两条直线的位置关系（提高）知识讲解

1 两条直线的位置关系（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线； 2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能 解决一些实际问题； 3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 【要点梳理】 要点一、同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. 要点诠释： （1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表 示. 如下图，两条直线互相平行，记作 AB∥CD 或 a∥b. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做 交点. 两条直线相交只有一个交点. 要点二、对顶角、补角、余角 1.余角与补角 （1）定义：如果两个角的和是 180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫 做另一个角的补角． 类似地，如果两个角的和是 90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一 个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 要点诠释： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关． (2)一个锐角的补角比它的余角大 90°． 2.对顶角 （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互 为对顶角． 要点诠释： (1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向 延长线. (2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产 生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. （3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角. （2）性质：对顶角相等． 要点三、垂线2 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图． 要点诠释： (1)记法：直线 a 与 b 垂直，记作： ； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：AB⊥CD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三 角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点， 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的 反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且 只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条， 但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线 段的长度． 【典型例题】 a b⊥ 90AOC∠ = °  判定 性质3 类型一、两条直线的位置关系 1. 平面上有 10 条直线，其中 4 条直线交于一点，另有 4 条直线互相平行，这 10 条直 线最多有几个交点？ 【答案与解析】 解：如图，图中共有 34 个交点． 【总结升华】10 条直线中有八条直线的位置已经确定，要使 10 条直线的交点最多，就要使 剩下的两条直线与前八条直线均相交. 举一反三： 【变式】不重合的两条直线的位置关系有 （ ）． A．平行或垂直 B．平行或相交 C．不相交或相交 D．平行、垂直或相交 【答案】C 类型二、对顶角、补角、余角 2．如图所示，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE， ∠2:∠1＝4:l，求 ． 【思路点拨】涉及有比值的题设条件，如 a:b＝m:n，在解题时设 ， ，这是常 用的用方程思想解题的方法． 【答案与解析】 解：设∠1＝x，则∠2＝4x． ∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x． ∵ ∠2+∠BOD＝180°，即 4x+2x＝180°，∴ x＝30°． ∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝150°． 又∵ OF 平分∠COE，∴ ∠COF＝ ∠COE＝75°． ∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°． 【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三 AOF∠ a mx= b nx= 1 24 角． 类型三、垂线 3．下列语句： ①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直. ②一条直线的垂线有无数条. ③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直. 其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【思路点拨】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平 面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判 断. 【答案】①② 【解析】①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因 为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错 误，必须是两个邻角相等，如下图： 【总结升华】“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”成立的前提是“在同一平面内”， 若改为在“空间”，则过一点有无数条直线与已知直线垂直（以后学到）. 举一反三： 【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的， 是因为( ) A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之问的所有连线中，线段最短 C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直． D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质 4. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE 与 ∠AOC 的度数. 【答案与解析】 解：∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知) ∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义) ∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°5 ∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°. ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOE－∠COE ＝180°－65°－90°＝25°. 【总结升华】利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中 某些角的大小. 【高清课堂：相交线 403101 例 4 变式（1）】 举一反三： 【变式】如图，若 OM 平分∠AOB，且 OM ⊥ON，求证：ON 平分∠BOC. 【答案】 证明：如图， ∵OM 平分∠AOB ∴∠1=∠2 又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2 由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2 ∴∠3=∠4 ∴ ON 平分∠BOC 5.如图所示，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 分别是位于公路两 侧的村庄． (1)设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距 离村庄 N 最近，请在图中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q 的位置(保留作图痕迹)． (2)当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M、N 两村庄都越来越 近?