平行线的判定（提高）知识讲解

1 平行线的判定（提高）知识讲解 【学习目标】 1.熟练掌握平行线的画法； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的画法及平行公理 1.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点二、平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）2 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行公理及推论 1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只 有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条 直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) . A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3). 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确 理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三： 【变式】下列说法正确的个数是 ( ) . （1）直线 a、b、c、d，如果 a∥b、c∥b、c∥d，则 a∥d. （2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等. （4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行． A．1 个 B .2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 2.证明：平行于同一直线的两条直线平行． 【答案与解析】 已知：如图， ．求证： ． 证明：假设直线 a 与直线 b 不平行，则直线 a 与直线 b 相交，设交点为 A，如图． ， 则过直线 c 外一点 A 有两条直线 a、b 与直线 c 平行， 这与平行公理矛盾，所以假设不成立． ． 【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立． a // c, b // c a // b a // c, b // c a // b∴3 类型二、平行线的判定 3.（2015 春•荣昌县校级期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF． 【思路点拨】根据 BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，得出∠DBF= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB， ∠DBF=∠ECB，再根据∠DBF=∠F，得出∠ECB=∠F，即可证出 EC∥DF． 【答案与解析】解：∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∴∠DBF= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠DBF=∠ECB， ∵∠DBF=∠F， ∴∠ECB=∠F， ∴EC∥DF． 【总结升华】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等，两直线平行，关键是 证出∠ECB=∠F． 举一反三： 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次 拐弯的角度可能是( ) A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130° C．第一次向右拐 50°，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130° 【答案】A 提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图． 图 B 显然不同向，因为路线不平行． 图 C 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 图 D 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 只有图 A 路线平行且同向，故应选 A．4 4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明 AB ∥EF 的理由． 【思路点拨】利用辅助线把 AB、EF 联系起来． 【答案与解析】 解法 1：如图所示，在∠BCD 的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE 的内部作∠EDN＝10 °． ∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)， ∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)． ∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)． 又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)， ∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)． ∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)． ∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)． ∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)， ∴ AB∥EF(平行线的传递性)． 解法 2：如图所示，分别向两方延长线段 CD 交 EF 于 M 点、交 AB 于 N 点． ∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°． ∵ ∠B＝25°， ∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于 180°)． 又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°． 又∵ ∠E＝10°， ∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于 180°)． ∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)． 所以 AB∥EF(内错角相等，两直线平行)． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活 选取． 举一反三： 【高清课堂：平行线及判定 403102 经典例题 2 】 【变式】（2015 秋•巨野县期末）如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．5 【答案】 证明：延长 BE 交 CD 于 F． ∵∠BED+∠DEF=180°，(平角的定义) ∴∠DEF+∠D+∠EFD=180°（三角形的内角和等于 180°）， ∴∠BED=∠D+∠EFD，（等量代换） 又∠BED=∠B+∠D， ∴∠B=∠EFD（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．6 平行线的判定（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1.下列说法中正确的有( ) . ①一条直线的平行线只有一条． ②过一点与已知直线平行的直线只有一条． ③因为 a∥b，c∥d，所以 a∥d． ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) . A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 3．（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（　　） A．若 a∥b，b∥c，则 a∥c B．若∠1=∠2，则 a∥c C．若∠3=∠2，则 b∥c D．若∠3+∠5=180°，则 a∥c 4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两 次拐弯的角度可能是 ( ) ． A．第一次向右拐 40°，第二次向右拐 140°． B．第一次向右拐 40°，第二次向左拐 40°． C．第一次向左拐 40°，第二次向右拐 140°． D．第一次向右拐 140°，第二次向左拐 40°． 5．如图所示，下列条件中，不能推出 AB∥CE 成立的条件是 ( ) . A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180° 6.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法， 她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:7 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）. ①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行． ④内错角相等，两直线平行． A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④① 二、填空题 7.（2015 春•高密市月考）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD； ③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线 AB∥CD 成立的 是　 　．（填序号） 8．如图，DF 平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________． 9．规律探究：同一平面内有直线 a1，a2，a3…，a100，若 a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规 律，a1 和 a100 的位置是________． 10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为 40°，则另一个角的度数是 11．直线 同侧有三点 A、B、C，如果 A、B 两点确定的直线 与 B、C 两点确定的直线 都与 平行，则 A、B、C 三点 ，其依据是 12. 如图，AB⊥EF 于点 G，CD⊥EF 于点 H，GP 平分∠EGB，HQ 平分∠CHF，则图中互 相平行的直线有 ． 三、解答题 13.（2015 春•兴平市期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明 BD∥CE． 14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个 量角器，你能帮助她解决这一问题吗? l l′ l′′ l8 15．如图，把一张长方形纸条 ABCD 沿 AF 折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF 为多少 度时，才能使 AB′∥BD? 16．如图所示，由∠1＝∠2，BD 平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如 果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有④正确，其它均错． 2. 【答案】D； 3. 【答案】C； 【解析】A、若 a∥b，b∥c，则 a∥c，利用了平行公理，正确； B、若∠1=∠2，则 a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、∠3=∠2，不能判断 b∥c，错误； D、若∠3+∠5=180°，则 a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确； 故选 C． 4. 【答案】B； 5. 【答案】B； 【解析】∠B 和∠ACE 不是两条直线被第三条直线所截所得到的角． 6. 【答案】C； 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点 P 的折 痕与虚线垂直． 二、填空题 7. 【答案】②③； 【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到 AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD 利用内错角相等两直线平行得到 AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角 互补得到 AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到 AD∥BC，错误； 故答案为：②③ 8. 【答案】BC， DE； 【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠ FDE． 9. 【答案】a1∥a100； 【解析】为了方便，我们可以记为 a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥ a99⊥a100，因为 a1⊥a2∥a3，所以 a1⊥a3，而 a3⊥a4，所以 a1∥a4∥a5．同理得 a5∥a8 ∥a9，a99 ∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得 a1∥a97∥a100，所以 a1∥a100． 10.【答案】 40°或 140°； 11.【答案】共线，平行公理； 【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用． 12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ； 【解析】 理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD． ∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP 平分∠EGB． ∴ ∠1＝ EGB＝45°． ∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°． 同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ． ∴ GP∥HQ． 三、解答题 13. 【解析】 解：∵∠A=∠F（已知）， ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠C=∠D（已知）， ∴∠D=∠CEF（等量代换）， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）． 14．【解析】 解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段 MN，用量角器测得∠1＝50°， ∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是 平行的． 15. 【解析】 解：要使 AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°， ∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°． ∴∠BAF＝ ∠B′AB＝ ×110°＝55°． 16．【解析】 解：可推出 AD∥BC．∵ BD 平分∠ABC(已知)． ∴ ∠1＝∠DBC(角平分线定义)． 又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC(等量代换)． ∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)． 把∠1＝∠2 改成∠DBC＝∠BDC． 1 2 1 2 1 2