勾股定理全章复习与巩固

1 《勾股定理》全章复习与巩固 【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 ； （2）验证： 与 是否具有相等关系： 　　 若 ，则△ABC 是以∠C 为 90°的直角三角形； 　　 若 时，△ABC 是锐角三角形； 　　　若 时，△ABC 是钝角三角形． a b、 c 2 2 2a b c+ = a b c、 、 2 2 2a b c+ = c 2 2a b+ 2c 2 2 2a b c+ = 2 2 2a b c+ ＞ 2 2 2a b c+ ＜2 2.勾股数 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）， 显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、 41. 如果( )是勾股数，当 t 为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角 形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分别为 ，且 ，那么存在 成立.（例如④中存在 ＝24＋25、 ＝40＋41 等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且∠ ECF＝45°，求证： . 【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE 和∠ BCF 合在一起则为一特殊角 45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕 C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角，联想勾股定理 即可证明． 【答案与解析】 解：(1) ，理由如下： 将△BCF 绕点 C 旋转得△ACF′，使△BCF 的 BC 与 AC 边重合， 即△ACF′≌△BCF， ∵ 在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°． 2 2 2x y z+ = x y z、 、 a b c、 、 at bt ct、 、 a b c、 、 a b c< < 2a b c= + 27 29 2 2 2AE BF EF+ = 2 2 2AE BF EF+ =3 ∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°． 在△ECF 和△ECF′中 ∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′． 在 Rt△AEF′中， ， ∴ ． 【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含 45°角，120° 角内含 60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平 分线、全等三角形等知识解决问题． 举一反三： 【变式】已知凸四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC， 求证： . 　　 【答案】 解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°． 　　由于 DC＝AD，故点 A 转至点 C．点 B 转至点 E，连结 BE． 　　∵ BD＝DE，∠BDE＝60° 　　∴ △BDE 为等边三角形，BE＝BD 易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB ∵ 四边形 ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30° ∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270° ∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90° ∴ ∴ 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P 是△ABC 内的一点，且 PB=1， PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数． 45 CE CE ECF ECF CF CF =  ′∠ = ∠ =  ′= ° 2 2 2AE F A F E′ ′+ = 2 2 2AE BF EF+ = 2 2 2BD AB BC= + 2 2 2BC CE BE+ = 2 2 2BC AB BD+ =4 　　　　　　　　　　　　　　　 【答案与解析】 解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使 CE=CP，连结 EP，EB 在△APC 和△BEC 中 ∴△APC≌△BEC 　　∴△PCE 为等腰直角三角形 ∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8 又∵PB2=1，BE2=9 　　∴PE2+ PB2= BE2 　　则∠BPE=90° ∴∠BPC=135°　　　　 【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把 PA、 PB、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可 以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即△APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 3、（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD 的面积． 【思路点拨】连接 AC，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直角三角形，根据 四边形 ABCD 的面积=直角三角形 ABC 的面积+直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形 的面积． 【答案与解析】 解：连接 AC，如图所示： ∵∠B=90°， ∴△ABC 为直角三角形， 又∵AB=3，BC=4， ∴根据勾股定理得：AC2=25， 又∵CD=12，AD=13， ∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169， PCA ECB AC BC PC EC = ∠ = ∠  =5 ∴CD2+AC2=AD2， ∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°， 则 S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD= ×3×4+ ×5×12=36． 故四边形 ABCD 的面积是 36． 【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理 的逆定理是解本题的关键． 4、如图：正方形 ABCD 中，E 是 DC 中点，F 是 EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD. 