同位角、内错角、同旁内角（不分层）知识讲解

1 同位角、内错角、同旁内角 知识讲解 【学习目标】 1.了解“三线八角”模型特征； 2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们． 【要点梳理】 要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线 AB、CD 与直线 EF 相交(或者说两条直线 AB、CD 被第三条直线 EF 所截)，构 成八个角，简称为“三线八角”，如图 1. 要点诠释： ⑴两条直线 AB,CD 与同一条直线 EF 相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图 1， （1）同位角：像∠1 与∠5，这两个角分别在直线 AB、CD 的同一方，并且都在直线 EF 的同 侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3 与∠5，这两个角都在直线 AB、CD 之间，并且在直线 EF 的两侧，像这 样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3 和∠6 都在直线 AB、CD 之间，并且在直线 EF 的同一旁，像这样的一 对角叫做同旁内角. 要点诠释： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是 没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有 4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角． 【高清课堂：平行线及其判定 403102 三线八角】 要点二、同位角、内错角、同旁内角位 置特征及形状特征 图 12 要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图 2． 【典型例题】 类型一、“三线八角”模型 1. 3 (1)图 3 中，∠1、∠2 由直线 被直线 所截而成． (2)图 4 中，AB 为截线，∠D 是否属于以 AB 为截线的三线八角图形中的角？ 【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ． 【解析】（1）∠1、∠2 两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线． （2）因为∠D 的两边都不在直线 AB 上，所以∠D 不属于以 AB 为截线的三线八角图形 中的角． 【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线. 类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别 2.如图，(1)DE 为截线,∠E 与哪个角是同位角? (2)∠B 与∠4 是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)∠B 和∠E 是同位角吗?为什么? 【答案与解析】 解：（1）DE 为截线,∠E 与∠3 是同位角； （2）截出这两个角的截线是直线 BC,被截线是直线 BF、DE； （3）不是,因为∠B 与∠E 的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B 和∠E 不是同位角. 【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪 几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再 抽取与该截线相关的角来分析. 举一反三： 【变式】（2016 春•邹城市校级期中）如图所示，下列说法错误的是（　　）4 A．∠1 和∠3 是同位角 B．∠1 和∠5 是同位角 C．∠1 和∠2 是同旁内角 D．∠5 和∠6 是内错角 【答案】B 解：从图上可以看出∠1 和∠5 不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正 确． 3. （2014 秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内 角分别有哪些？请把它们一一写出来． 【答案与解析】 解：内错角：∠1 与∠4，∠3 与∠5，∠2 与∠6，∠4 与∠8； 同旁内角：∠3 与∠6，∠2 与∠5，∠2 与∠4，∠4 与∠5； 同位角：∠3 与∠7，∠2 与∠8，∠4 与∠6． 【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要 求分解成简单的图形后，结论便一目了然. 举一反三： 【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 中，哪些是同位角？哪些是 内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】 解：同位角：∠5 与∠1，∠4 与∠3； 内错角：∠2 与∠3，∠4 与∠1； 同旁内角：∠4 与∠2，∠5 与∠3，∠5 与∠4. 【高清课堂：平行线及其判定 403102 三线八角练习（2） 】 4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角. 【答案与解析】5 解： 同位角：∠B 与∠ACD，∠B 与∠ECD； 内错角：∠A 与∠ACD，∠A 与∠ACE； 同旁内角：∠B 与∠ACB，∠A 与∠B，∠A 与∠ACB，∠B 与∠BCE． 【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条 直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析． 举一反三： 【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】 解：∠1 与∠5，∠2 与∠6，∠3 与∠7，∠4 与∠8 是同位角； ∠2 与∠8，∠3 与∠5 是内错角； ∠2 与∠5，∠3 与∠8 是同旁内角. 类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系 5. 如图直线 DE、BC 被直线 AB 所截， (1)∠1 和∠2、∠1 和∠3、∠1 和∠4 各是什么角？每组中两角的大小关系如何？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1 和∠2 相等吗？∠1 和∠3 互补吗？为什么？ 【答案与解析】 解：(1)∠1 和∠2 是内错角；∠1 和∠3 是同旁内角；∠1 和∠4 是同位角． 每组中两角的 大小均不确定． (2) ∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补. 理由如下： ① ∵∠1=∠4（已知） ∠4＝∠2（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. ② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义) ∠1＝∠4(已知) ∴∠1＋∠3＝180°6 即∠1 和∠3 互补. 综上，如果∠1=∠4，那么∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补． 【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并 且所有的内错角相等，所有同旁内角互补． 举一反三： 【变式 1】若∠1 与∠2 是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ． A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2 或∠1＞∠2 或∠1＜∠2 【答案】D 【变式 2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条 直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互 相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 【 答 案 】 C （ 提 示 ： ② ④ 正 确 ） ．7 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，直线 AD、BC 被直线 AC 所截，则∠1 和∠2 是( ). A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 2．如图，能与 构成同位角的有( ). A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 3．