简单的轴对称及利用轴对称进行设计（提高）—知识讲解

1 简单的轴对称及利用轴对称进行设计（提高）知识讲解 【学习目标】 1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换， 设计一些图案，解决简单的实际问题. 2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算． 3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判 定定理，能用它们解决几何计算与证明题. 4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的 数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力． 【要点梳理】 要点一、作轴对称图形和对称轴 1.做轴对称图形 可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依 顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形. 要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得 垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取 的这点就是已知点关于直线的对称点. 2.对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要 找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴 对称图形的对称轴作法相同． 要点诠释： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形， 如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线 被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 要点二、等腰三角形的性质及判定 1.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线 合一”）． 要点诠释： （1）性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． （2）性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． （3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴， 通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴． 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等 边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相 等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2 线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是： 线段的垂直平分线上的点到这条线段 的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结 论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点四、角平分线性质定理及其逆定理 角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的 内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角 被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点五、利用轴对称性质进行简单设计 欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实 生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美. 【典型例题】 类型一、作轴对称图形及对称轴 1、公园内有一块三角形空地（如图），现要将它分割成三块，种植三种不同的花卉， 为了美观，要求每块都要是轴对称图形，请你在右图中画出分割线，保留必要的画图痕 迹． 【思路点拨】根据等腰三角形是轴对称图形，作任意两边的垂直平分线，找出△ABC 的外心 P，然后连接 PA、PB、PC，把三角形分成三块等腰三角形． 【答案与解析】 解：如图，分别作 AB、BC 的垂直平分线，相交于点 P， 则点 P 是△ABC 的外心，沿 PA、PB、PC 进行分割， 得到的△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，都是轴对称图形．3 【总结升华】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，根据等腰三角形是轴对称图形的特点， 分割后得到等腰三角形，是作三角形的外心的关键，也是本题的突破口． 举一反三： 【变式】如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个 小正方形使它成为轴对称图形． 【答案】 解：如图： 类型二、等腰三角形的性质与判定 2、（2015 秋•蓬江区期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、 BC、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数． 【思路点拨】（1）由 AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明 △DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．4 （2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可 求出∠DEF 的度数． 【答案与解析】 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 在△DBE 和△CEF 中 ， ∴△DBE≌△CEF， ∴DE=EF， ∴△DEF 是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B= （180°﹣40°）=70° ∴∠1+∠2=110° ∴∠3+∠2=110° ∴∠DEF=70° 【总结升华】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了 三角形内角和定理和平角是 180°，因此有一定的难度，属于中档题． 举一反三： 【变式】已知，如图，AD 为△ABC 的内角平分线，且 AD＝AB，CM⊥AD 于 M. 求证：AM＝ (AB＋AC) ． 【答案】 1 25 证明：延长 AM 至点 E，使 ME＝AM，连结 CE. ∴ 　 类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理 3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是 AC 的垂直平分线，线段 DE=1cm，求 BD 的长． 【思路点拨】连接 AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直 平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出 ∠BAD=90°，然后根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 CD=2DE，BD=2AD，代入数 据进行计算即可得解． 