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案与解析】 证明：取 BC 中点 G，连结 AG 并延长交 DC 延长线于 H 　　　∵ ∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC 　　　∴ △GAB≌△HCG 　　　∴ ∠GAB=∠H，AB=CH 　　　又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE 　　　∴ △ABG≌△ADE 　　　∴ ∠GAB=∠DAE 　　　在 中，设 ，由勾股定理得： 　　　 　　　又 　　　∴ AF=HF 　　　∴ ∠FAH=∠H 　　　∴ ∠FAH=∠DAE 　　　∴ ∠BAF=2∠DAE 【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD，再 证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三： 【变式】（2014 春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长 为 36cm，点 P 从点 A 开始沿边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3 秒时，△BPQ 的面积为多少？ Rt ADF△ AD a= 2 2 2 2 2 23 25( )4 16 5 4 AF AD DF a a a AF a = + = + = =∴ 5 4 4 aHF CH CF a a= + = + =6 【答案】 解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm， ∵周长为 36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 得 x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC 是直角三角形， 过 3 秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9﹣3）×6=18（cm2）． 故过 3 秒时，△BPQ 的面积为 18cm2． 类型三、勾股定理的实际应用 5、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC＝400 米，BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水， 所走路程最短？最短路程是多少？ 【思路点拨】作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB，交 CD 于点 E，利用“两点之间线 段最短”可知应在 E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三 角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】 解：作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB 交 CD 于点 E，由“两点之间线段最短”可以 知道在 E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：7 在直线 CD 上任意取一异于点 E 的点 I，连接 AI、AE、BE、BI、GI、GE． ∵ 点 G、A 关于直线 CD 对称，∴ AI＝GI，AE＝GE． 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得 GI＋BI＞GB＝AE＋BE， 于是得证． 最短路程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角 三角形 GHB 中， ∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600， ∴ 由勾股定理得 ． ∴ GB＝1000，即最短路程为 1000 米． 【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段 最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行 比较来证明，如本题中的 I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE＝3，EB＝1，在 AC 上有一点 P，使 EP＋BP 最短．求 EP＋BP 的最小值． 【答案】 解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接 DE，交 AC 于 P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离 EP＋BP 也就是 ED． ∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4， ∴ AD＝4，根据勾股定理得： ． ∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离 EP＋BP＝5． 2 2 2 2 2800 600 1000000GB GH BH= + = + = 2 2 2 2 23 4 25ED AE AD= + = + =8 6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴， 有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的 B 处，在沿海城市福州 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台 风中心正以 20 千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C 移动，且台风中心的风力不变，若城市 所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案与解析】 解：（1）该城市会受到台风影响． 理由：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D 点， 则 AD 即为该城市距离台风中心的最短距离． 在 Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD＝ = ×240＝ 120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为 120＜200，因此该城市将会受到影响． （2）依题（1）可知，当点 A 距台风中心不超过 200 千米时，会受台风影响，故在 BC 上 作 AE=AF=200；台风中心从点 E 移动到点 F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如 图） 由勾股定理得， DE＝ 160（千米）． 所以 EF=2×160=320（千米）． 又知台风中心以 20 千米/时的速度移动． 所以台风影响该城市 320÷20=16（小时）． （3）∵AD 距台风中心最近， ∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 答：该城市受台风影响最大风力 7.2 级． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角 三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决． 1 2 AB 1 2 2 2 2 2 2200 120 25600DE AE AD= − = − =9 【巩固练习】 一．选择题 1．在△ 中，若 ，则△ABC 是（ ） A． 锐角三角形 　 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 　 D． 直角三角形 2． 如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30° 3．（2015 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） 　 A．三内角之比为 1：2：3 B．三边长的平方之比为 1：2：3 　 C．三边长之比为 3：4：5 D．三内角之比为 3：4：5 4．