二次根式的乘除运算—导学案
【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘除运算.
2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.
【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法
1.乘法法则:
( ≥0, ≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘.
要点诠释:
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中 a、b 都必须是非负数;(在本章中,
如果没有特别说明,所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:
≥0, ≥0,….. ≥0).
(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式,则应化简,如 .
要点二、二次根式的除法
1.除法法则:
( ≥0, >0),即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数
相除.
要点诠释:
(1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意, ≥0, >0,
因为 b 在分母上,故 b 不能为 0.
(2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中
分母不能带根号.
要点三、分母有理化
1.分母有理化
把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
2.有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.
有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:利用 来确定,如: , , 与
等分别互为有理化因式.
② 两 项 二 次 根 式 : 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 . 如 与 , ,
分别互为有理化因式.
要点诠释:
分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的
有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【典型例题】
a b
( )a a a b a bbb
= ÷ = ÷或 a b
a b
a a a⋅ = a a与 a b a b+ +与 ba − ba −
a b+ a b− a b a b+ −与
a x b y a x b y+ −与类型一、二次根式的乘除运算
1.(1) (2)
【答案与解析】
(1)原式=
=
(2)原式=
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算,注意最终结果要化简.
举一反三
【变式】
【答案】原式=
=
2. (2016 春•潮南区月考)化简:4x2 .
【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案.
【答案与解析】
解:4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy.
【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题关键.
举一反三:
【变式】已知 ,且 x 为偶数,求(1+x) 的值.
2
152
1)7
418
1(2
133 ÷−× 243 )2()()( aaa −÷−⋅−
7 1 11 1 11 1 7 11 23 ( ) 3 ( ) 22 8 7 2 2 8 2 7 11
× − ÷ = × − × × ×
3
4
−
2 2 12 2a a a a a a− ⋅ ÷ = −
b
ba
ba
x
x
ba −÷+⋅−
5
4
3362
2
2
22
2 2 2
2
52 1 4 6 3 3
a b x a b
x a b b
− −× × ⋅ ÷+
2
2
5 ( )( ) 5 5 22 6 3( ) 2 18 12
a b a b x b b bx a b a b
− + ⋅ ⋅ = =+ −【答案】由题意得 ,即
∴6<x≤9,∵x 为偶数,∴x=8
∴原式=(1+x) =(1+x) =(1+x) =
∴当 x=8 时,原式的值= =6.
类型二、分母有理化
3. 把下列各式分母有理化:
【思路点拨】找分母有理化因式.
【答案与解析】
(1)
(2)
(3)
【总结升华】有理化因式不止一个,但以它们的乘积较简为宜.显然, 与 ,a
与 a , b 与 b 都是互为有理化因式.
举一反三:
【变式】(2014 春•隆化县校级期末)阅读材料,并解决问题.
定义:将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.如:将 分母有理化.
解:原式= = +
运用以上方法解决问题:
2(1)
5
2 2
(2) a b
a b
−
− (3) a b
a b
−
+
5
52
55
52
5
2 =
•
•=
bababa
baba
baba
baba
ba
ba −+=−
−•−=
−•−
−•−=
−
−
)()()( 222222
ba
baba
baba
ba
ba −=
−•+
−•−=
+
−
)()(
)()(
a ± b a b ± b
b a ± a (1)将 分母有理化;
(2)比较大小:(在横线上填“>”、“<”或“=”)
(n≥2,且 n 为整数)
(3)化简: + + +…+ .
【答案】解:(1) =
=
=2﹣ ;
(2)∵ = + , = + ,
又 < ,
∴ < ,
∵ = + , = + ,
∴ < ,
故答案为:<,<;
(3)原式= + +…+
= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
= ﹣1.
4. 已知 , ,求下列各式的值:(1) ;(2) .
【思路点拨】先把 x、y 的值分母有理化,再分别代入所求的两个式子即可.
【答案与解析】
2 3
2 3
x
−=
+
2 3
2 3
y
+=
−
x y
x y
+
−
2 23x xy y− +
2 3 2 37 4 3, 7 4 3
2 3 2 3
x y
− += = − = = +
+ −(1)
【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.
