《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1 《三角形》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计 算及证明问题. 2. 理解并会应用三角形三边关系定理； 3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图. 4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全 等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全 等的解决实际生活中存在的问题. 5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三 角形全等. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类：2 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点三、三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长， 可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内； 直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 要点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定 1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边 边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定 2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可 以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定 3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定 4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可 以简写成“边角边”或“SAS”）.      直角三角形 三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形      不等边三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形3 要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等 量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点五、用尺规作三角形 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知 识作一个三角形与已知三角形全等； 要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行 表达. 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 【高清课堂：与三角形有关的角 练习（3）】 1.在△ABC 中，∠ABC＝∠C，BD 是 AC 边上的高，∠ABD＝30°，则∠C 的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论． 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，在△ABD 中， ∵ BD 是 AC 边上的高(已知)， ∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)． 又∵ ∠ABD＝30°(已知)， ∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°． 又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝120°， 又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°． (2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中， ∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴ ∠BAC＝120°． 又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝60°． ∴ ∠C＝30°．4 综上，∠C 的度数为 60°或 30°． 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解 答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解 和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 举一反三 【变式】已知：如图，在ΔABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE 分别是边 AC、AB 上 的高，BD、CE 相交于 H，则∠BHC 的度数为 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】135°. 类型二、三角形的三边关系及分类 2.（2016 春•故城县期末）已知：a、b、c 为三角形的三边长，化简： |b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|. 【思路点拨】根据三角形的三边关系得出 a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合 并同类项即可． 【答案与解析】解：∵a、b、c 为三角形三边的长， ∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， ∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b| =b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c =2c﹣2a． 【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边是解答此题的关键． 举一反三 【变式】（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是 2 和 3，若它的第三边长为奇数，则这个 三角形的周长为　　． 【答案】8． 解：设第三边长为 x， ∵两边长分别是 2 和 3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 即：1＜x＜5， ∵第三边长为奇数， ∴x=3， ∴这个三角形的周长为 2+3+3=8.5 3.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC． (1)你能说明 OB+OC＜AB+AC 的理由吗? (2)若 AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出 OB+OC 的取值范围吗? 【答案与解析】 解：(1)如图，延长 BO 交 AC 于点 E，根据三角形的三边关系可以得到， 在△ABE 中，AB+AE＞BE； 在△EOC 中，OE+EC＞OC， 两不等式相加，得 AB+AE+OE+EC＞BE+OC． 由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE． 所以 AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即 OB+OC＜AB+AC． (2)因为 OB+OC＞BC，所以 OB+OC＞7． 又因为 OB+OC＜AB+AC，所以 OB+OC＜11，所以 7＜OB+OC＜11． 【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题． 4.有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是 1：2，这个三角形按角分类可能是什么 三角形？ 【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是 1：2，则这个三角形三个角度数的比 为 1：2：2 或 1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而 根据三角形的分类进行判断即可． 【答案与解析】 解：（1）1+1+2=4， 180× =90° ∴ 该三角形是直角三角形； （2）又 1+2+2=5， 180× =72° ∵ 最大角为 72 度，是锐角， ∴ 该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形； 综上所述： 该三角形是直角三角形或锐角三角形． 【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和 180 度；（2）按比例分配知 识；（3）三角形的分类； 举一反三 2 4 2 56 【变式】一个三角形的三个角的度数比是 1 ：2 ：3 ，这个三角形中最小的一个角是 度，按角分类，这个三角形是 三角形． 【答案】30；直角. 类型三、三角形的重要线段 5. 