幂的运算（提高）知识讲解

1 幂的运算（提高） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 【高清课堂 396573 幂的运算 知识要点】 要点一、同底数幂的乘法性质 (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项 式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与 原 来 的 底 数 相 同 ， 它 们 的 指 数 之 和 等 于 原 来 的 幂 的 指 数 。 即 （ 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数). （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要 遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. +⋅ =m n m na a a ,m n m n p m n pa a a a + +⋅ ⋅ = , ,m n p m n m na a a+ = ⋅ ,m n ( ) =m n mna a ,m n (( ) ) =m n p mnpa a 0≠a , ,m n p ( ) ( )n mmn m na a a= = ( ) = ⋅n n nab a b n ( ) = ⋅ ⋅n n n nabc a b c n ( )nn na b ab= 10 10 101 12 2 1.2 2    × = × =      2 （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法性质 【高清课堂 396573 幂的运算 例 1】 1、计算： (1) ； (2) ． 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式． （2）在幂的运算中，经常用到以下变形： ． 类型二、幂的乘方法则 【高清课堂 396573 幂的运算 例 2】 2、计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的 乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可 以是单项式或多项式． 3、（2015 春•南长区期中）已知 2x=8y+2，9y=3x﹣9，求 x+2y 的值． 【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出 x、y 的值，然后代入求解． 3 5( 2) ( 2) ( 2)b b b+ ⋅ + ⋅ + 2 3( 2 ) (2 )x y y x− ⋅ − 3 5 3 5 1 9( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)b b b b b+ ++ ⋅ + ⋅ + = + = + 2 3 2 3 5( 2 ) (2 ) ( 2 ) [ ( 2 ) ] ( 2 )x y y x x y x y x y− ⋅ − = − ⋅ − − = − − ( )( ) ( ), n n n a na a n − = − 为偶数 , 为奇数 ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n n b a na b b a n  −− = − − 为偶数 为奇数 2 3[( ) ]a b− − 3 2 2 3 5( ) ( ) 2y y y y+ −  2 2 4 1 2( ) ( )m mx x− +⋅ 3 2 3 4( ) ( )x x⋅ 2 3[( ) ]a b− − 2 3 6( ) ( )a b a b×= − − = − − 3 2 2 3 5( ) ( ) 2y y y y+ − ⋅ 6 6 6 6 62 2 2 0y y y y y= + − = − = 2 2 4 1 2( ) ( )m mx x− +⋅ 4(2 2) 2( 1) 8 8 2 2 10 6m m m m mx x x x x− + − + −= ⋅ = ⋅ = 3 2 3 4( ) ( )x x⋅ 6 12 18x x x= ⋅ =3 【答案与解析】 解：根据 2x=23（y+2），32y=3x﹣9， 列方程得： ， 解得： ， 则 x+2y=11． 【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知 ，则 ＝ ． 【答案】－5； 提示：原式 　 　　　　 ∵ ∴ 原式＝ ＝－5. 类型三、积的乘方法则 4、计算： （1） （2） 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1 不可忽略． 举一反三： 【变式 1】下列等式正确的个数是( )． ① ② ③ ④ ⑤ A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A； 提示：只有⑤正确； ； ； ； 3 22, 3m ma b= = ( ) ( ) ( )3 6 32 2 mm m ma b a b b+ − ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 23 2 3 2m m m ma b a b= + − ⋅ 2 3 2 22 3 2 3+ − × 2 4(2 )xy− 2 4 3 3 3[ ( ) ]a a b− ⋅ − 2 4 4 4 2 4 4 8(2 ) ( 1) 2 ( ) 16xy x y x y− = − ⋅ ⋅ ⋅ = − 2 4 3 3 3[ ( ) ]a a b− ⋅ − 2 3 12 9 3 6 36 27 42 27( ) ( ) ( )a a b a a b a b= − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ = ( )32 3 6 92 6x y x y− = − ( )32 6m ma a− = ( )36 93 3a a= ( ) ( )5 7 355 10 7 10 35 10× × × = × ( ) ( )100 1001010.5 2 0.5 2 2− × = − × × ( )32 3 6 92 8x y x y− = − ( )32 6m ma a− = − ( )36 183 27a a=4 【变式 2】（2015 春•泗阳县校级月考）计算： （1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2 （2）（2 ）20•（ ）21． 【答案】 （1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2 =a4•9a6＋16a10 =9a10＋16a10 =25a10； （2）（2 ）20•（ ）21． =（ × ）20• =1× = ． ( ) ( )5 7 12 135 10 7 10 35 10 3.5 10× × × = × = ×5 【巩固练习】 一.选择题 1．下列计算正确的是( )． A. B. C. D. 2． 