勾股定理的逆定理 导学案

勾股定理的逆定理 导学案 【学习目标】 1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别； 2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形； 3. 理解勾股数的含义； 4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角 形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如 ）. （2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C＝90°的 直角三角形；若 ，则△ABC 不是直角三角形. 要点诠释：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形 为锐角三角形，其中 为三角形的最大边. 要点三、勾股数 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）， 显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果 是勾股数，当 为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形. 要点诠释：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； （2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边 长； （3） （ 是自然数）是直角三角形的三 条边长； 【典型例题】 类型一、勾股定理的逆定理 a b c， ， 2 2 2a b c+ = c 2c 2 2a b+ 2 2 2c a b= + 2 2 2c a b≠ + 2 2 2a b c+ < 2 2 2a b c+ > c 2 2 2x y z+ = x y z、 、 a b c、 、 t at bt ct、 、 2 21 2 1n n n− +， ， 1,n n> 2 22 2 , 2 1, 2 2 1n n n n n+ + + + n 2 2 2 2, ,2m n m n mn− + ,m n m n> 、1、（2016 春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长 为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边 向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时，△BPQ 的面积为多少 cm2. 【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直 角三角形．再求出 3 秒后的 BP，BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解． 【答案与解析】 解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm， ∵周长为 36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 得 x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC 是直角三角形， 过 3 秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9﹣3）×6=18（cm2）． 故过 3 秒时，△BPQ 的面积为 18cm2． 【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式 结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数 学思想和正确运算的能力． 2、如图，点 D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60°得到△CBE，若 AD=4，BD=3，CD=5． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．【思路点拨】把△ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三 角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度 60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利 的判断三角形的形状和求∠ADB 的度数． 【答案与解析】 解：（1）根据图形的旋转不变性， AD=EC，BD=BE， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形， 于是 DE=BD=3，EC=AD=4， 又∵CD=5， ∴DE2+EC2=32+42=52=CD2； 故△DEC 为直角三角形． （2）∵△DEC 为直角三角形， ∴∠DEC=90°， 又∵△BDE 为等边三角形， ∴∠BED=60°， ∴∠BEC=90°+60°=150°， 即∠ADB=150°． 【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾 股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结 论． 举一反三： 【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P 是△ABC 内一点，且 PA＝3， PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC 的度数． 【答案】 解：连接 BD．∵ CD⊥CP，且 CD＝CP＝2， ∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°， ∴ ∠ACP＝∠BCD． ∵ CA＝CB， ∴ △CAP≌△CBD(SAS)， ∴ DB＝PA＝3． 在 Rt△CPD 中， ． 又∵ PB＝1，则 ． 2 2 2 2 22 2 8DP CP CD= + = + = 2 1PB =∵ ， ∴ ， ∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB＝90°， ∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°． 类型二、勾股定理逆定理的应用 3、已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c=12，请你 探索△ABC 的形状． 【答案与解析】 解：令 =k． ∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k， ∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8． 又∵a+b+c=12， ∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12， ∴k=3． ∴a=5，b=3，c=4． ∴△ABC 是直角三角形． 【总结升华】此题借用设比例系数 k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的 逆定理判定三角形的形状． 举一反三： 【变式】（2015 春•渝中区校级月考）△ABC 的三边 a、b、c 满足|a+b﹣50|+ + （c﹣40）2=0．试判断△ABC 的形状是　 　． 【答案】直角三角形． 解：∵|a+b﹣50|+ +（c﹣40）2=0， ∴ ， 解得 ， ∵92+402=412， ∴△ABC 是直角三角形． 故答案为直角三角形． 4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午 9 时 50 分我国缉私艇 A 发现在 其正东方向有一走私艇 C 并以每小时 13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5 海里，并在 MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意，并告知 A 和 C 两艇的距离是 13 海里，缉私 2 9DB = 2 2 8 1 9DB DP PB= + = + = 4 3 8 3 2 4 a b c+ + += = 4 3 8 3 2 4 a b c+ + += =艇 B 测得 C 与其距离为 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 【答案与解析】 解：∵ ， ∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°． 又 BD⊥AC，可设 CD＝ ， ∴ ①－②得 ， 解得 ．∴ ≈0.85(h)＝51(分)． 所以走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海． 【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判 定 直 角 三 角 形 ， 为 勾 股 定 理 的 运 用 提 供 了 条 件 ． 