平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解

1 平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解 【学习目标】 1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 3．了解尺规作图的基本知识及步骤； 4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识. 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等. 性质 2：两直线平行，内错角相等. 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不 可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平 行线的性质． 要点二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段 的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变， 即平行线间的距离处处相等． 要点三、尺规作图 1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 要点诠释： （1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在 一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 2.八种基本作图（有些今后学到）： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．2 （6）已知一角、一边做等腰三角形． （7）已知两角、一边做三角形． （8）已知一角、两边做三角形． 【典型例题】 类型一、平行线的性质 1.（2015 春•荣昌县期末）如图，已知射线 AB 与直线 CD 交于点 O，OF 平分∠BOC， OG⊥OF 于 O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF 的度数； （2）试说明 OD 平分∠AOG． 【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定 义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于 180°列式进行计算即可得解； （2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即 可得解． 【答案与解析】 解：（1）∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°， ∵OF 平分∠BOC， ∴∠COF=∠FOB=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°； （2）∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°， ∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°， ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°， ∴∠AOD=∠DOG， ∴OD 平分∠AOG． 【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相 等得到相等的角是关键． 举一反三： 【变式】（2015•青海）如图，直线 a∥b，直线 l 与 a 相交于点 P，与直线 b 相交于点 Q，且 PM 垂直于 l，若∠1=58°，则∠2=　 　．3 【答案】32° 类型二、两平行线间的距离 2.下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小． 【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的 平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是 拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得 出平行四边形面积的大小. 【答案】图 3，图 2 【解析】 解：因为它们的高相等，三角形的底是 8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以 2，（2+7）÷2 ＝4.5；5＞4.5＞4； 所以，图 3 平行四边形的面积最大，图 2 三角形的面积最小. 【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底 的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案. 举一反三： 【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为 1 厘米，则螺线总长度是 厘米. 【答案】35 类型三、尺规作图 3. 如图所示，已知∠ 和∠ ，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠ -∠ ）．α β α β4 【答案与解析】 作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠ ； （2）以射线 OD 为一边，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠ ； （3）以射线 OC 为一边，在∠COA 的内部作∠COE，使∠COE＝∠ ； （4）以射线 OE 为一边，在∠EOA 内部作∠EOB，使∠EOB＝∠ ，则∠AOB 就是所求 作的角． 【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做 差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角． 4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为 50m，宽为 22m 的长方形地面上修筑宽度都为 2 m 的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积． 【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困 难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇 集成一个长方形，问题便迎刃而解． 【答案与解析】 解：如图所示②把几条 2 米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部 分汇集成一个长方形， 显然，这个长方形的长是 50-2＝48(m)，宽是 22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为 48 α α β β5 ×20＝960(m2)． 【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求 解． 举一反三： 【变式】如图①，在宽为 20m、长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部 分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2 【答案】B 类型四、平行的性质与判定综合应用 5. (黄冈调考)如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P，∠C 的数量 关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明． 【思路点拨】过 P 点作 AB 的平行线，问题便会迅速得到求解． 【答案与解析】 解： (1)∠A+∠C＝∠P； (2)∠A+∠P+∠C＝360°； (3)∠A＝∠P+∠C； (4)∠C＝∠P+∠A． 现以（3）的结论加以证明如下： 如上图，过点 P 作 PH∥AB ，因为 AB∥CD，所以 PH∥AB∥CD． 所以∠HPA＋∠A＝180°，即∠HPA＝180°－∠A； ∠HPA＋∠P＋∠C＝180°，即 180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，也即∠A＝∠P+∠ C． 【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙．都是过折点作平行线求 解． 举一反三： 【变式 1】如图，AB∥CD，∠ABG＝42°，∠CDE＝68°，∠DEF＝26°． 求证：BG∥EF．6 【答案】如图，分别过点 G、F、E 作 GP∥AB，FQ∥AB，ER∥CD，又因为 AB∥CD， 所以 AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ． ∴∠1＝42°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠5＋26°＝68°， ∴∠5＝68°－26°＝42°，且∠4＝∠5＝42°． ∴∠1＋∠2＝42°＋∠2；∠4＋∠3＝42°＋∠3． ∴∠1＋∠2＝42°＋∠3，即∠BGF＝∠GFE． ∴BG∥EF． 