《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1 《整式的乘除》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、 多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行 乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法 公式简化运算； 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法： ( 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： ( 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： ( 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法： ( ≠0, 为正整数，并且 ). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于 1. 6.负指数幂： （ ≠0， 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地 双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. ( )0 1 0 .a a= ≠ m n， m n， n a m n， m n> 1n na a − = a n2 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 ( 都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.即 . 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质 符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形 式 ． 根 据 多 项 式 的 乘 法 ， 能 得 出 一 个 应 用 比 较 广 泛 的 公 式 ： . 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同 它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 要点三、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项” 的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式： ； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 【典型例题】 类型一、幂的运算 1、（2015 春•南长）已知 ， ，求 x+2y 的值． 【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出 x、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据 ， ， mcmbmacbam ++=++ )( cbam ,,, ( )( )a b m n am an bm bn+ + = + + + ( )am bm cm m am m bm m cm m a b c+ + ÷ = ÷ + ÷ + ÷ = + + 222 2)( bababa +−=− ( )( ) ( )2x a x b x a b x ab+ + = + + + 2 2( )( )a b a b a b+ − = − a b， ( )2 2 22a b a ab b+ = + + 22 8x y+= 99 3y x−= 3( 2)2 2x y+= 2 93 3y x−=3 列方程得： ， 解得： ， 则 x+2y=11． 【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方 的运算法则． 2、（1）已知 ，比较 的大小. （2）比较 大小。 【答案与解析】 解：（1） ， 所以 ； （2） ， 所以 【总结升华】（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为 6； （2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为 3. 类型二、整式的乘除法运算 【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例 2】 3、要使 的结果中不含 的一次项，则 等于( ) 　　 A.0 　　 　B.1 　　　 C.2 　 　D.3 【答案】D； 【解析】先进行化简，得： ，要使结果不含 的一次项，则 的一次 项系数为 0，即： ＝0.所以 . 【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为 0. 举一反三： 【变式】若 的乘积中不含 的一次项，则 等于______． 【答案】 ； 类型三、乘法公式 x x 3a = 24 6 122 , 9 , 5= = =a b c , ,a b c 30 20 103 , 9 , 27 ( ) ( )6 624 4 6 12 2 62 2 16 , 5 5 25= = = = < ,a b 2 2 2 2 3 54 a b a b ab− − − − − 2 2 2 2 3 54 a b a b ab− − − − − 2 2 2 2[( 1) ( 2 ) 4]4 a b ab a b ab− + + + + + + ( )22( 1) 42 ab a b− + − + − 0)12( 2 ≥+ab ( ) 02 ≥+ ba 2( 1) 02 ab− + ≤ ( )2 0a b− + ≤6 【巩固练习】 一.选择题 1．若二项式 加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则这样的单项 式的个数有（ ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于任意的整数 ，能整除代数式 的整数是( ) A.4 B.3 C.5 D.2 4．若 ，且 ， ，那么 必须满足条件( )． A. 都是正数 B. 异号，且正数的绝对值较大 C. 都是负数 D. 异号，且负数的绝对值较大 5．化简 的结果是（ ） A． B．25 C． D．以上都不对 6．（2015•日照）观察下列各式及其展开式： … 请你猜想 的展开式第三项的系数是（　　） A．36 B．45 C．55 D．66 7. 下列各式中正确的有（ ）个： ① ；② ； ③ ； ④ ；⑤ ；⑥ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．如图：矩形花园 ABCD 中，AB＝ ，AD＝ ，花园中建有一条矩形道路 LMPQ 及一条平行 4 216 4m m+ 954 aaa =+ 3 3 3 33a a a a⋅ ⋅ = 954 632 aaa =× ( ) 743 aa =− n ( )( ) ( )( )3 3 2 2n n n n+ − − + − ( )( ) 2x a x b x px q+ + = + + 0p > 0q < a b， a b， a b， a b， a b， 2 2 2 2 2 2( 5 3) 2( 5 3)( 5 2) ( 5 2)x x x x x x x x+ + − + + + − + + − 10 1x + 22 10 1x x+ + ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( )4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + + ( )5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + + ( )10a b+ a b b a− = − ( ) ( )2 2a b b a− = − ( ) ( )2 2a b b a− = − − ( ) ( )3 3a b b a− = − − ( )( ) ( )( )a b a b a b a b+ − = − − − + ( ) ( )2 2a b a b+ = − − a b7 四边形道路 RSTK．若 LM＝RS＝ ，则花园中可绿化部分的面积为( ) A． B． C． D． 二.填空题 9. 如果 是一个完全平方式，则 等于_______． 10.若 ， ，则用含 的代数式表示 为______．　 11.已知 ，则 ＝ ． 12．若 ，化简 ＝_________． 13.（2015 春•成都）已知 A=（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B=﹣x2﹣xy﹣1，且 3A+6B 的值 与 x 无关，则 y=　　． 14. 设实数 ， 满足 ，则 ＝_________， ＝__________. 15. 16．如果 ，那么 的值为____ __． 三.解答题 17．已知 ，求 的值． 18. ， ，求 ＝________. 19.计算： 20. （2015•内江）（1）填空： =　 　； =　 　； =　 　． 20002000 20002000 1998 357 153)3 7( + +× c 2bc ab ac b− + + 2a ab bc ac+ + − 2ab ac bc c− − + 2 2b bc a ab− + − kmxx ++ 2 12 k 2 1= +mx 3 4= + my x y 2 22 6 10 0m m n n+ + − + = mn 2 3 0x y < |)(2 1|2 76 yxxy −−⋅− x y 2 21 4 2 02x y xy y+ + − − = x y ( )( )2 2 1 2 2 1 63a b a b+ + + − = a b+ 2 2 2 4 5 0a b a b+ + − + = 22 4 3a b+ − ( )22 2 2a b c a b c+ + = + + 0abc ≠ 1 1 1 a b c + + ( )( )a b a b− + ( )( )2 2a b a ab b− + + ( )( )3 2 2 3a b a a b ab b− + + +8 （2）猜想： =　 　（其中 n 为正整数，且 n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】可以是 ， ， . 2. 【答案】C； 3. 【答案】C； 【解析】 . 4. 【答案】B； 【解析】由题意 ，所以选 B. 5. 【答案】B； 【解析】原式＝ . 6. 【答案】B； 【解析】解： 第 8 个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 第 9 个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第 10 个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则 展开式第三项的系数为 45．故选 B． 7. 【答案】D； 【解析】②④⑤⑥正确. ( )( )1 2 2 1···+n n n na b a a b ab b− − − −− + + + 9 8 7 3 22 2 2 2 2 2− + −⋅⋅⋅+ − + 316m± 1 4 616m ( )( ) ( )( ) 2 23 3 2 2 9 4 5n n n n n n+ − − + − = − − + = − 0 0a b ab+ >