1 的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一 定是不能为 0 的. （2）答：错在第一步，去分母时 2x 项没乘以公分母 6. 2. （2015 秋•营山县校级期中）对于 ax+b=0（a，b 为常数），表述正确的是（　　） A．当 a≠0 时，方程的解是 x= B．当 a=0，b≠0 时，方程有无数解 C．当 a=0，b=0，方程无解 D．以上都不正确 【答案】D． 【解析】 解：A、当 a≠0 时，方程的解是 x=﹣ ，故错误； B、当 a=0，b≠0 时，方程无解，故错误； C、当 a=0，b=0，方程有无数解，故错误； D、以上都不正确． 【总结升华】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次 项系数不等于 0． 举一反三： 【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则 ________． 【答案】1 类型二、一元一次方程的解法 3．解方程：解方程 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5． 【答案与解析】 解：把 2x-1 看做一个整体．去括号，得： 3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5． 合并同类项，得-6(2x-1)＝14． 系数化为 1 得： ， 解得 ． 4 3m = 8 3x = − 3 7 2 1 22 3 x x x − += + yx = 72 1 3x − = − 2 3x = −4 【总结升华】把题目中的 2x-1 看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元 法：设 2x-1＝a，则原方程化为 3[a-(3a+3)]＝5． 举一反三： 【变式】解方程 【答案】 解：把方程两边含有分母的项化整为零，得 ． 移项，合并同类项得： ， 系数化为 1 得： z＝1． 类型三、特殊的一元一次方程的解法 1．解含字母系数的方程 4.解关于 的方程： 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数 x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所 以方程的解的情况与 x 的系数和常数的取值都有关系． 【答案与解析】 解：原方程可化为： 当 时，原方程有唯一解： ； 当 时，原方程无数个解； 当 时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式 ，再分类讨论进行求解， 注意最后的解不能合并，只能分情况说明． 2．解含绝对值的方程 5. 解方程|x-2|＝3． 【答案与解析】 解：当 x-2≥0 时，原方程可化为 x-2＝3，得 x＝5． 当 x-2＜0 时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1． 所以 x＝5 和 x＝-1 都是方程|x-2|＝3 的解． 【总结升华】如图所示，可以看出点-1 与 5 到点 2 的距离均为 3，所以|x-2|＝3 的意义为 在数轴上到点 2 的距离等于 3 的点对应的数，即方程|x-2|＝3 的解为 x＝-1 和 x＝5． 举一反三： 【 变 式 】 若 关 于 的 方 程 无 解 ， 只 有 一 个 解 ， 2 6 7 5 2 2 5 4 4 3 6 z z z zz + − − −+ + = − 2 6 7 5 2 2 5 4 4 4 4 3 3 6 6 z z z zz + + + − = − − + 1 1 2 2z = x 1 1( ) ( 2 )3 4m x n x m− = + (4 3) 4 6 2 (2 3)m x mn m m n− = + = + 3 4m ≠ 4 6 4 3 mn mx m += − 3 3,4 2m n= = − 3 3,4 2m n= ≠ − ax b= x 2 3 0x m− + = 3 4 0x n− + =5 有两个解， 则 的大小关系为： ( ) A. B. C. D. 【答案】A 类型四、一元一次方程的应用 6．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早 到 15 分钟；若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在李伟打算在火车开 车前 10 分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少? 【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变． 【答案与解析】 解：设李伟从家到火车站的路程为 y 千米，则有： ，解得： 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为 (小时)． 李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为 x 千米/时, 则有： (千米/时) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是 27 千米/时． 【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如 本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决 问题的途径和方法． 7. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司 70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：① 门票每人 60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车 每辆 60 元，十一座车每人 10 元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元时，问 公司租用的四座车和十一座车各多少辆? 【答案与解析】 解：设四座车租 x 辆，十一座车租 辆，依题意得： 解得：x＝1， 答：公司租用的四座车和十一座车分别是 1 辆和 6 辆. 【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元”中挖掘两 4 5 0x k− + = , ,m n k m n k> > n k m> > k m n> > m k n> > 15 15 30 60 18 60 y y+ = − 45 2y = 45 152 130 60 + = 45 2 2710 101 160 60 yx = = = − − 70 4 11 x− 70 470 60 60 11 10 492011 xx −× + + × × = 70 4 611 x− =6 个等量关系构建方程求解. 8．