勾股定理 导学案

1 勾股定理 导学案 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别 为 ，斜边长为 ，那么 ． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的． （3）理解勾股定理的一些变式： ， ， ． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中 ，所以 ． 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中 ，所以 ． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 a b， c 2 2 2a b c+ = 2 2 2a c b= − 2 2 2b c a= − ( )22 2c a b ab= + −2 　　　　 ，所以 ． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上的点，求证： 【答案与解析】 证明：作等腰三角形底边上的高 AE 　　 ∵AB=AC，AE⊥BC ∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90° ∴ 【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化， 若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题． 类型二、与勾股定理有关的线段长 2、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE 丄 DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长． 【答案与解析】 解：连接 BD， ∵等腰直角三角形 ABC 中，D 为 AC 边上中点， ∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C， 又∵DE 丄 DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， 2 2 2 2 2 2( ) ( )AD AB AE DE AE BE− = + − + 2 2 2 2AE DE AE BE= + − − 2 2DE BE= − ( )( )DE BE DE BE= + − BD CD= 3 ∴∠FDC=∠EDB， 在△EDB 与△FDC 中， ∵ ， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴BE=FC=3， ∴AB=7，则 BC=7， ∴BF=4， 在 Rt△EBF 中， EF2=BE2+BF2=32+42， ∴EF=5． 【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形 全等，求得 BE 和 BF，再由勾股定理求出 EF 的长． 举一反三： 【变式】（2015 春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA 于 A，PB⊥OB 于 B，PA=2， PB=11，求 OP 的长． 【答案】 解：∵PA⊥OA，∠C=30°， ∴PC=2PA=4， ∴BC=BP+PC=11+4=15， ∵PB⊥OB，∠C=30°， 设 OB=x，则 OC=2x， 在 Rt△BOC 中，由勾股定理得： x +15 =（2x） ， 解得，x=5 ， 即 OB=5 ， ∴OP= = =14． 类型三、与勾股定理有关的面积计算 3、（2015•丰台区二模）问题背景： 2 2 2 3 34 在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 ，3 ， ，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网 格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示．这样不需 要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积． （1）请你直接写出△ABC 的面积　 　； 思维拓展： （2）如果△MNP 三边的长分别为 ，2 ， ，请利用图 2 的正方形网格（每个小正 方形的边长为 1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP 的面积． 【思路点拨】（1）根据图形得出 S△ABC=S 矩形 MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公 式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可． 【答案与解析】 解：（1）△ABC 的面积是 4.5，理由是： S△ABC=S 矩形 MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC =4×3﹣ ×4×1﹣ ×2×1﹣ ×3×3 =4.5， 故答案为：4.5； （2）如图 2 的△MNP，5 S△MNP=S 矩形 MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP =5×3﹣ ×5×1﹣ ×2×4﹣ ×3×1 =7， 即△MNP 的面积是 7． 【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出 格点三角形，难度不是很大． 举一反三： 【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 4、6、3、4，则最大正方形 E 的面积是（　　）　 A．17　　　B．36　　　C．77　　　　D．94 【答案】C 类型四、利用勾股定理解决实际问题 4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出 AB 的长即可；（2）利用勾股定理直接得出 BC′ 的长，进而得出答案． 【答案与解析】 解：（1）由题意得：AC=25 米，BC=7 米， AB= =24（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有 24 米； （2）由题意得：BA′=20 米， BC′= =15（米）， 则：CC′=15﹣7=8（米），6 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 米． 【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 举一反三： 【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于 12 ，底面半径等于 3 ，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点的食物，需要爬行的最短路程是多 少?(π取 3) 【答案】 解：如图②所示，由题意可得： ， 在 Rt△AA′B 中，根据勾股定理得： 则 AB＝15 ． 所 以 需 要 爬 行 的 最 短 路 程 是 15 ． cm cm 12AA′ = 1 2 3 92A B π′ = × × = 2 2 2 2 212 9 225AB AA A B′ ′= + = + = cm cm7 【巩固练习】 一．选择题 1．如图，△ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度 为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2. （2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、 C）.若线段 AD 长为正整数，则点 D 的个数共有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 3．如图，长方形 AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上 E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ） A.30 B．32 C．34 D．