乘法公式（提高）知识讲解

1 乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【高清课堂 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变 式有以下类型： （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形： 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 2 2( )( )a b a b a b+ − = − ba, ( )( )a b b a+ − + (3 5 )(3 5 )x y x y+ − 3 2 3 2( )( )m n m n+ − ( )( )a b a b− − − ( )( )m n p m n p+ + − + 2 2 4 4( )( )( )( )a b a b a b a b− + + + ( )2 2 22a b a ab b+ = + + 222 2)( bababa +−=− ( )22 2 2a b a b ab+ = + − ( )2 2a b ab= − + ( ) ( )2 2 4a b a b ab+ = − +2 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查 添括号是否正确. 要点四、补充公式 ； ； ； . 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)( )( )( )( )( )＋1． 【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现 2＋1 与 2－1， 与 ， 与 等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步 计算. 【答案与解析】 解：原式＝(2－1)(2＋1)( )( )( )( )( ) ＋1 ＝( )( )( )( )( )( )＋1 ＝ －1＋1＝ ． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然 后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【高清课堂 乘法公式 例 1（7）（8）】 【变式 1】计算： (1) (2)( ＋ )( － )( )( ) 【答案】 解：(1)原式＝[( ＋3)( －3)]( )＝( )( )＝ ． (2)原式＝[( ＋ )( － )]( )( ) ＝[( )( )]( ) ＝( )( )＝ ． 【变式 2】（2015•内江）（1）填空： 2( )( ) ( )x p x q x p q x pq+ + = + + + 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b± + = ± 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b± = ± + ± 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + 22 1+ 42 1+ 82 1+ 162 1+ 322 1+ 22 1+ 22 1− 42 1+ 42 1− 22 1+ 42 1+ 82 1+ 162 1+ 322 1+ 22 1− 22 1+ 42 1+ 82 1+ 162 1+ 322 1+ 642 642 2( 3)( 9)( 3)x x x− + + a b a b 2 2a b+ 4 4a b+ x x 2 9x + 2 9x − 2 9x + 4 81x − a b a b 2 2a b+ 4 4a b+ 2 2a b− 2 2a b+ 4 4a b+ 4 4a b− 4 4a b+ 8 8a b−3 （a﹣b）（a+b）=　 　； （a﹣b）（a2+ab+b2）=　 　； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　 　． （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　 　（其中 n 为正整数，且 n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】 解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4； 故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4； （2）由（1）的规律可得： 原式=an﹣bn， 故答案为：an﹣bn； （3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342． 2、（2014 春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿 地，现将它每边都增加 3 米，面积则增加了 63 平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的 面积又为多少？ 【答案与解析】 解：设原绿地的边长为 x 米，则新绿地的边长为 x+3 米， 根据题意得，（x+3）2﹣x2=63， 由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63， 解得，x=9； ∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）； 答：原绿地的边长为 9 米，原绿地的面积为 81 平方米． 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这 两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算． 举一反三： 【变式】解不等式组： 【答案】 解： 由①得 ， ， ． 由②得 ， ， ， ． ∴ 不等式组的解集为 ． ( 3)( 3) ( 2) 1, (2 5)( 2 5) 4 (1 ). x x x x x x x x + − − − >  − − − < − ( 3)( 3) ( 2) 1, (2 5)( 2 5) 4 (1 ). x x x x x x x x + − − − >  − − − < − ① ② 2 29 2 1x x x− − + > 2 10x > 5x > 2 2 25 (2 ) 4 4x x x− < − 2 225 4 4 4x x x− < − 4 25x− < − 6.25x > 6.25x >4 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算： （1） ；（2） ． 