某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元，制 成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工厂的生 产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加 工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕．为此， 该厂某领导提出了两种可行方案： 方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案 1，依题意， 总利润=2000 元×4+500 元×(9-4)=10500（元）． （2）若选择方案 2． 方法一： 解：设将 x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售. 依题意得， ， 解得 ． 当 时， ． 总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案 2 较好． 方法二： 解：设 x 天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶. x+3(4-x)=9 x=1.5 4-x=2.5 1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元） ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案 2 较好． 答：选择方案 2 获利最多，只要在四天内用 7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用 1.5 吨的鲜奶加工成 奶片． 【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我 们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案 2 中的方法一，设将 x 吨鲜奶制成奶片， 则列表如下： 每吨利润 吨数 工效 天数 酸奶 1200 3 奶片 2000 1 合计 9 4 该表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算， 同学们可根据理解自己选择． 9 41 3 x x−+ = 1.5x = 1.5x = 9 7.5x− = 9 x− 9 3 x− x 1 x7 举一反三： 【变式】（2015•吴江市一模）现有甲、乙两种金属的合金 10kg，如果加入甲种金属若干， 那么重新熔炼后的合金中乙种金属占 2 份，甲种金属占 3 份，如果加入的甲种金属是第一次 加入的 2 倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占 3 份，甲种金属占 7 份，第一次加入的甲 种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？ 【答案】 解：设原来这块合金中甲种金属的百分比是 x，则甲种金属有 10xkg，乙种金属有 （10﹣10x）kg，根据题意得 （10﹣10x）÷ ﹣10=2×[（10﹣10x）÷ ﹣10]， 解得 x=40%． 则（10﹣10×40%）÷ ﹣10=5（kg）． 答 ： 第 一 次 加 入 的 甲 种 金 属 是 5kg ， 原 来 这 块 合 金 中 甲 种 金 属 的 百 分 比 是 40% ．8 【巩固练习】 一、选择题 1．已知方程 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是( )． A．±1 B．1 C．-1 D．0 或 1 2．已知 是方程 的解，那么关于 y 的方程 的解 是( )． A．y＝1 B．y＝-1 C．y＝0 D．方程无解 3．已知 ，则 等于（ ）． A． B． C． D． 4．一列火车长 100 米，以每秒 20 米的速度通过 800 米长的隧道，从火车进入隧道起，至火 车完全通过所用的时间为( )． A．50 秒 B．40 秒 C．45 秒 D．55 秒 5．一架飞机在两城间飞行，顺风要 5.5 小时，逆风要 6 小时，风速为 24 千米/时，求两城 距离 x 的方程是（　　）. A． B． C． D． 6．（2015•永州）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野 生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游 文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨 8：00 开始每小时 进入阳明山景区的游客人数约为 1000 人，同时每小时走出景区的游客人数约为 600 人，已 知阳明上景区游客的饱和人数约为 2000 人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的 时间约为（　　） A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00 7．某书中一道方程题： ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知 这个方程的解是 x＝﹣2.5，那么□处应该是数字( )． A．-2.5 B．2.5 C．5 D．7 8. 已知： ， ， ， ，…， 若 符合前面式子的规律，则 a＋b 的值为（ ）． A． 179 B． 140 C． 109 D． 210 二、填空题 9．已知方程 是关于 x 的一元一次方程，则这个方程的解为 | |( 1) 3 4mm x+ − = 1x = 12 2 ( )3x x a− = − ( 4) 2 4a y ay a+ = + 2( 1) 3(1 ) 4( 1)x y x y y x y x+ + − − + = − − − + − x y+ 6 5 − 6 5 5 6 − 5 6 24 245.5 6 x x− = + 24 24 5.5 6 x x− += 2 245.5 6 5.5 x x= −+ 245.5 6 x x− = 2 13 x x + + = 22 22 23 3 + = × 23 33 38 8 + = × 24 44 415 15 + = × 25 55 524 24 + = × 210 10b b a a + = × 2 23 5 5 2 2ax x x x a+ + = − +9 ________． 10．已知 和 互为相反数，则 ________． 11．（2015•温州校级自主招生）对于实数 a，b，c，d，规定一种数的运算： =ad﹣bc， 那么当 =10 时，x=　 　． 12．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得 20%的利润率，若该商品的进价是每件 30 元，则标价是每件 元． 13．某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是 0.7∶1∶2∶ 4.7．现在要配制这种中药 1400 克，这四种草药分别需要多少克？设每份为 克，根据题意， 得 ． 14．有一列数，按一定的规律排列：―1，2，―4，8，―16，32，―64，128，…，其中某 三个相邻数之和为 384，这三个数分别是 ． 15．已知关于 的方程 和方程 有相同的解， 则该方程的解为 ． 