平方根和开平方 导学案

1 平方根和开平方 导学案 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方. 叫 做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数 的两个平方根可以用“ ”表示，其中 表示 的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号 ”； 表示 的负平方根，读作“负根号 ”. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0 的平方根和算术平方根均为 0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平 方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者 向左移动 1 位.例如： ， ， ， . 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 2x a= x a a a a a± a a a a− a a a a a a a± a 2 0 | | 0 0 0 a a a a a a a > = = = − x 2 361 0;x − = ( )21 289x + = ( )29 3 2 64 0x + − = 2 361 0x − = 2 361x = 361 19x = ± = ± ( )21 289x + =4 ∴ ∴ ＋1＝±17 ＝16 或 ＝－18. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三： 【变式】（2015 春•乌兰察布校级期中）求 x 的值： （x﹣2）2=4． 【答案】解：∵ ， ∴（x﹣2）2=36， ∴x﹣2=6 或 x﹣2=﹣6， 解得：x1=8，x2=﹣4． 类型四、平方根的综合应用 5、（2014 秋•沙坪坝区校级期末）若 x，y 为实数，且满足 ．求 的值． 【答案与解析】 解：∵ +|y﹣ |=0， ∴x= ，y= ， 则原式= =1． 【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出 x，y，然后代 入求值即可. 举一反三： 【高清课堂：389316 平方根：例 5 练习】 【变式】若 ，求 的值． 1 289x + = ± x x x ( )29 3 2 64 0x + − = ( )2 643 2 9x + = 83 2 3x + = ± 2 14 9 9x x= = −或 2 21 1 1 1 1 1 14 +4 + = + + = 14 4 2 2 4 2 4    × × ×       2 1 1 0x y− + + = 2011 2012x y+5 【答案】 解：由 ，得 ， ，即 ， ． ①当 ＝1， ＝－1 时， ． ②当 ＝－1， ＝－1 时， ． 【高清课堂：389316 平方根：例 6】 6、小丽想用一块面积为 400 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 的长方形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符 合要求的长方形纸片. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为 3 ( ＞0) ，则宽为 2 ，依题意得 . . . ∵ ＞0， ∴ . ∴ 长方形纸片的长为 . ∵ 50＞49, ∴ . ∴ , 即长方形纸片的长大于 20 . 由正方形纸片的面积为 400 , 可知其边长为 20 , ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20 的 正 方 形 纸 片 裁 出 长 方 形 纸 片 . 2 1 1 0x y− + + = 2 1 0x − = 1 0y + = 1x = ± 1y = − x y 2011 2012 2011 20121 ( 1) 2x y+ = + − = x y 2011 2012 2011 2012( 1) ( 1) 0x y+ = − + − = 2cm 2cm 2:3 x x cm x cm 3 2 300x x⋅ = 26 300x = 2 50x = x 50x = 3 50 cm 50 7> 3 50 21> cm 2cm cm cm6 【巩固练习】 一.选择题 1．下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ② 是 4 的平方根． ③ 的平方根是 ． ④ 的算术平方根是 ． ⑤ 的平方根是 ．⑥ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．若 ＝ －4，则估计 的值所在的范围是（ ） A．1＜ ＜2 B. 2＜ ＜3 C. 3＜ ＜4 D. 4＜ ＜5 3. 试题下列说法中正确的是（　　） A.4 是 8 的算术平方根 B.16 的平方根是 4 C. 是 6 的平方根 D.－ 没有平方根 4.（2015•河南模拟）若 =a，则 a 的值为（　　） 　 A.1 B.﹣1 C. 0 或 1 D. ±1 5.有一个数值转换器，原理如下： 当输入的 ＝64 时，输出的 等于（　　） A.2 B.8 C. D. 6.（2016•裕华区一模）下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 二.填空题 7. 若 ，则 ＝__________. 8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是 3 和 5 的正方形的面积的和，则这个 正方形的边长为 ________. 9. 下列各数：81， ，1.44， ， 的平方根分别是_______________；算术平方根 分别是_______________. 10．（1） 的平方根是________； （2） 的平方根是________，算术平方根是________； （3） 的平方根是________，算术平方根是________； 2− 16 4± 2a a 2( 6)− 6− 9 3= ± m 40 m m m m m 6 a x y 3 2 2 2 10404 102= 1.0404 cm cm 16 25 12 4 81 25 ( )25− 2x 2( 13) 13− − = 2( 6) 6− = − 25 5− = − 9 3= ±7 （4） 的平方根是________，算术平方根是________． 11．（2016•安徽三模） 的平方根为______． 12.（2015•前郭县二模）观察下列各式： =2 ， =3 ， =4 ，…请你 找出其中规律，并将第 n（n≥1）个等式写出来　 　． 三.解答题 13．（2015 春•武汉校级月考）求下列各式中 x 的值． ①x2﹣25=0 ②4（x+1）2=16． 14.已知 和 互为相反数，且 ，求 的值． 15.如图，实数 ， 对应数轴上的点 A 和 B，化简 【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有②是正确的. 2. 【答案】B； 【解析】 ，所以 2＜ －4＜3 . 3. 【答案】C； 【解析】A.∵4 是 16 的算术平方根，故选项 A 错误；B.∵16 的平方根是±4，故选项 B 错误；C.∵ 是 6 的一个平方根，故选项 C 正确；D.当 ≤0 时，－ 也有平 方根，故选项 D 错误． 4. 【答案】C； 【解析】解：∵ =a， ∴a≥0． 当 a=0 时， =a； 当 0＜a＜1 时， ＞a； 当 a=1 时， =a； 当 a＞时， ＜a； 综上可知，若 =a，则 a 的值为 0 或 1． 故选 C． 5. 【答案】D； 【解析】根据图中的步骤，把 64 输入，可得其算术平方根为 8，8 再输入得其算术平方 根是 ，是无理数则输出． ( )22x + 1y − 1 2x− 0x ≠ y x a b 2 2 2 2( ) ( )a b a b a b+ − − − + 6 40 7< < 40 6 a a 2 2 3 648 6. 【答案】C； 【解析】解 A. 故错误； B. 故错误； C. 正确； D. ，故错误. 二.填空题 7. 【答案】1.02； 【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位. 8. 【答案】 ； 【解析】这个正方形的边长为 . 9. 【答案】±9；± ；±1.2；± ；±3；9； ；1.2； ；3. 10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；3）± ，| |；（4）±（ ＋2）,| ＋2|； 【解析】 . 11.【答案】±2. 【解析】∵4 的立方是 64，∴64 的立方根是 4，4 的平方根是±2，故答案为：±2． 12.【答案】 ； 【解析】解： =（1+1） =2 ， =（2+1） =3 ， =（3+1） =4 ， … ， 故答案为： ． 三.解答题 13.【解析】 解：①移项可得：x2=25， 解得：x=±5； ②系数化为 1 得：（x+1）2=4， ∴x+1=±2， ∴x=1 或 x=﹣3. 14.【解析】 34 cm 2 23 5 34+ = 4 5 3 2 4 5 3 2 x x x x 2 | |a a= 2( 13) 13− − = − 2( 6) 6− = 25 5− = − 9 3=9 解：两个非负数互为相反数则只能均为 0， 于是 －1＝0，1－2 ＝0，求得 ＝1, ∴ ＝2. 15.【解析】根据 ∵ ∴原式＝－ ＋ －( － )－( ＋ ) ＝－ ＋ － ＋ － － ＝－ － . y x y 1 2x = y x 2 | |a a= 0a b a b< <