【变式 2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A 是 120 °，第二次拐的角∠B 是 150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前 的道路平行，则∠C 是( ) ． A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D7 平行线的性质及尺规作图（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. 若∠1 和∠2 是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2 的度数是 ( ) A．45° B．135° C．45°或 135° D．不能确定 2．（2016•安徽模拟）如图 AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C 的度数为（　　） A．60° B．80° C．75° D．70° 3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线 AB∥CD，BE 平分∠ABC，交 CD 于 D，∠CDE＝ 150°，则∠C 的度数为( ) A．150° B．130° C．120° D．100° 4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( ) A．∠1＋∠2-∠3＝90° B．∠2＋∠3-∠1＝180° C．∠1-∠2＋∠3＝180° D．∠1＋∠2＋∠3＝180° 5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC 平分∠BAD，且交 EF 于点 O，则与∠AOE 相等的 角有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE 等于（　　 ）8 A．23° B．16° C．20° D．26° 7. 如图所示，在一个由 4×4 个小正方形组成的正方形网格中，把线段 EF 向右平移 3 个单 位，向下平移 1 个单位得到线段 GH，则阴影部分面积与正方形 ABCD 的面积比是( ) A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2 二、填空题 8．（2016 春•江苏月考）如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A=　 　． 9.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________． 10.（四川攀枝花）如图，直线 l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3＝　　． 11.一个人从点 A 出发向北偏东 60°方向走了 4m 到点 B，再向南偏西 80°方向走了 3m 到 点 C，那么∠ABC 的度数是________． 12.如图所示，过点 P 画直线 a 的平行线 b 的作法的依据是 _． 13.如图，已知 ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：9 ①∠A＝∠EDF；②∠1＋∠2＝180°；③∠A＋∠B＋∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中， 正确的是________．(填序号) 三、解答题 14．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1 和∠2 什么关系?并说明理由． 15．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠ B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形 ABCD 内引一条和边平行的直 线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数． 16．（2015 春•澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=　 　； （2）∠1+∠2+∠3=　 　 ； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=　 　； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　 　． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】D； 【解析】∵AB∥CD， ∴∠A+∠AFD=180°， ∵∠A=110°， ∴∠AFD=70°，10 ∴∠CFE=∠AFD=70°， ∵∠E=40°， ∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°，故选 D． 3. 【答案】C； 【解析】解：如图， ∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°. 4. 【答案】B； 【解析】反向延长射线 ST 交 PR 于点 M,则在△MSR 中， 180°－∠2＋180°－∠3＋∠1＝180°，即有∠2＋∠3-∠1＝180°. 5. 【答案】A 【解析】与∠AOE 相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC． 6. 【答案】C； 【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°， ∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°， ∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°． 7. 【答案】B； 【 解 析 】 ， ， 所 以 ． 二.填空题 8. 【答案】70°； 【解析】∵AD⊥DF，∴∠ADF=90°． ∵∠1=30°，∴∠ADE=90°﹣30°=60°． ∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE=60°， ∵△ABC 中，∠ABC=60°，∠2=50°， ∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°．故答案为：70°． 9.【答案】95°； 【解析】如图，过点 E 作 EF∥AB．所以∠ABE＋∠FEB＝180°(两直线平行，同旁内 角互补)，所以∠FEB＝180°-120°＝60°．又因为 AB∥CD，EF∥AB，所以 EF∥ CD，所以∠FEC＝∠DCE＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC＝∠FEB＋∠ FEC＝60°＋35°＝95°． =2 2+3 1 2=10S × × ×阴 =4 4=16S ×正ABCD ABCDS =10:16 5:8S =正阴：11 10.【答案】60°； 【解析】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，∴∠6＝65°，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠4＝55°，在△ABC 中，∠6＝65°，∠4＝55°，∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°． 11．【答案】20°； 【解析】根据题意画出示意图，可得：∠ABC＝80°－60°＝20°. 12.【答案】内错角相等，两直线平行； 13.【答案】①②③④； 【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF 与∠1 和∠3 互补. 三.解答题 14.【解析】 解：∠1＝∠2．理由如下： ∵ AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴ ∠ADB＝∠EFB＝90°． ∴ AD∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∴ ∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等)． 又∵ ∠3＝∠C(已知)， ∴ AC∥DG(同位角相等，两直线平行)． ∴ ∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)， ∴ ∠1＝∠2． 15.【解析】 解：如图，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E． ∴ ∠A＋∠2＝180°，∠B＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵ ∠3＝∠1＋∠C， ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝360°， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°．12 16.【解析】 解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）； （2）过点 E 作一条直线 EF 平行于 AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）过点 E、F 作 EG、FH 平行于 AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°； ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°； （4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁 内角互补．即可得到 n 个角的和是 180°（n﹣1）．