【答案与解析】 解：连接 AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD=CD， ∴∠CAD=∠C=30°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°， 在 Rt△CDE 中，CD=2DE， 在 Rt△ABD 中，BD=2AD， , , . . , . . . . AM ME CM AE AC CE E CAM AD BAC CAM BAM E BAM AB CE B BCE = ⊥ = ∠ = ∠ ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∵ ∴ ∴ ∵ 平分 ∴ ∴ ∴ ∥ ∴ , . , . . 2 . AB AD B ADB CDE ADB CDE BCE DE CE AM AE AD DE AB AC = ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ = = = + = + ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ( )1 2AM AB AC= +6 ∴BD=4DE， ∵DE=1cm， ∴BD 的长为 4cm． 故答案为：4cm． 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的 一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关 键． 举一反三 【变式】（2016•安徽模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A． 解：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴△BEC 周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC， ∵腰长 AB=8， ∴AC=AB=8， ∴△BEC 周长=8+5=13． 4、如图，已知 AB=AD，BC=DC，BD 交 AC 于点 O，请分别说明下列判断成立的理由： （1）△ABC≌△ADC； （2）AC 是线段 BD 的垂直平分线． 【思路点拨】（1）再加上公共边 AC，即可利用 SSS 证明； （2）由（1）中的结论可判断出点 A、C 均在 BD 的垂直平分线上． 【答案与解析】 证明：（1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC． （2）∵△ABC≌△ADC，7 ∴AB=AD，BC=CD． ∴点 A、C 在线段 BD 的垂直平分线上． ∴AC 是线段 BD 的垂直平分线． 【总结升华】注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．需注意与一 条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，但两点确定一条直线． 举一反三 【变式】用圆规和直尺作图，在∠DEC 中找一点 P，使点 P 到∠DEC 两边的距离相等，并且 到 M、N 两点的距离也相等（保留作图痕迹）． 【答案】 类型四、角平分线性质定理及其逆定理 5、已知：如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE、CD 相交于点 O，且 AO 平分∠BAC， 求证：OB=OC． 证明：∵AO 平分∠BAC， ∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答． 【思路点拨】由角平分线的性质可得 OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证 OB=OC． 【答案与解析】 证明：∵AO 平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC， ∴OD=OE， 在△DOB 和△EOC 中， ∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC， ∴△DOB≌△EOC（ASA），8 ∴OB=OC． 【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距 离是垂线段的长． 举一反三 【变式】如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，对于结 论：①DE=DF；②BD=CD；③AD 上任一点到 AB、AC 的距离相等；④AD 上任一点到 B、C 的距 离相等．其中正确的是（　　） A．仅①②　　　B．仅③④　　C．仅①②③　　D．①②③④ 【答案】D； 6、如图所示，已知△ABC 中，F 点到直线 AE、AD、BC 的距离都相等． 求证：F 点在∠DAE、∠CBD、∠BCE 的平分线上． 【思路点拨】连接 AF，由已知可知 GF=FM，已知 AF=AF，则利用 HL 来判定 Rt△AGF≌Rt△AMF 从而可得到∠FAG=∠FAM，同理可得到∠FCG=∠FCH，∠FBH=∠FBM，即 F 点在∠DAE、∠CBD、 ∠BCE 的平分线上． 【答案与解析】 证明：如图所示，连接 AF． ∵F 点到直线 AE、AD 的距离相等， 即 FG=FM， ∴△AGF 和△AMF 为直角三角形．9 在 Rt△AGF 和 Rt△AMF 中， ∵FG=FM，AF=AF， ∴Rt△AGF≌Rt△AMF． ∴∠FAG=∠FAM． 同理可证 Rt△FGC≌Rt△FHC， Rt△FHB≌Rt△FMB， ∴∠FCG=∠FCH，∠FBH=∠FBM， ∴F 点在∠DAE，∠CBD，∠BCE 的平分线上． 【总结升华】此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运 用．准确作出辅助线是解答本题的关键． 类型五、利用轴对称性质进行设计 7、图 1、2、3 均为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1．请分别在这三个 图中各画出一个与△ABC 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后重合．中心对称的性质：绕某一点 旋转 180°以后重合进行拼图即可． 【答案与解析】 解： 【总结升华】本题考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．10 【巩固练习】 一.选择题 1．在图中，是轴对称图形的是 （ ） 2．如图，ΔABC 与Δ 关于直线 对称，则∠B 的度数为 （ ） A．30° B．50° C．90° D．100° 3. 下列说法中错误的是( ) A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B.关于某直线对称的两个图形全等 C.面积相等的两个三角形对称 D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合 4. 一平面镜以与水平面成 45°角固定在水平桌面上,如图所示,一小球以 1 米/秒的速度沿 桌面向平面镜匀速滚去,则小球在平面镜里所成的像（ ）. A. 以 1 米/秒的速度,做竖直向上运动 B. 以 1 米/秒的速度,做竖直向下运动 C. 以 2 米/秒的速度,做竖直向上运动 D. 以 2 米/秒的速度,做竖直向下运动 5. 如图，有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物 超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A.在 AC，BC 两边高线的交点处 B.在 AC，BC 两边中线的交点处 C.