（2016 春•迁安市期中）下列命题中，真命题有（　　） （1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线； （4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．若∠1 与∠2 是同位角，则它们之间的关系是( ). A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ； C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2 或∠1＞∠2 或∠1＜∠2. 5．（2015•宿迁）如图所示，直线 a，b 被直线 c 所截，∠1 与∠2 是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 6. 已知图（1）—（4）： 在上述四个图中，∠1 与∠2 是同位角的有（ ）. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1） 7.如图，下列结论正确的是（ ）. A．∠5 与∠2 是对顶角； B．∠1 与∠3 是同位角； α∠8 C．∠2 与∠3 是同旁内角； D．∠1 与∠2 是同旁内角. 8.在图中，∠1 与∠2 不是同旁内角的是 （ ）. 二、填空题 9．（2015•鞍山二模）如图，当直线 BC、DC 被直线 AB 所截时，∠1 的同位角是_______，同 旁内角是_______；当直线 AB、AC 被直线 BC 所截时，∠1 的同位角是________；当直线 AB、 BC 被直线 CD 所截时，∠2 的内错角是________． 10．如图， (1)∠1 和∠ABC 是直线 AB、CE 被直线________所截得的________角； (2)∠2 和∠BAC 是直线 CE、AB 被直线________所截得的________角； (3)∠3 和∠ABC 是直线________、________被直线________所截得的________角； (4)∠ABC 和∠ACD 是直线________、________被直线 所截得的________角； (5)∠ABC 和∠BCE 是直线________、________被直线 所截得的________角． 11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3 的同位角等于________，∠3 的内错角等于 ________，∠3 的同旁内角等于________． 12．（2016 春•昆明校级期中）如图，标有角号的 7 个角中共有　 　对内错角，　 　对同位 角，　 　对同旁内角． 13．如图，直线 a、b、c 分别与直线 d、e 相交，与∠1 构成同位角的角共有________个， 和∠l 构成内错角的角共有________个，与∠1 构成同旁内角的角共有________个． 14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有 对，同位角共有 对，内错角 共有 对.9 三、解答题 15．如图，∠1 和哪些角是内错角? ∠1 和哪些角是同旁内角? ∠2 和哪些角是内错角? ∠2 和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的? 16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角． 17. （2015 春•惠城区期中）指出图中各对角的位置关系： （1）∠C 和∠D 是　 　角； （2）∠B 和∠GEF 是　 　角； （3）∠A 和∠D 是　 　角；10 （4）∠AGE 和∠BGE 是　 　角； （5）∠CFD 和∠AFB 是　 　角． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】∠1 与∠2 是直线 AD、BC 被直线 AC 所截而成，且这两角都在被截线 AD、BC 之 间，在截线 AC 两侧，所以为内错角． 2．【答案】B 【解析】如图，与 能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3． 3. 【答案】B 【解析】（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； （2）应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确； （4）应为如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一 条垂直，故本选项错误． 所以（1）（3）两项是真命题． 4. 【答案】D 【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系． 5. 【答案】A． 6. 【答案】C 【解析】图（2）或图（4）中的∠1 与∠2 没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 7. 【答案】D 8. 【答案】D 【解析】选项 D 中∠1 与∠2 没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 二、填空题 9.【答案】∠2, ∠5, ∠3, ∠4 【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系． 10.【答案】(1)BD(或 BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内; (4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内． α∠11 【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析． 11．【答案】85°， 85°， 95° 【解析】∠3 的同位角和内错角均与∠1 互补，故它们的度数均为：180°－95°=85°， 而∠3 的同旁内角是∠1 的对顶角，所以∠3 的同旁内角的度数等于∠1 的度 数． 12．【答案】4 对内错角：分别是∠1 和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5 和∠7； 2 对同位角：分别是∠7 和∠1，∠5 和∠6； 4 对同旁内角：分别是∠1 和∠5、∠3 和∠4、∠3 和∠2、∠4 和∠2． 13．【答案】3，2，2 【解析】如图，与∠1 是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1 是内错角的是：∠5, ∠6；与∠1 是同旁内角的是：∠7，∠8． 14．【答案】6, 12, 6 【解析】每个“三线八角”中共有 4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角，而两两相 交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有： （对），同位角共有： （对），同旁内角共有： （对）． 三、解答题 15. 【解析】 解：∠1 和∠DAB 是内错角，由直线 DE 和 BC 被直线 AB 所截而成； ∠1 和∠BAC 是同旁内角，由直线 BC 和 AC 被直线 AB 所截而成； ∠1 和∠2 也是同旁内角，是直线 AB 和 AC 被直线 BC 所截而成； ∠1 和∠BAE 也是同旁内角，是直线 DE 和 BC 被直线 AB 所截而成； ∠2 和∠EAC 是内错角，是直线 DE 和 BC 被直线 AC 所截而成； ∠2 和∠BAC 是同旁内角，是直线 AB 和 BC 被直线 AC 所截而成； ∠2 和∠1 也是同旁内角，是直线 AB 和 AC 被直线 BC 所截而成； ∠2 和∠DAC 也是同旁内角，是直线 DE 和 BC 被直线 AC 所截而成． 16．【解析】 解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：∠BAD 和∠B； 由图(2)得同位角：∠DAE 和∠C，同旁内角：∠CAD 和∠C； 由图(3)得同位角：∠BAE 和∠C，内错角：∠B 和∠BAE，同旁内角：∠B 和∠C，∠B 和∠ BAC，∠C 和∠BAC． 即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角． 3 2 6× = 3 4 12× = 3 2 6× =12 17.【解析】 解：（1）∠C 和∠D 是同旁内角； （2）∠B 和∠GEF 是同位角； （3）∠A 和∠D 是内错角； （4）∠AGE 和∠BGE 是邻补角； （5）∠CFD 和∠AFB 是对顶角； 故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角