16 　　 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 ， ， 上，且 ， 之间的距离为 2 , ， 之间的距离为 3 ,则 的值是（ ） A．68 B．20 C．32 D．47 5．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12,则△ABC 的周长为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 1l 2l 3l 1l 2l 2l 3l 2AC8 6．（2015•烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰 直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，…按 照此规律继续下去，则 S2015 的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 7．若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5，则此三角形的第三边的平方为______． 8． 将一根长为 15cm 的很细的木棒置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形杯中，木棒露 在杯子外面的部分长度 x 的范围是 ． 9．如图，在 的正方形网格中，以 AB 为边画直角△ABC，使点 C 在格点上，这样的点 C 共 个． 10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形 拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较 短的直角边长为 a，较长的直角边长为 b，那么（a+b）2 的值是　_________　． 11．已知长方形 ABCD，AB＝3 ，AD＝4 ，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为_______________． 12．（2015 春•召陵区期中）如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， ∠B=90°，那么四边形 ABCD 的面积是　 　． 2012 2 2       2013 2 2       20121 2      20131 2      55× cm cm9 三．解答题 13．（2015•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上， 当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，求运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离． 14．现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正 方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小 正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形． 15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A 城气象 局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处，以每时 12km 的速度向北偏东 60° 方向移动，距沙尘暴中心 150km 的范围为受影响区域． （1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ （2）若 A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？ 【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】C 【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB 是直角三角形，∵D 为 AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵10 AE=16， ,所以 BE=12. 2. 【答案】C 【解析】过点 A 作 AE⊥BC,则由勾股定理得 AE=3，点 D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）.所以 3≤AD＜5，AD=3 或 4，共有 3 个符合条件的点. 3．【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 CD ＝ DE ＝ 5 ， BE ＝ 4 ， 设 OE ＝ ， AE ＝ AC ＝ ， 所 以 ， ，阴影部分面积为 ． 4．【答案】A 【解析】如图，分别作 CD⊥ 交 于点 E，作 AF⊥ ，则可证△AFB≌△BDC，则 AF＝3＝ BD, BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC 中，勾股定理得 ． 　 5．【答案】C 【解析】高在△ABC 内部，第三边长为 14；高在△ABC 外部，第三边长为 4，故选 C． 6．【答案】C 【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为 2； 第二个正方形的边长为： ； 第三个正方形的边长为： ， … 第 n 个正方形的边长是 ， 所以 S2015 的值是（ ）2012， 故选 C. 二．填空题 7．【答案】169 或 119； 【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12 也可能是斜边． 8．【答案】2cm≤x≤3cm； 【解析】由题意可知 BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm．当木棒垂直于底面时露在杯子外面的 部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm，当木棒与 AB 重合时露在杯子外面的部分长度最短为 15-AB=15-13=2cm. 2 2 2 144BE AB AE= − = x 4x + ( )22 28 4x x+ = + 6x = 1 16 8 4 3 302 2 × × + × × = 3l 2l 3l 2 2 28 +2 =68AC =11 9．【答案】8； 【解析】如图所示：有 8 个点满足要求． 10．【答案】25； 【解析】根据题意，结合勾股定理 a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣1，∴2ab=12， 联立解得：（a+b）2=13+12=25． 11．【答案】 ； 【解析】连接 BE，设 AE＝ ，BE＝DE＝ ，则 ， ． 12．【答案】36. 【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC= = =5， 在△ACD 中，AC2+CD2=25+144=169=AD2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴S 四边形 ABCD= AB•BC+ AC•CD = ×3×4+ ×5×12 =36． 故答案是：36． 三．解答题 13．【解析】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1， ∴OE=AE= AB=1， DE= = = ， 7 8 cm x 4 x− ( )22 23 4x x+ = − 7 8x =12 ∴OD 的最大值为： +1． 14．【解析】 解：如图所示： 15．【解析】 解：（1）过点 A 作 AC⊥BM，垂足为 C， 在 Rt△ABC 中，由题意可知∠CBA=30°， ∴AC= AB= ×240=120， ∵AC=120＜150， ∴A 城将受这次沙尘暴的影响. （2）设点 E，F 是以 A 为圆心，150km 为半径的圆与 MB 的交点，连接 AE，AF， 由题意得, ，CE=90 ∴EF=2CE=2×90=180 180÷12=15（小时） ∴A 城受沙尘暴影响的时间为 15 小时. 1 2 1 2 2 2 2 2 2150 120 8100CE AE AC= − = − =