立方根 导学案

1 立方根 导学案 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3 是根指数. 开立方 和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个 非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左 移动 1 位.例如， ， ， ， . 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、（2016 春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是 0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0 的立方根是 0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D； 【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是 0 或 1 或-1，故错误； B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有 0； C．负数有立方根，故错误； D．正确. a a 3x a= x a a 3 a a 3 3a a− = − 3 3a a= ( )33 a a= 3 0.000 216 0.06＝ 3 0. 216 0.6＝ 3 216 6＝ 3 216000 60＝2 【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数，例 1】 【变式】下列结论正确的是（ ） A．64 的立方根是±4 B． 是 的立方根 C．立方根等于本身的数只有 0 和 1 D． 【答案】D. 类型二、立方根的计算 【高清课堂：389317 立方根 实数，例 2】 2、求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案与解析】 解：（1） （2） （3） （4） （5） 1 2 − 1 6 − 3 327 27− = − 3 27 102−− 3 23 5411 +× 3 3 64 18 −⋅ 2 33 27 ( 3) 1− + − − − 1003 3 )1(4 12)2( −+÷−− 3 102 27 − − 3 3 211 4 5× + 3 3 18 64 ⋅ − 3 64 27 4 3 = = 3 3 = 11 64 25 = 729 =9 × + 1=2 4 1= 2  × −   − 2 33 27 ( 3) 1− + − − − = 3 3 1 =1 − + + 3 1003 1( 2) 2 ( 1)4 − − ÷ + − 3=2 12 4 7= 1=3 3 ÷ + +3 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三： 【变式】计算：（1） ______；（2） ______； （3） ______．（4） ______. 【答案】（1）－0.2；（2） ；（3） ；（4） . 类型三、利用立方根解方程 3、（2015 春•北京校级期中）（x﹣2）3=﹣125． 【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x﹣2）3=﹣125， 可得：x﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3． 【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将 x﹣2 看成一个整体． 举一反三： 【变式】求出下列各式中的 ： （1）若 ＝0.343，则 ＝______；（2）若 －3＝213，则 ＝______； （3）若 ＋125＝0，则 ＝______；（4）若 ＝8，则 ＝______． 【答案】（1） ＝0.7；（2） ＝6；（3） ＝－5；（4） ＝3． 类型四、立方根实际应用 4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱 体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为 64 ，小明又将铁块从水中提 起，量得烧杯中的水位下降了 ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是 多少？ 【思路点拨】铁块排出的 64 水的体积，是铁块的体积，也是高为 烧杯的体积. 【答案与解析】 解：铁块排出的 64 的水的体积，是铁块的体积． 设铁块的棱长为 ，可列方程 解得 设烧杯内部的底面半径为 ，可列方程 ,解得 6. 答：烧杯内部的底面半径为 6 ，铁块的棱长 4 . 3 0.008− = = 3 64 611 =−− 3 127 19 =− 3 3 5 11 )( 5 4 2 3 4 5 a 3a a 3a a 3a a ( )31a − a a a a a 3cm 16 9π cm 3cm 16 9π cm 3cm y cm 3 64,y = 4y = x cm 2 16 649xπ π× = x = cm cm4 【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平 方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三： 【变式】将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个 大正方体的棱长为____________ .(不计损耗) 【 答 案 】 　 .3 3 3a b+5 【巩固练习】 一.选择题 1．下列结论正确的是（ ） A． 的立方根是 B． 没有立方根 C．有理数一定有立方根 D． 的立方根是－1 2．（2016•湖北襄阳）-8 的立方根是（ ） A．2 B．-2 C． D． 3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．② 的平方根是 的立方根是 ③如果 ，那么 ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有 1． A．1 B．2 C．3 D．4 4. 是 的平方根， 是 64 的立方根，则 ＝（　 ） A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7 5.（2015•东营区校级模拟） 的立方根是（　　） 　 A．﹣1 B． 0 C． 1 D． ±1 6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数 或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是 1 或 0，其中错误的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二.填空题 7．（2016•安徽三模）若 ，则 ______． 8．－8 的立方根与 的平方根的和是______． 9．若 则 与 的关系是______． 10．（2015 春•武汉校级期末）计算 =　 　． 11. 如果 那么 的值是______． 12.若 ，则 ____________. 三.解答题 13.若 和 互为相反数，求 的值. 14．已知 5 ＋19 的立方根是 4，求 2 ＋7 的平方根． 27 64 3 4 ± 1 125 − ( )61− 4 9 2 8,3 27 ± 2 3 ± ⋅ ( )32 2x = − x x ( )2 9− y x y+ 81 3 3 0,x y+ = x y 3 4 4,a + = ( )367a − 3 2 1a − 3 1 3b− a b x x 2± 3 2− 2 64a = 3 a =6 15.（2015 春•罗平县校级期中）已知 M= 是 m+3 的算术平方根，N= 是 n﹣2 的立方根，试求 M﹣N 的值． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】 C； 【解析】 的立方根是 ； 的立方根是 1. 一个非零数与它的立方根符号相同. 2. 【答案】B； 【解析】-8 的立方根是： . 3. 【答案】A； 【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有 0 和 1． 4. 【答案】D； 【解析】∵ 是 的平方根，y 是 64 的立方根，∴ ＝±3， ＝4 则 ＝3＋ 4＝7 或 ＝－3＋4＝1. 5.【答案】A； 【解析】解：∵ =﹣1， ∴ 的立方根是 =﹣1， 故选 A． 6. 【答案】B； 【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方 根是这个数本身，那么这个数是±1 或 0． 二.填空题 7.【答案】±2; 【解析】∵ ，∴ ； 8.【答案】1 或－5； 【解析】注意 ＝9，9 的平方根是±3. 9. 【答案】 ； 【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数. 10.【答案】 ； 【解析】解： ， 27 64 3 4 ( )61− x ( )2 9− x y x y+ x y+ 81 0x y+ = 3 8 2− = − 2 64a = 8a = ± 3 8 2± = ±7 故答案为： ． 11.【答案】－343； 【解析】 ＋4＝64， ＝60， －67＝－7， . 12.【答案】 ； 【解析】 －1＝－2， ＝－1. 三.解答题 13.【解析】 解：∵ 和 互为相反数 ∴ ＋ ＝0， ∴ ＝－ ， ∴ ＝ ， ∴2 －1＝3 －1, 2 ＝3 ， ∴ ＝ . 14.【解析】 解：∵5 ＋19 的立方根是 4 ∴ 5 ＋19，即 64＝5 ＋19，解得 ＝9 ∴2 ＋7＝25 ∴2 ＋7 的平方根＝ . 15.【解析】 解：因为 M= 是 m+3 的算术平方根，N= 是 n﹣2 的立方根， 所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3， 解得：m=6，n=3， 把 m=6，n=3 代入 m+3=9，n﹣2=1， 所以可得 M=3，N=1， 把 M=3，N=1 代入 M﹣N=3﹣1=2． a a a ( )37 343− = − x x 3 2 1a − 3 1 3b− 3 2 1a − 3 1 3b− 3 2 1a − 3 1 3b− 3 2 1a − 3 (1 3 )b− − a b a b a b 3 2 x 34 = x x x x x 25 5± = ±