二次根式—导学案

1 二次根式-导学案 【学习目标】 1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： ≥0，（ ≥0）， （ ≥0）， （ ≥0），并利用它 们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 要点诠释： 　　二次根式的两个要素：①根指数为 2；②被开方数为非负数. 要点二、二次根式的性质 1. ≥0，（ ≥0）； 2. （ ≥0）； 3. . 4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （ ≥0， ≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即 （ ≥0， >0）. 要点诠释： （1）二次根式 (a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即 . （2） 与 要注意区别与联系： ① 的取值范围不同， 中 ≥0， 中 为任意值。 ② ≥0 时， = = ； m 0 1m< < m 2m < m3 （2） ． 【答案】解：（1） = = ； （2） = = ． 3. （2016 春•江津区校级月考）我们可以计算出 ① =2　 = ； =3 而且还可以计算 =2 = =3 （1）根据计算的结果，可以得到：①当 a＞0 时 =　a　；②当 a＜0 时 =　 　． （2）应用所得的结论解决：如图，已知 a，b 在数轴上的位置，化简 ﹣ ﹣ ． 【思路点拨】（1）直接利用 a 的取值范围化简求出答案；（2）利用 a，b 的取值范围，进而化简二次根 式即可． 【答案与解析】 解：（1）由题意可得：①当 a＞0 时 =a；②当 a＜0 时 =﹣a； 故答案为：a，﹣a； （2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， 则 ﹣ ﹣ =﹣a﹣b+（a+b）=0． 【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关 键． 类型三、最简二次根式 4.化简： 【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 1 1 1... 1 2 2 3 8 9 + + + + + +4 【答案与解析】原式= = = =2 【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆. 举一反三： 【变式】若 的整数部分是 ，小数部分是 ，求 的值. 【答案】 又因为整数部分是 ，小数部分是 则 =13， = = 1 ( 2 1) 1 ( 3 2) 1 9- 8... (1 2)( 2 1) ( 2 3)( 3 2) + 9- 8 × − × − ×+ + + + − + − （ ） （ 8 9) ( ） 2 1 3 2 ... 9 8− + − + + − 9 1− 2 3 2 3 + − a b 2 2a ab b− + 2(2 3)(2 3)= = 2+ 3 =7+4 3 (2 3)(2 3) + + − +原式 （ ） a b a b 4 3 6− 2 2 2 213 13 (4 3 6) (4 3 6)a ab b∴ − + = − × − + − 331 100 3−5 【巩固练习】 一、选择题 1. （2016•贵港）式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2.使式子 有意义的未知数 x 有( )个 　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数 3.下列说法正确的是（ ） A． 是一个无理数 B．函数 的自变量 x 的取值范围是 x≥1 C．8 的立方根是 D.若点 关于 x 轴对称，则 的值为 5. 4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：① ；②（﹣ ） =16；③（ ） =4； ④ ．正确的是（　　） A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 5. 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 6.将 中的 移到根号内，结果是（ ） A． B. C. D. 二. 填空题 7.当 x_________时，式子 没有意义。 8. （2015•江干区一模）在 ， ， ，﹣ ， 中，是最简二次根式的是 _________. 9.已知 ，求 的值为____________ 2( 4) 4− = 2 2 2( 4) 4− = − 4 1 1 y x = − 2± (2, ) -3)P a Q和点 （b， a b+ a a− − a 3a− − 3a− 3a− 3a 3 1 x x− −6 10.若 ，则 化简的结果是__________. 11. 观察下列各式： ， ， ,……请你探究其中规 律,并将第　n(n≥1)个等式写出来________________. 12. （2016•乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 +|a﹣2|的结果为　 　． 三 综合题 13. 已知 ，求 的值. 14. 若 时，试化简 . 15.（2015 春•武昌区期中）已知 a、b、c 满足 +|a﹣c+1|= + ，求 a+b+c 的平 方根． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C. 【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得 x＞1． 2．【答案】 B xxy 21122 1 −+−+= 22 yxyx ++7 3．【答案】 D 【解析】选项 A: =2 是有理数；选项 B: 的 x 的取值范围是 x>1; 选项 C: 8 的立 方根是 2；选项 D:因为 关于 x 轴对称，所以 ，及 ,所 以选 D。 4．【答案】D. 【解析】解：① = =4，正确； ② =（﹣1）2 =1×4=4≠16，不正确； ③ =4 符合二次根式的意义，正确； ④ = =4≠﹣4，不正确． ①③正确．故选：D． 5．【答案】D 【解析】 因为 = ，即 6．【答案】A 【解析】因为 ≤0，所以 = 二、填空题 7.【答案】 或 x