如图 13，△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D，DF⊥ CE，求∠FCD 的度数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【思路点拨】由图可知∠CDF 是 Rt△CDF 的一个内角，求∠CDF 可先求出∠FCD，△CDB 为直 角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD. 【答案与解析】 在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得： 　　　∠BCA=180°-72°-40°=68° 　　　又 CE 平分∠ACB， ∴ ∠BCE= ∠BCA=34°， 　　　在 中，CD⊥AB 于 D，∠B = 72° 　　 ∴ ∠BCD= 90°- 72°= 18° 　　 ∴ ∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°. 　　 即∠FCD =16°. 【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所 以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数. 举一反三 【变式】如图 14，△ABC 中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【答案】∠DAE=35° 类型四、全等三角形的性质和判定 6. （2015•通辽）如图，四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，其中∠BAE=∠BCE= ∠ACD=90°，且 BC=CE，求证：△ABC 与△DEC 全等．7 【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上 BC=CE，可证得结论． 【答案与解析】 解：∵∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠3+∠4=∠4+∠5， ∴∠3=∠5， 在△ACD 中，∠ACD=90°， ∴∠2+∠D=90°， ∵∠BAE=∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠D， 在△ABC 和△DEC 中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）． 【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键， 即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL． 举一反三： 【变式】已知：如图所示，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB＝∠ABC． 求证：CD＝2CE． 【答案】 证明： 延长 CE 至 F 使 EF＝CE，连接 BF． ∵ EC 为中线，8 ∴ AE＝BE． 在△AEC 与△BEF 中， ∴ △AEC≌△BEF（SAS）． ∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等） 又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A． ∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC． ∴ AB＝BF． 又∵ BC 为△ADC 的中线， ∴ AB＝BD．即 BF＝BD． 在△FCB 与△DCB 中， ∴ △FCB≌△DCB（SAS）． ∴ CF＝CD．即 CD＝2CE． 类型五、全等三角形判定的实际应用　 7. 为在池塘两侧的 A，B 两处架桥，要想测量 A，B 两点的距离，有以下两种方法： （1）如图所示，找一处看得见 A，B 的点 P，连接 AP 并延长到 D，使 PA=PD，连接 BP 并延长到 C，使 PC=PB．测得 CD=35m，就确定了 AB 也是 35m，说明其中的理由； （2）如图所示，也可先过 B 点作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C，D两点，使 BC=CD．接着 过点 D 作 BD 的垂线 DE 交 AC 的延线长于 E，则测出 DE 的长即为 A，B 的距离．你认为这种 方案是否切实可行，请说出你的理由．作 BD⊥AB，ED⊥BF 的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE ≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？ 【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过 测量这个三角形中与 AB 相等的线段的长，从而得知 AB 的距离． 【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以 CD=AB． （2）由△ACB≌△ECD 得 DE=AB．目的是使 DE∥AB，可行． 【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 类型六、用尺规作三角形 , , , AE BE AEC BEF CE EF = ∠ = ∠  = , , , BF BD FBC DBC BC BC = ∠ = ∠  =9 8.已知：线段 a，b 求作：△ABC，使 AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【思路点拨】首先画线段 AC=2a，再以 A 为圆心，a 长为半径画弧，再以 C 为圆心，b 长为 半径画弧，两弧交于点 B，连接 AB、BC 即可． 【答案与解析】 解：如图所示： ， △ABC 即为所求． 【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角 形全等判定定理”边边边”解决本题． 举一反三 【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，∠α、∠β． 求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β． 【答案】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．10 【巩固练习】 一.选择题 1．（2015•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（　　） 　 A．内心 B． 外心 C． 中心 D． 重心 2. 如图, 在∠AOB 的两边上截取 AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结 AD、BC 交于点 P. 则下列结论 正确的是( ) ① △AOD≌△BOC； ② △APC≌△BPD； ③ 点 P 在∠AOB 的平分线上 A. 只有① B. 只有② C. 只有①② D. ①②③ 3. 如图，三角形的角平分线、中线、高的画法错误的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE 的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 5. 利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（　　） A. 已知三边 B. 已知两边及夹角 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及其中一边的对角 6. 如图，AB⊥BC 于 B，BE⊥AC 于 E，∠1＝∠2，D 为 AC 上一点，AD＝AB，则（ ）． A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC 7. 如图，已知 AB＝AC，PB＝PC，且点 A、P、D、E 在同一条直线上.下面的结论：①EB＝11 EC；②AD⊥BC；③EA 平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（ ） A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 8. 如图所示的 4×4 正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　） A．330° B．315° C．310° D．320° 二.填空题 9.（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为 8 的三角形共有　　个． 10. 如图，已知点 C 是∠AOB 平分线上的点，点 P、P′分别在 OA、OB 上，如果要得到 OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C； ③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：　 　． 11. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点 O 是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等 边三角形的高为 1，则 OE＋OF 的值为 ． 12．（2016•莘县一模）如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线 BE、CD 相交于点 F，∠ ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=　 　．