如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A、B 处距河岸的距离 AC、BD 的长分别为 500m 和 700m，且 C、D 两地的距离为 500m，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮 水后，再赶回家，那么牧童至少要走（　　） 　 A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m 5． 直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（　　） A．ab=h2　　　 B．a2+b2=h2　　　 C． 　　　 D． 6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点 D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2 等于 ( ) A．25 B．325 C．2197 D．405 7． 已知三角形的三边长为 ，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． ABC 1,2,1 22 +==−= ncnbna 1 1 1 a b h + = 2 2 2 1 1 1 a b h + = a b c、 、 ( ) ( )2 22 2 2 21 , 4 , 1a m b m c m= − = = + ( ) ( )2 22 2 21 , 4 , 1a m b m c m= − = = + ( ) ( )2 22 2 21 , 2 , 1a m b m c m= − = = +10 D． 8．（2016•连云港）如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、 S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等 的扇形，面积分别为 S4、S5、S6．其中 S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则 S3+S4=（　　） A．86 B．64 C．54 D．48 二．填空题 9．如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线 AD＝2，则△ABC 的面积为______． 10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB＝6，BC＝8，将直角边 AB 折叠使它 落在斜边 AC 上，折痕为 AD，则 BD＝______． 11．已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高 AD＝12，BC＝_______． 12．如图，E 是边长为 4cm 的正方形 ABCD 的边 AB 上一点，且 AE=1cm，P 为对角线 BD 上的任意一点，则 AP+EP 的最小值是　 　cm． 13．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP= BC．如果用一根细线从点 A 开始经过 3 个侧面缠绕一圈到达点 P，那么所用细线最短需 要　　cm． ( ) ( )2 22 2 2 21 , 2 , 1a m b m c m= − = = + 1 411 14．（2014 春•监利县期末）小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为 30cm，40cm， 50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：　 　（选填“能”或“不能”）． 15．（2016 春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形 的面积等于　　 ． 16． 如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线 AD＝6，∠BAD＝ ________． 三．解答题 17．（2016 春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股 数，观察表格所给出的三个数 a，b，c，a＜b＜c． （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论； （2）写出当 a=17 时，b，c 的值． 3，4，5　 　32+42=52 　5，12，13， 　52+122=132 　7，24，25 　72+242=252 　9，40，41 　92+402=412 … … 　17，b，c 　172+b2=c2 18．如图等腰△ABC 的底边长为 8cm，腰长为 5cm，一个动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当 P 运动几秒时，P 点与顶点 A 的连线 PA 与腰垂 直． 12 19．（2015•永州）如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米 处有一所学校 A．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半 径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越 大．若一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时． （1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离； （2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间． 20． 如图 1，四根长度一定的木条，其中 AB＝6 ，CD＝15 ，将这四根木条用小钉 绞合在一起，构成一个四边形 ABCD（在 A、B、C、D 四点处是可以活动的）．现固定 AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置． 位置一：当点 D 在 BA 的延长线上时，点 C 在线段 AD 上（如图 2）； 位置二：当点 C 在 AB 的延长线上时，∠C＝90°． （1）在图 2 中，若设 BC 的长为 ，请用 的代数式表示 AD 的长； （2）在图 3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求） （3）利用图 2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中，BC、AD 边的长． 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D； 【解析】因为 ＝4 ，所以 ， ，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形． 2．【答案】C； 【解析】连接 AC，计算 AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直 角三角形，∴∠ABC＝45°． 3．【答案】D； 【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为 30 度，60 度，90 度， 所以是直角三角形，故正确； B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确； cm cm x x ( )( )2 2 2 2 2 21 1 1 1c a n n n n− = + + − + − + 2 2n b= 2 2 2c a b− = 2 2 2a b c+ =13 C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确； D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有 90°角，所以不是直角三角形， 故不正确． 