【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将 化成 ，看成 与 和的平方再应用公式；（2）是两个三项式 相乘，其中 与 完全相同， ， 与 ， 分别互为相反数，与平方差公式特征一 致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另 一项”． 【答案与解析】 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【总结升华】配成公式中的“ ”“ ”的形式再进行计算. 举一反三： 【变式】运用乘法公式计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】 解：(1) ＝[ －( － )][ ＋( － )] ＝ ＝ ． (2) ＝[2 ＋( －1)][2 －( －1)] ＝ ＝ ． (3) 2( 2 3)a b+ − ( 2 3 )( 2 3 )a b c a b c+ − − + 2 3a b+ − (2 3)a b+ − a (2 3)b − a a 2b 3c− 2b− 3c 2 2 2[ (2 3)] 2 (2 3) (2 3)a b a a b b= + − = + − + − 2 24 6 4 12 9a ab a b b= + − + − + 2 24 4 6 12 9a b ab a b= + + − − + 2 2 2 2 2[ (2 3 )][ (2 3 )] (2 3 ) 4 12 9a b c a b c a b c a b bc c= + − − − = − − = − + − a b ( )( )a b c a b c− + + − ( )( )2 1 1 2x y y x− + − + ( )2x y z− + ( )( )2 3 1 1 2 3a b a b+ − − − ( )( )a b c a b c− + + − a b c a b c ( ) ( )22 2 2 22a b c a b bc c− − = − − + 2 2 22a b bc c− + − ( )( )2 1 1 2x y y x− + − + x y x y ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 4 2 1x y x y y− − = − − + 2 24 2 1x y y− + − ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22x y z x y z x y x y z z− + = − + = − + − +  5 ＝ ． (4) ＝ ＝－ ＝－ ＝ 4、已知△ABC 的三边长 、 、 满足 ，试判断△ABC 的形状． 【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】 解：∵ ， ∴ ， 即 ． 即 ． ∴ ， ， ， 即 ，∴ △ABC 为等边三角形． 【总结升华】式子 体现了三角形三边长关系，从形式上看与 完全平方式相仿，但差着 中的 2 倍，故想到等式两边同时扩大 2 倍，从而得到结论． 举一反三： 【变式】多项式 的最小值是____________. 【答案】4； 提 示 ： ， 所 以 最 小 值 为 4. 2 2 22 2 2x xy y xz yz z− + + − + ( )( )2 3 1 1 2 3a b a b+ − − − ( )22 3 1a b− + − 2 2[(2 3 ) 2(2 3 ) 1 ]a b a b＋ － ＋ ＋ ( )22(2 ) 2 2 3 3 4 6 1a a b b a b + ⋅ ⋅ + − − +  2 24 12 9 4 6 1a ab b a b－ － － ＋ ＋ － a b c 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a ab b b bc c a ac c− + + − + + − + = 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a c− + − + − = 0a b− = 0b c− = 0a c− = a b c= = 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = 2ab 2 22 2 2 5x xy y y− + + + ( ) ( )2 22 22 2 2 5 1 4x xy y y x y y− + + + = − + + +6 【巩固练习】 一.选择题 1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ① ② ③ ④ A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2. 若 是完全平方式，则 值是（ ） A. B. C. D. 1 3.下面计算 正确的是( )． A.原式＝(－7＋ ＋ )[－7－( ＋ )]＝－ － B.原式＝(－7＋ ＋ )[－7－( ＋ )]＝ ＋ C.原式＝[－(7－ － )][－(7＋ ＋ )]＝ － D.原式＝[－(7＋ )＋ ][－(7＋ )－ ]＝ 4．( ＋3)( ＋9)( －3)的计算结果是( )． A. ＋81 B.－ －81 C. －81 D.81－ 5．下列式子不能成立的有( )个． ① ② ③ ④ ⑤ A.1 B.2 C.3 D.4 6．（2015 春•开江县期末）计算 20152﹣2014×2016 的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 二.填空题 7．多项式 是一个完全平方式，则 ＝______． 8. 已知 ，则 的结果是_______. 9. 若把代数式 化为 的形式，其中 ， 为常数，则 ＋ ＝ _______. 10.