在 AC，BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A，∠B 两内角平分线的交点处 6．（2016 春•鄂城区月考）如图，OB 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB=12， BC=24，AC=18，则△AMN 的周长为（　　） ' ' 'A B C l11 A．30 B．33 C．36 D．39 二.填空题 7．如图，钝角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝110°，D 为 AC 边的中点．现将纸片沿过点 D 的 直线折叠，折痕与 BC 交于点 E，点 C 的落点记为 F．若点 F 恰好在 BA 的延长线上，则∠ ADF ＝_________°． 8．如图，ΔABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点． （1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____； （2）若 AB＝5 ，BC＝3 ，则ΔPBC 的周长＝_____． 9. 如图，等边△ABC 的边长为 2 ，D，E 分别是 AB，AC 上的点，将△ADE 沿直线 DE 折叠， 点 A 落在点 处，且点 在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 ． 10.如图，CD 与 BE 互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°. cm cm cm A′ A′ cm12 11. 如图，OP 是∠MON 的角平分线，点 A 是 ON 上一点，作线段 OA 的垂直平分线交 OM 于点 B，过点 A 作 CA⊥ON 交 OP 于点 C，连接 BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC 的面 积为　 cm2． 12．（2016 春•射阳县校级月考）如图，在△ABC 中，∠B=40°，BC 边的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，若 CE 平分∠ACB，则∠A=　 　°． 三.解答题 13. 现有 9 个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所 示． 观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；② 涂黑部分都是三个小正三角形． 请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特 征． 14. 如图，点 P 是∠AOB 内的一点，且点 P 关于射线 OA、OB 的对称点为 P1、P2，连接 P1、 P2，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． （1）根据题意，把图形补充完整． （2）若 P1P2=5cm，求△PMN 的周长． 15．（2015•株洲模拟）在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为 D，过 D 作 DE∥AC，交 AB 于 E，若 AB=5，求线段 DE 的长．13 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】根据轴对称图形的定义判断. 2. 【答案】D； 【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等. 3. 【答案】C； 【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称. 4. 【答案】B； 【解析】入射角等于反射角，小球在平面镜里成像向下运动，速度不变. 5. 【答案】C； 【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等. 6. 【答案】A． 【解析】∵BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB， ∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB， ∴∠NBO=∠NOB，∠MOC=∠MCO， ∴MO=MC，NO=NB， ∵AB=12，AC=18， ∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30． 故选 A． 二.填空题 7．【答案】40； 【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°. 8. 【答案】70, 8； 【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°， ∠BPC＝70°.ΔPBC 的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8 . 9. 【答案】6； 【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC 的周长＝6 . 10．【答案】70； 【 解 析 】 ∵CD 与 BE 互 相 垂 直 平 分 ， ∴DB=DE ， ∵∠BDE=70° ， ∴ ∠ BDC=35 ° ， ∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形 ACBD 关于直线 AB 成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°． 11. 【答案】20； 【解析】过点 C 作 CF⊥OM 于点 F，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得 OB=AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得 AC=CF，再根据三 角形的面积计算公式得出△OBC 的面积． 12.【答案】60. 【解析】∵E 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴BE=CE， ∴∠ECB=∠B=40°， ∵CE 平分∠ACB， ∴∠ACD=2∠ECB=80°， cm cm14 又∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°， 故答案为：60． 三.解答题 13.【解析】解：因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要 所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．如图所示 ． 14.【解析】（1）过点 P 分别作 OA，OB 的垂线，分别交 AO，AB 于点 G，H，截取 GP1=GP，HP2=HP；（2）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等， 可求得△PMN 的周长． 解：（1）如图所示： （2）∵P 与 P1 关于 OA 对称， ∴OA 为线段 PP1 的垂直平分线． ∴MP=MP1． 同理可得：NP=NP2． ∵P1P2=5cm， ∴△PMN 的周长=MP+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5cm． 15.【解析】 解：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB=90°， ∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠BDE， ∴DE=BE， ∵AB=5，15 ∴DE=BE=AE= AB=2.5．