7 4 3 7 4 3 7 3
127 4 3 7 4 3
x y
x y
+ − + += = −− − − −
2 2
2 2
(2) 3
(7 4 3) 3(7 4 3)(7 4 3) (7 4 3)
194
x xy y− +
= − − − + + +
=
【巩固练习】
一.选择题
1.若 ( ).
A.-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.计算 等于( ).
A. B. C. D .
4.把 根号外的因式移到根号内,得( ).
A. B. C. D.
5. (2016 春•长沙校级期中)已知 a= ,b= ﹣2,则 a,b 的关系是( )
A.a=b B.a=﹣b C.a= D.ab=﹣1
6.若 ,那么 的值是( ).
A.1 B.-1 C. D.
二、 填空题
7.(2016•聊城)计算: =________.
8. =________.
9.若 互为相反数,则 x=_____________.
10.已知 =___________.
11.计算 =___________________________.
12. ( 2014 春 • 张 家 港 市 校 级 期 末 ) 使 等 式 = 成 立 的 实 数 a 的 取 值 范 围
是 .
20, ( 1)x x x< − −化简 的结果是
1 ( 0, 0)b ab a ba ab
÷ × > >
2
1 aba b 2
1 abab
1 abb b ab
mm 1−
m m− m−− m−
22 3 ( 2 2) 0a b a b− − + + − =
5 2 6− 2 6 5−
2004 2004x x− +与
23 5 6 5x x x+ = + +,则
( - )( 2 )( 0)b a xx bx ab xa x a
− − >) (
b
a三、综合题
13.若 ,求 的值.
14.若
15.(2014 春•团风县校级期中)已知 x 为奇数,且 = ,求 • .
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】 A
【解析】 所以选 A.
2.【答案】 B
3.【答案】 A
【解析】 原式= = .
4.【答案】C
5.【答案】B
【解析】解:∵a= = =2﹣ ,b= ﹣2,
∴a=﹣b,故选:B.
6.【答案】D
【解析】
.
2 3 3 2 4y x x x= − + − + − x
y
9 13 9- 13 , 4 3 12a b ab a b+ − − −和 的小数部分分别是 和 求 的值.
0, = 1 (1 ) 1x x x x x< ∴ − − = − − − = − 原式
1 1 1b b
a ab ab ab a
× × = 2
1 1b a abab a a a b
× =×
2 3 0, 2 2 0a b a b− − = + − =
2 3, 2 2a b a b∴ − = + = 则 , ,
则 = .
二、填空题
7.【答案】12
【解析】解: =3 × ÷ =3 =12.
8.【答案】-6
9.【答案】0
【解析】因为 互为相反数,所以
则 .
10.【答案】1
【解析】 =
11.【答案】
【解析】因为 x>0,所以 ,所以 =
12.【答案】a>2.
【解析】解:根据题意得:
解得:
所以不等式组的解集为:a>2.
故答案为:a>2.
三、解答题.
13.【解析】因为 ,所以 2x-3≥0,3-2x≥0,即 x= ,y=
则 = .
3 2a = + 2 3b = −
( )
( )
2 3 ( 3 2)2 3
3 2 3 2 ( 3 2)
b
a
− −−= =
+ + − 2 6 5−
2004 2004x x− +与 2004 2004 0x x− + + =
2 0, 0x x= =
2 23 5, 6 5 ( 3) 4x x x x+ = ∴ + + = + − 5 4 1− =
22ab x−
0, 0a b> > ( - )( 2 )( 0)b a xx bx ab xa x a
− − >) (
2 22 2 2a b x bxx ab bx a b ab xx a a a
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = −
2 3 3 2 4y x x x= − + − + − 3
2
10
2
x
y
3 6
6 152 2
510 10 10
2 2
= = =14.【解析】因为 ,所以
所以
= .
15.【解析】
解:∵ = ,
∴6≤x<9,
∵x 为奇数,
∴x=7,
则 • =8× =12 .
9 13 9- 13 a b+ 和 的小数部分分别是 和 9 13 12 13 3a = + − = −
9 13 5 4 13b = − − = −
4 3 12 ( 13 3)(4 13) 4( 13 3) 3(4 13) 12ab a b− − − = − − − − − − −
6 13 37−