（2015 春•深圳期末）若 A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则 A 的末位数字 是　 　． k 2± 1± 4± ( )( )2 5 5 2ab x x ab− + + ( )( )ax y ax y− − − ( )( )ab c ab c− − − ( )( )m n m n+ − − 2 1 4x kx+ + ( )( )7 7a b a b− + + − − − a b a b 27 ( )2a b+ a b a b 27 ( )2a b+ a b a b 27 ( )2a b+ a b a b ( )2 27 a b+ − a 2a a 4a 4a 4a 4a ( ) ( )2 2x y y x− = − ( )2 2 22 4a b a b− = − ( ) ( )( )3 2a b b a a b− = − − ( )( ) ( )( )x y x y x y x y+ − = − − − + ( )2 21 1 2x x x− + = − − 2 8x x k− + k 1 5a a + = 2 2 1a a + 2 2 3x x− − ( )2x m k− + m k m k7 11．对于任意的正整数 ，能整除代数式 的最小正整数是 _______. 12. 如果 ＝63，那么 ＋ 的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值. 14.（2015 春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个 正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此 4、12、20 都是这种“神 秘数”． （1）28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被 4 整除； （3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 15. 已知： 求 的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】①，②，③可用平方差公式. 2. 【答案】B； 【解析】 ，所以 ＝±1. 3. 【答案】C； 4. 【答案】C； 【解析】( ＋3)( ＋9)( －3)＝ . 5. 【答案】B； 【解析】②，③不成立. 6. 【答案】D； 【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1） =20152﹣20152+1=1， 故选 D. 二.填空题 7. 【答案】16； 【解析】 ，∴ ＝16. 8. 【答案】23； k n ( )( ) ( )( )3 1 3 1 3 3n n n n+ − − − + ( )( )2 2 1 2 2 1a b a b+ + + − a b 2 2(1) 101 99+ ( ) ( ) ( )22 2 2(2) 2 2 4m m m+ − + (3) ( )( )a b c a b c+ − − + 2(4) (3 2 1)x y− + ( )26, 9 0,a b ab c a− = + − + = a b c+ + 2 2 21 1 12 2 2 4x x x kx   ± × + = ± +       a 2a a 2 2 4( 9)( 9) 81a a a− + = − 2 2 28 2 4 4x x k x x− + = − × + k8 【解析】 . 9. 【答案】－3； 【解析】 ， ＝1， ＝－4. 10.【答案】6； 【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =（216﹣1）（216+1）+1， =232﹣1+1， 因为 232 的末位数字是 6，所以原式末位数字是 6． 故答案为：6． 11.【答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得 10 ，故能被 10 整除. 12.【答案】±4； 【解析】 . 三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式＝ （2）原式＝ （3）原式＝ （4）原式＝ 14.【解析】 解：（1）是，理由如下： ∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022， ∴28 是“神秘数”；2012 是“神秘数”； （2）“神秘数”是 4 的倍数．理由如下： （2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1）， ∴“神秘数”是 4 的倍数； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则 （2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k， 而由（2）知“神秘数”是 4 的倍数，但不是 8 的倍数， 21( ) 25,a a + = 2 2 2 2 1 12 25, 23a aa a + + = + = ( )22 22 3 2 1 1 3 1 4x x x x x− − = − + − − = − − m k ( )2 1n − ( )( )2 2 1 2 2 1a b a b+ + + − ( )22 2 1 63, 2 2 8, 4a b a b a b= + − = + = ± + = ± ( ) ( )2 2100 1 100 1 =10000 200 1 10000 200 1=20002+ + − + + + − + ( ) ( ) ( )2 2 22 2 4 8 44 4 16 32 256m m m m m− + = − = − + ( )22 2 2 2 2a b c a b c bc− − = − − + ( ) ( )2 22(3 2 1) 3 2 1 2 3 2 2 3 2 2x y x y x y x y− + = + + − × × + × − × 2 29 4 12 6 4 1x y xy x y= + − + − +9 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 15.【解析】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ . 6,a b− = 6a b= + ( )2 9 0,ab c a+ − + = ( ) ( )26 9 0,b b c a+ + − + = ( ) ( )2 23 0,b c a+ + − = 3,b c a= − = ( )3 6 3, 3a c= − + = = ( )3 3 3 3a b c+ + = + − + =