在哪一段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 越来越远?(分别用文字表述你的结论， 不必说明) 【答案与解析】 解：(1)过点 M 作 MP⊥AB，垂足为 P，过点 N 作 NQ⊥AB，垂足为 Q，点 P、Q 就是要画 的两点，如图所示．6 (2)当汽车从 A 向 B 行驶时，在 AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在 PQ 这段路上， 离村庄 M 越来越远，离村庄 N 越来越近． 【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法． 举一反三： 【变式】点 P 为直线 外一点：点 A、B、C 为直线 上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝ 2 cm，则点 P 到直线 的距离是 ( ) ． A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过 2 cm 【 答 案 】 D l l l7 两条直线的位置关系（提高）巩固练习 撰稿：孙景艳 审稿： 吴婷婷 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE、OF 是过 O 的射线，其中构成对顶角的对数 ( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) A．相等 B．互为补角 C．互为余角 D．相等或互补 3．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF 相等的角还有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4.如图， ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( ) A．五条 B．二条 C．三条 D．四条 [来源:Z.Com] 5．如图所示，OC⊥OA，OD⊥OB，∠AOB＝150°，∠COD 的度数为 ( ) A．90° B．60° C．30° D． 45° 6．∠A 两边分别垂直于∠B 的两边，∠A 与∠B 的关系是 （　　 ） A. 相等　 B.互补 C. 相等或互补 D.不能确定 二、填空题 7．如图，三条直线 a，b，c 交于一点，∠1，∠2，∠3 的大小顺序是________． PO OR OQ PR⊥ ， ⊥ R P Q O8 8．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则 BD 的取值范围是________． 9．如图，请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整 点． (1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ； (2)一天 24 小时，时针与分针互相垂直________次． 10. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以 OA，OB 在同一直线线上，理由是 ________________． 11. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________． 12．如图，工厂 A 要把处理过的废水引入排水沟 PQ，从工厂 A 沿________方向铺设水管用 料最省，这是因为________． 三、解答题 13. 如图所示，AB、CD、EF 相交于 O 点，EF⊥AB，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线．9 (1)若∠AOC:∠COG＝4:7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC:∠DOH＝8:29，求∠COH 的大小． 14．如图，已知 A、O、B 三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE 分别是∠AOC， ∠BOC 的平分线． (1)判断 OD 与 OE 的位置关系； (2)当∠AOC 大小发生变化时，OD、OE 仍分别是∠AOC、∠BOC 的平分线，则 OD 与 OE 的位置关系是否改变? 请说明理由． 15．如图，AOB 为一条在 O 处拐弯的河，要修一条从村庄 P 通向这条河的道路，现在有两 种设计方案：一是沿 PM 修路，二是沿 PO 修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个 经济一些? 它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理 由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】两条直线相交，两两相配共组成 6 对角，这 6 对角中有：4 对邻补角，2 对对顶 角. 2. 【答案】D； 【解析】画草图进行分析． 3. 【答案】B； 【解析】与∠EOF 相等的角还有：∠BOC，∠AOD． 4．【答案】A； 【解析】（1）线段 PO 的长度表示点 P 到直线(或线段)OR 的距离；（2）线段 RO 的长 度表示点 R 到直线(或线段)OP 的距离；（3）线段 OQ 的长度表示点 O 到直线(或线段)PR10 的距离；（4）线段 PQ 的长度表示点 P 到直线(或线段)OQ 的距离；（5）线段 RQ 的长度 表示点 R 到直线(或线段)OQ 的距离． 5. 【答案】C； 【解析】∠COD＝180°－150°＝30°． 6. 【答案】C； 【解析】画草图进行分析． 二、填空题 7．【答案】∠1＞∠3＞∠2； 【解析】∠1＝180°－60°－50°＝70°；∠2＝50°；∠1＝60°. 8. 【答案】bcm＜BD＜a cm； 9．【答案】(1)3 时或 9 时； (2)44； 【解析】一天 24 小时中时针转 2 圈，分针转 24 圈，所以分针要超过时针的圈数是： 24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天 24 小时中分针与时 针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）． 10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 11. 【答案】0 或 1 或 2 或 3 个； 【解析】当三条直线相互平行时 0 个交点；当三条直线交于同一点时 1 个交点；当两条 直线平行，第三条直线与它们相交时有两个交点；当三条直线两两相交但没有交与同一点时 3 个交点． 12．【答案】垂直于 PQ 的，垂线段最短． 三、解答题 13. 【解析】 解： (1)因为 EF⊥AB，OG 为∠COF 的平分线，所以∠AOF＝90°，∠GOC＝∠GOF． 又因为∠AOC:∠COG＝4:7， 所以设∠AOC＝4x，∠GOC＝∠GOF＝7x， 所以∠AOC+∠COF＝90°，即 4x+7x+7x＝90°， 解得 x＝5°，所以∠COF＝70°，∠DOF＝180°－70°＝110°； (2)因为∠AOC:∠DOH＝8:29，所以设∠AOC＝8x， ∠GOC＝∠GOF＝ ， ∠DOH＝(180°－∠COG) × ＝ ． ∵ ∠AOC:∠DOH＝8:29，所以∠DOH＝29x，即 ， 解得 ， 所以∠DOH＝29×2.5°＝72.5°，∠COH＝180°－72.5°＝107.5°． 14．【解析】 解：(1)OD⊥OE． (2)不变，理由如下： ∵ OD，OE 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线， ∴ ∠COD＝ ∠AOC，∠COE＝ ∠COB． ∴ ∠DOE＝ (∠AOC+∠COB)＝ ×180°＝90°， 90 8 45 42 x x − = −° ° 1 2 180 (45 4 ) 135 4 2 2 x x− − +=° ° ° 135 4 29x x + =° 2 2.5x = ° 1 2 1 2 1 2 1 211 ∴ OD⊥OE． 15．【解析】 解：本题所给出的两种方案中，沿 PO 修路这种方案更经济一些，因为 PO 是 OA 的垂线段， PM 是 OA 的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方 案应为沿如图所示的线段 PN 修路．因为垂线段最短得知，线段 PN 是 P 与 OB 上的各点的 连线中最短的，PO 是 P 与 OA 上的各点的连线中最短的，即 PN＜PO＜PM．所以沿线段 PN 修路是最经济的方案．