2 2 2 2 2 25 12 169 13AB BC AC+ = + = = = x 2 2 2 2 2 2 12 , (13 ) 5 , x BD x BD  + = − + = ① ② 2 2169 26 119x x x− + − = 144 13x = 144 1441313 169 ÷ =【巩固练习】 一．选择题 1．（2016 春•平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（　　） A．13，16，19 B． ， ， C．18，24，36 D．12，35，37 2．（2015 春•凉山州期末）△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a，b，c，满足下列条 件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） 　 A.a：b：c=1： ：1 B.∠A：∠B：∠C=3：4：5 　 C.（a+b）（a﹣b）=c D.∠A：∠B：∠C=1：2：3 3． 已知△ABC 三边长分别为 2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，（n 为正整数），则△ABC 为（　　） 　A ． 直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D ． 钝角三角形 4． 有下面的判断：①△ABC 中，a2+b2≠c2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角 三角形，∠C=90°，则 a2+b2=c2．③若△ABC 中，a2﹣b2=c2，则△ABC 是直角三角形．④ 若△ABC 是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（　　） 　A ． 4 个 B．3 个 C．2 个 D ． 1 个 5．五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ） 6． 为直角三角形的三边，且 为斜边， 为斜边上的高，下列说法： ① 能组成一个三角形 ② 能组成直角三角形 ③ 能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为 3：4:5 能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 7．若△ABC 中， ，则∠B＝____________． 8．（2016 春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为 x+1，x+2，x+3，要使此三角形成为直 角三角形，则 x=　 　． 9．若一个三角形的三边长分别为 1、 、8(其中 为正整数)，则以 、 、 为边 的三角形的面积为______． 2 2 cba ,, c h 222 ,, cba 2 2 2 1 1 1, ,a b c hba 1,1,1 ( )( ) 2b a b a c− + = a a 2a − a 2a +10．△ABC 的两边 分别为 5，12，另一边 为奇数，且 是 3 的倍数，则 应为 ______，此三角形为______． 11．（2014 春•寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东 60°方向以每小时 8 海 里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时 15 海里速度前进，2 小时后，甲乙两 船相距 34 海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．　 12． 如果线段 能组成一个直角三角形，那么 ________组成直角三角形．(填 “能”或“不能”)． 三．解答题 13．（2014 秋•广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地 ABCD，现计划 在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m，AD=400m，CD=1300m， BC=1200m．请计算种植草皮的面积． 14．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别是 a、b、c． （1）填表： 边 a、b、c 三角形的面积与周长的比值 3 4 5 5 12 13 8 15 17 （2）若 a+b﹣c=m，则猜想 =　　（并证明此结论）． 15． 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角 梯形（任选两个均可）； （2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以 格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB； （3）如图 2，将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到△DBE，连接 AD，DC，∠DCB=30 度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形． a b， c a b c+ + c a b c， ， 2,2,2 cba s l【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D 【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间 的关系，所以只有 D 项满足． 2．【答案】B． 3．【答案】A； 【解析】由 2n2+2n+1＞2n2+2n，且 2n2+2n+1＞2n+1，得到 2n2+2n+1 为最长的边， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=1+4n+8n2+8n3+4n4，（2n2+2n+1）2=1+4n+8n2+8n3+4n4 ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形． 4．【答案】C； 【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b） （a﹣b）≠c2，故错误． 5．【答案】C； 【解析】 ． 6．【答案】B； 【解析】因为 ，两边之和等于第三边，故 不能组成一个三角形，① 错误；因为 ，所以 ．又因为 ．得 ．两边同除以 ， 得 ②正确；因为 ，所以③正确， 360°× =150°，最大角并不是 90°，所以④错误． 二．填空题 7．【答案】90°； 【解析】由题意 ，所以∠B=90°． 8．【答案】2； 【解析】由题意得：（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2，解得：x1=2，x2=﹣2（不合题意，舍 去）. 2 2 2 2 2 27 24 25 15 20 25+ = + =， 2 2 2a b c+ = 222 ,, cba ab ch= abc h = 2 2 2a b c+ = 2 2 2 2 2 a ba b h + = 2 2a b 2 2 2 1 1 1 a b h + = 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1a b c c a b a b a b c h h +     + = = = =           5 12 2 2 2b a c= +9．【答案】24； 【解析】∵7＜ ＜9，∴ ＝8． 10．【答案】13；直角三角形； 【解析】7＜ ＜17． 11．【答案】30； 【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16， 乙船的路程：BO=15×2=30， ∵302+162=342， ∴∠AOB=90°， ∵AO 是北偏东 60°方向， ∴BO 是南偏东 30°． 故答案为：30． 12．【答案】能； 【解析】设 为斜边，则 ，两边同乘以 ，得 ，即 ． 三．解答题 13．【解析】 解：连接 BD， 在 Rt△ABD 中，BD2=AB2+AD2=3002+4002=5002， 在△CBD 中，CD2=13002， BC2=12002， 而 12002+5002=13002， 即 BC2+BD2=CD2， 则∠DBC=90°， S 四边形 ABCD=S△BAD+S△DBC AD•BD+ BD•BC=360000m2． 答：种植草皮的面积是 360000m2． a a c c 222 cba =+ 4 1 222 4 1 4 1 4 1 cba =+ 222 )2()2()2( cba =+14．【解析】 （1）解：∵S= ×3×4=6， L=3+4+5=12， ∴ = = ， ∴同理可得其他两空分别为 1， ； （2） ； 证明：∵a+b﹣c=m， ∴a+b=m+c， ∴a2+2ab+b2=m2+2mc+c2， 又∵a2+b2=c2， ∴2ab=m2+2mc， ∴S= = m（m+2c）， ∴ = = ． 15．【解析】 （1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可） （2）解：答案如图所示． （3）证明：连接 EC， ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 即四边形 ABCD 是勾股四边形． s l 4 s m l = 2 ab 1 2 abs l a b c = + + 1 ( 2 )4 m m c m c c + + + 4 m