故选 D． 4．【答案】C； 【解析】作 A 点关于河岸的对称点 A′，连接 BA′交河岸与 P，则 PB+PA=PB+PA′=BA′最 短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m）． 5．【答案】D； 【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出： ．再结合勾股定理：a2+b2=c2．进 行等量代换，得 a2+b2= ．两边同除以 a2b2，得 ． 6．【答案】B； 【解析】 ＝169＋2×13×6＝ 325． 7．【答案】B； 【解析】 ． 8．【答案】C； 【解析】解：如图 1，S1= AC2，S2= AB2，S3= BC2， ∵BC2=AB2﹣AC2， ∴S2﹣S1=S3， 如图 2，S4=S5+S6， ∴S3+S4=45﹣16+11+14=54． 故选 C． 二．填空题 abc h = 2 2 2 a b h 2 2 2 1 1 1 a b h + = ( )2 2 2 22 2AC BC AC BC AC BC AB AB CD+ = + + ⋅ = + ⋅ ( ) ( )2 21 4 1m m m− + = +14 9．【答案】6； 【解析】延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连结 BE，可得△ABE 为直角三角形． 10．【答案】3； 【解析】设点 B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD＝ ，则 DE＝BD＝ ，AE＝AB＝6，CE ＝4，CD＝8－ ，在 Rt△CDE 中根据勾股定理列方程． 11．【答案】14 或 4； 【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9 －5＝4． 12．【答案】5 【解析】作 E 点关于直线 BD 的对称点 E′，连接 AE′，则线段 AE′的长即为 AP+EP 的最 小值 5． 13．【答案】5 【解析】∵长方体的底面边长分别为 1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP= BC，∴AC=4cm，PC= BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5． 14．【答案】能； 【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm， 根据题意，得 x2=502+402+302=5000， 702=4900， 因为 4900＜5000， 所以能放进去． 15．【答案】96； 【解析】连接 AC，在 Rt△ACD 中，AD=8，CD=6， ∴AC2=100， 在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2， ∴△ABC 为直角三角形； ∴图形面积为： S△ABC﹣S△ACD= ×10×24﹣ ×6×8=96． x x x 1 4 3 415 16．【答案】90°； 【解析】延长 AD 到 M，使 DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝ 2AD＝12 在△ACM 中 即 ∴∠AMC＝∠BAD=90° 三．解答题 17．【解析】 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析： ①以上各组数均满足 a2+b2=c2； ②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如 32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41… 由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论： 设 m 为大于 1 的奇数，将 m2 拆分为两个连续的整数之和，即 m2=n+（n+1）， 则 m，n，n+1 就构成一组简单的勾股数， 证明：∵m2=n+（n+1）（m 为大于 1 的奇数）， ∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2， ∴m，n，（n+1）是一组勾股数； （2）运用以上结论，当 a=17 时， ∵172=289=144+145， ∴b=144，c=145． 18．【解析】 解：如图，作 AD⊥BC，交 BC 于点 D， 　 　 　∵BC=8cm， 　 　 　∴BD=CD= BC=4cm， 　 　 　∴AD=3， 　 　 　分两种情况：当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC 时， 　 　 　∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2， 　 　 　∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25， ∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t， ∴t=7 秒， 当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，同理可证得 PD=2．25， 2 2 25 12 13+ = 2 2 2CM AM AC+ =16 ∴BP=4+2．25=6．25=0．25t， ∴t=25 秒， ∴点 P 运动的时间为 7 秒或 25 秒． 19．【解析】 解：（1）过点 A 作 AD⊥ON 于点 D， ∵∠NOM=30°，AO=80m， ∴AD=40m， 即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米； （2）由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，OA=80m， ∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=30°， ∴AD= OA= ×80=40m， 在 Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= = =30m， 故 BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BD 时对学校产生影响． ∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即 =300 米/分钟， ∴重型运输卡车经过 BD 时需要 60÷300=0．2（分钟）=12（秒）． 答：卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒． 20．【解析】 解：（1）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝ ， 　 　 　 ∴ 在图 2 中，AC＝BC－AB＝ －6，AD＝AC＋CD＝ ＋9． （2）位置二的图形见图 3． （3）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变， 　 　 　 ∴ 在图 3 中，BC＝ ，AC＝AB＋BC＝6＋ ，AD＝ ＋9． 　 　 　 在△ACD 中，∠C＝90° 　 　 　 由勾股定理得 ． x x x x x x 2 2 2AC CD AD+ =17 　 　 　 ∴ ． 　 　 　 整理，得 ． 　 　 　 化简，得 6 ＝180． 　 　 　 解得 ＝30． 　 　 　 即 BC＝30． 　 　 　 ∴ AD＝39． 2 2 2(6 ) 15 ( 9)x x+ + = + 2 212 36 225 18 81x x x x+ + + = + + x x