的结果是( )． A.0 B. C. D. 3．下列算式计算正确的是( )． A. B. C. D. 4． 可以写成( )． A. B. C. D. 5．下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③ ④ ⑤ A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 6．（2015•西宁）下列计算正确的是（　　） 　 A． a•a3=a3 B．a4+a3=a2 C．（a2）5=a7 D．（﹣ab）2=a2b2 二.填空题 7．化简：(1) ＝_______；(2) ＝_______． 8.直接写出结果： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3)若 ，则 ＝______． 9. . 10.若 ，用 ， 表示 可以表示为 ． 11.（2015•杭州模拟）已知 a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序 是　 　． ( )32 5x x= ( )53 15x x= 4 5 20x x x⋅ = ( )23 6x x− − = ( ) ( )2 55 2a a− + − 72a− 102a 102a− ( )33 3 3 6a a a+= = ( )2 2n nx x− = ( ) ( )3 62 6y y y− = − = ( ) 333 3 3 3 27c c c× ×  = =   3 1nx + ( ) 13 n x + ( )3 1nx + 3nx x⋅ ( )2 1nnx + ( )23 63 6x x= ( )25 5 10 105 25a b a b− = − 3 32 8( )3 27x x− = − ( )42 3 6 73 81x y x y= 2 3 5x x x⋅ = 333 3 1)3 1( baab +− ( ) ( )3 22 2 23a a a+ ⋅ ( )_____ n 2 33n n na b 10 11x y ( )5_____ y⋅ 2 ,3n na b= = 6n 501 4 20031[( ) ] 3 _____3 − × = 2 3,2 5,2 90a b c= = = a b c6 12.若整数 、 、 满足 ，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ． 三.解答题 13.若 ，求 的值． 14.（2014 春•吉州区期末）已知 ax=﹣2，ay=3．求： （1）ax+y 的值；（2）a3x 的值；（3）a3x+2y 的值． 15. 已知 ，则 . 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】 ； ； . 2. 【答案】A； 【解析】 . 3. 【答案】D； 【解析】 ； ； . 4. 【答案】C； 【解析】 ； ； . 5. 【答案】B； 【解析】①②④错误. 6. 【答案】D； 【解析】解：∵a•a3=a4，∴选项 A 不正确； ∵a4+a3≠a2，∴选项 B 不正确； ∵（a2）5=a10，∴选项 C 不正确； ∵（﹣ab）2=a2b2，∴选项 D 正确． 故选：D． 二.填空题 7. 【答案】 ； ； 【解析】 ； . 8. 【答案】 ； ； ； a b c 50 18 9 827 25 8 a b c     ⋅ ⋅ =           a b c 2 5 3 0x y+ − = 4 32x y⋅ 200080,200025 == yx =+ yx 11 ( )32 6x x= 4 5 9x x x⋅ = ( )23 6x x− − = − ( ) ( )2 55 2 10 10 0a a a a− + − = − = ( )33 3 3 9a a a×= = ( ) 2 2 2 ( ) ( ) nn n x nx x n − = − 为偶数 为奇数 ( )32 6y y− = − ( ) 13 3 3n nx x + += ( )3 1 4n nx x + = ( ) 22 1 2nn n nx x + += 3 38 27 a b 628a 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 9 8( )3 3 27 27 27ab a b a b a b a b− + = − + = ( ) ( )3 22 2 2 6 6 63 27 28a a a a a a+ ⋅ = + = 2 33a b 2 2x y ab7 【解析】（3） . 9. 【答案】 ； 【解析】 . 10.【答案】 ； 【解析】 11.【答案】b＞c＞a＞d； 【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511， ∵81＞64＞32＞25， ∴b＞c＞a＞d． 故答案为：b＞c＞a＞d． 12.【答案】 ＝6， ＝6， ＝3； 【解析】 . 三.解答题 13.【解析】 解： ∵ ， ∴ ∴原式＝ . 14.【解析】 解：（1）ax+y=ax•by=﹣2×3=﹣6； （2）a3x=（ax）3=（﹣2）3=﹣8； （3）a3x+2y=（a3x）•（a2y） =（ax）3•（ay）2 =（﹣2）3•32 =﹣8×9 =﹣72． 15.【解析】 ( )6 2 3 2 3nn n n ab= × = ⋅ = 1 3 2004 2003 501 4 2003 20031 1 1 1 1[( ) ] 3 3 33 3 3 3 3    − × = × = × ⋅ =       2 1c a b= + + ( )22 2 190 3 2 5 2 2 2 2 2 2 1c a b a b c a b+ += × × = ⋅ ⋅ = = + + ∴ ∴ a b c 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 50 18 9 2 5 2 3 3 2 3 5 227 25 8 3 5 2 a b c a a b b c a b c b c a a b a b c + − + − −⋅ ⋅     ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =           3 3 6 2 2 3 0 6 2 2 0 3 a b c a b c a b a b c + − = =   + − = =   − = =  ∴ ∴ ( ) ( )2 5 2 5 2 54 32 2 2 2 2 2x yx y x y x y+⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 5 3 0x y+ − = 2 5 3x y+ = 32 8=8 解：∵ ∴ ； ∴ ； ∴ ， 25 2000, 80 2000, 2000 25 80x y= = = × ( ) ( )25 25 2000 25 80 25 80 25 2000y yx xy y y y y= = = × = × = × 25 25 25 2000 25x y x y y+⋅ = = × 25 25xy x y+= xy x y= + 1 1 1x y x y xy ++ = =