16. x 表示一个两位数, y 表示一个三位数, 若把 x 放在 y 的左边组成一个五位数记作 M1, 把 y 放在 x 的左边组成一个五位数记作 M2, 则 M1 − M2 是 的倍数． 三、解答题 17．解方程： （1） ． （2） . （3）｜3x-2｜-4=0 . 18.探究：当 b 为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 19.（2015•海淀区二模）小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需 30 分钟．某 周日，小明与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了 40 米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离． 20．商场计划拨款 9 万元，从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视 机，出场价分别为甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一 下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售一台乙种电视机 可获利 200 元，销售一台丙种电视机可获利 250 元．在同时购进两种不同型号的电视机的方 )12(4 3)]1(3 1[2 1 +=−− xxx | 4 |m n− + 2( 3)n − 2 2m n− = x x 3 2 42 ax x x   − − =     3 1 5 112 8 x a x+ −− = 0.4 0.9 0.03 0.02 5 0.5 0.03 2 x x x+ + −− =10 案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？ 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B 【解析】由题意得|m|＝1，且 m+1≠0，所以 m＝1，故选 B． 2. 【答案】C 【解析】由 x＝1 是方程 的解，可代入求出 a 的值，然后把 a 的值代 入方程 a(y+4)＝2ay+4a 中，求出 y 的值． 3. 【答案】D 【解析】由原式可得： ，将“ ” 看作整体，合并化简即可． 4．【答案】C 【解析】相等关系是：火车所走的路程＝火车长度+隧道长度．设火车完全通过所用时间 为 x 秒，可得方程 20x＝100+800，解得 x＝45． 5. 【答案】A 【解析】解：∵两城距离为 x，顺风要 5.5 小时，逆风要 6 小时， ∴顺风速度= ，逆风速度= ， ∵风速为 24 千米/时， ∴可列方程为： 6.【答案】C. 【解析】设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为 x 点，则 （x﹣8）×（1000﹣600）=2000，解得 x=13． 即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为 13：00． 7．【答案】C 【解析】把 x＝-2.5 代入方程，再把□当作未知数解方程即可． 8．【答案】C 【解析】观察规律可得 b＝10，a＝b2－1＝99，所以 a＋b＝109． 二、填空题 9．【答案】x＝1 【解析】首先将原方程整理成 的形式，由一元一次方程的定 义可知，二次项系数为 0，所以 a＝5，代入方程中即可求出 x 的值． 10．【答案】-8 【解析】两数互为相反数，则和为 0，由非负数的性质可知 m-n+4＝0，且 n-3＝0．从而 得 m＝-1，n＝3． 11.【答案】﹣1． 【解析】由题意得，2x+12=10，解得 x=﹣1．故答案为：﹣1． 12．【答案】40 12 2 ( )3x x a− = − ( ) 2( ) 2 3 3( ) 4( ) 4x y x y x y x y+ − + + = − + − + + x y+ 5.5 x 6 x 24 245.5 6 x x− = + 2( 5) 5 5 2 0a x x a− + + − =11 【解析】解：设标价为 元，则有 ，解得： 13．【答案】 14．【答案】128，－256，512 【 解 析 】 通 过 观 察 可 得 ： 第 个 数 为 ： ， 所 以 第 9,10 个 数 分 别 为 ： ，经检验满足题意． 15．【答案】 【解析】分别解得这两个关于 x 的方程的解为 ， ，由它们相等得 ，代入其中一解可得答案． 16．【答案】9 【解析】M1＝1000x＋y，M2＝100y＋x，M1 − M2＝9（111x－11y），所以一定是 9 的倍 数． 三、解答题 17．【解析】 解：（1）整理，得 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并，得 ， 系数化为 1，得 ． （2）原方程可化为： 解得：x= （3）原式可化为：｜3x-2｜=4 由 ，可得： ；由 ，可得： 所以原方程的解为：x=2，x=- . 18. 【解析】 解：①当 ，即 b＜-1 时，原方程无解； ②当 ，即 b=-1 时，原方程只有一个解； ③ 当 ，即 b＞-1 时，原方程有两个解． 19.【解析】 解：设小明家到学校的距离为 x 米， 1 2 − 3 2 x 0.9 30(1 20%)x = + 40x = 0.7 2 4.7 1400x x x x+ + + = n 1( 1) 2n n−− 256, 512− 81 77 3 7 ax = 27 2 21 ax −= 27 11a = 4 9 3 2 5 5 3 2 x x x+ + −− = 6(4 9) 10(3 2 ) 15( 5)x x x+ − + = − 24 54 30 20 15 75x x x+ − − = − 24 20 15 75 54 30x x x− − = − − + 11 99x− = − 9x = 7 7 6 12x− = 3 2 4x − = 2x = 3 2 4x − = − 2 3x = − 1 0b + < 1 0b + = 1 0b + >12 由题意，得 +40= ， 解得 x=6000． 答：小明家到学校的距离为 6000 米． 20．【解析】 解：（1）①解：设购进甲种电视机 台，则购进乙种电视机（50－ ）台，根据题意，得 1500 ＋2100（50－ ）=90000． 解得： =25，则 50－ =25． 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各 25 台． ②设购进甲种电视机 台，则购进丙种电视机（50－ ）台，根据题意，得 1500 ＋2500（50－ ）=90000． 解得： =35，则 50－ =15． 故第二种进货方案是购进甲种电视机 35 台，丙种电视机 15 台． ③设购进乙种电视机 台，则购进丙种电视机（50－ ）台，购进题意，得 2100 ＋2500（50－ ）=90000． 解得： =87.5（不合题意）． 故此种方案不可行． （2）上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25=8750 元， 第二种方案可获利：150×35＋250×15=9000 元， 因为 8750