12 13. 一个三角形的两边长分别为 3 和 7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是 _________． 14. 如图所示，AD，AE 是三角形 ABC 的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE 的度 数 ． 15．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PB=m， PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是 . 16. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺 丝的距离依序为 2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏 此木框，则任两螺丝的距离之最大值为 . 三.解答题 17.（2016•南充）已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N．13 18．如图所示，已知 D 是 AB 上一点，E 是 AC 上的一点，BE、CD 相交于点 F，∠A＝62°，∠ ACD＝15°，∠ABE＝20°. 　　(1)求∠BDC 的度数； 　　(2)求∠BFD 的度数； 　　(3)试说明∠BFC＞∠A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 19. 如图所示，△ABC 中，D，E 在 BC 上，且 DE＝EC，过 D 作 DF∥BA，交 AE 于点 F，DF＝ AC，求证：AE 平分∠BAC． 　　　　　　　　　　　　　　　　 20．如图画一个等腰△ABC，使底边长 BC=a，底边上的高为 h（要求：用尺规作图，保留作 图痕迹）． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D． 2. 【答案】D； 【解析】可由 SAS 证①，由①和 AAS 证②，SSS 证③. 3. 【答案】D； 【解析】三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段；三角形的角平分线 是指三角形内角的平分线与对边交点连接的线段；三角形的高是指从三角形的 一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 4. 【答案】A； 【解析】因为知道 AD 的长，所以只要求出 AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过 D 作 BC 的垂线交 BC 于 G，过 E 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于 F，构造出 Rt△EDF ≌Rt△CDG，求出 GC 的长，即为 EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可14 5. 【答案】D； 【解析】A、边边边（SSS）；B、两边夹一角（SAS）；C、两角夹一边（ASA）都是成立 的．只有 D 是错误的，故选 D． 6. 【答案】B ； 【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以 FD∥BC. 7. 【答案】D； 8. 【答案】B； 【解析】由图中可知：①∠4= ×90°=45°，②∠1 和∠7 的余角所在的三角形全等 ∴∠1+∠7=90° 同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45° ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°． 二.填空题 9.【答案】20. 【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为 8， ∴三边长可以为： 1，8，8； 2，7，8；2，8，8； 3，6，8；3，7，8；3，8，8； 4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8； 5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8； 6，6，8；6，7，8；6，8，8； 7，7，8；7，8，8； 8，8，8； 故各边长度都是整数、最大边长为 8 的三角形共有 20 个． 10.【答案】①②④； 【解析】①OCP=∠OCP′，符合 ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ②∠OPC=∠OP′C；符合 AAS，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ④PP′⊥OC，符合 ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′； ③ 中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理．故填①②④ 11.【答案】1； 【解析】连接 AO，△ABO 的面积＋△ACO 的面积＝△ABC 的面积，所以 OE＋OF＝等边三 角形的高. 12．【答案】120°； 【解析】解：∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°． ∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°． 又∵∠ABC、∠ACB 的平分线分别为 BE、CD．15 ∴∠FBC= ，∠FCB= ． 又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°． ∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°． 故答案为：120°． 13.【答案】15； 【解析】提示：由三角形三边关系知 x 可以取 5，6，7，8，9，所以三角形的周长最小 值为 15． 14.【答案】20°； 【解析】解：∵∠B=36°，∠C=76°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°， ∵AE 是角平分线， ∴∠EAC= ∠BAC=34°． ∵AD 是高，∠C=76°， ∴∠DAC=90°﹣∠C=14°， ∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣14°=20°． 15．【答案】m+n＞b+c； 【解析】在 BA 的延长线上取点 E，使 AE=AC，连接 ED，EP， ∵AD 是∠A 的外角平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 在△ACP 和△AEP 中， ， ∴△ACP≌△AEP（SAS）， ∴PE=PC， 在△PBE 中，PB+PE＞AB+AE， ∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b， ∴m+n＞b+c． 16. 【答案】7； 【解析】分析：若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条 木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 解：已知 4 条木棍的四边长为 2、3、4、6； 　 ①选 2+3、4、6 作为三角形，则三边长为 5、4、6；6-5＜4＜6+5，能构成三角形，此时 两个螺丝间的最长距离为 6； 　②选 3+4、6、2 作为三角形，则三边长为 2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时 两个螺丝间的最大距离为 7； ③选 4+6、2、3 作为三角形，则三边长为 10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情 况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 7． 三.解答题 17.【解析】 （1）证明：在△ABD 和△ACE 中，16 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM 和△ABN 中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 18.【解析】 解：（1）∵∠A=62°，∠ACD=15°，∠BDC 是△ACD 的外角， ∴∠BDC=∠A+∠ACD， ∴∠BDC=62°+15°=77°； （2）∵∠ABE+∠BDC+∠BFD=180°， ∴∠BFD=180°-20°-77°=83°； （3）∵∠BFC 是△DBF 的一个外角， ∴∠BFC＞∠BDC． ∵∠BDC 是△ADC 的一个外角， ∴∠BDC＞∠A， ∴∠BFC＞∠A． 19．【解析】 证明：延长 FE 到 G，使 EG＝EF，连接 CG， 在△DEF 和△CEG 中， ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG， ∴△DEF≌△CEG， ∴DF＝GC，∠DFE＝∠G， ∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE， ∵DF＝AC，∴GC＝AC， ∴∠G＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAE，即 AE 平分∠BAC． 20．【提示】可先作底边长 BC=a，进而作出 BC 的垂直平分线，以垂足为圆心，在垂直平分 线上截取高 h，进而连接顶点和线段的 2 个端点即可． 【解析】 解：△ABC 就是所求的三角形．17