二次根式的加减—— 导学案

1 二次根式的加减--导学案 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根 式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 要点诠释： 　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式， 再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外 的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根 式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 要点二、二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添 括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　3)合并同类二次根式. 要点三、二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 类型一、同类二次根式2 1. （2016 春•寿光市期末）若最简二次根式 与 是同类二次根式， 则 a=　 　． 【思路点拨】根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【答案】±1． 【解析】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴4a2+1=6a2﹣1， ∴a2=1， 解得 a=±1． 【总结升华】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被 开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 举一反三: 【变式】（2014 春•射阳县校级期末）若最简二次根式 与 是同类二次 根式，则 a=　　． 【答案】±1. 提示：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴4a2+1=6a2﹣1， ∴a2=1， 解得 a=±1． 类型二、二次根式的加减运算 【高清课堂：高清 ID 号： 388064 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 2.（1）-（2）】 2.计算：（1） 【答案与解析】 = = =0 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三: 483 2 3 153 11312 −−+ 483 2 3 153 11312 −−+ 4 82 3 2 3 3 33 3 + − − 4 3 4 3−3 【变式】计算 . 【答案】 类型三、二次根式的混合运算 3.（2015•苏州模拟）计算： ． 【思路点拨】二次根式的混合运算最好是先将每个因式化简，再合并. 【答案与解析】解：原式= ﹣ +2 =4﹣ +2 =4+ ． 【总结升华】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的加减运算． 举一反三: 【高清课堂：高清 ID 号： 388064 关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】 【变式】 【答案】原式= = = 4.计算：已知 求 的值. 【答案与解析】 又因为 所以 ， )753)(753( −++− 3 ( 5 7) 3 ( 5 7)   − − + −    23 ( 5 7)− − 2 35 9− 2 3 1 0,x x− + = 2 2 1 2x x + − 2 2 2 2 2 1 1 12 2 4 ( ) 4x x xx x x + − = + + − = + − 2 3 1 0,x x− + = 0x ≠4 ，即 即原式= 【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就会很简便. 13 0x x ∴ − + = 1 3x x + = 9 4 5− =5 一.选择题 　 1. （2016•钦州）下列运算正确的是（　　） A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C． + = D．（a﹣b）2=a2﹣b2 　 2. 与 不是同类二次根式的是（ ） 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 　 3.（2015 春•平南县校级月考）若 ，则 x 的值等于（　　） 　　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D. 4. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 的运算结果是（ ） A． 0 B. C. D. 6. 等腰三角形两边分别为 和 ，那么这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 二. 填空题 7.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 . 8. 与 无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错 误”）. 9.设 则 的值是_________ 10. （2016•哈尔滨）计算 2 ﹣ 的结果是　 　． 11. 长方形的宽为 ，面积为 ，则长方形的长约为_______（精确到 0.1）. 12.已知 x＝ ，则 的值等于____________. 2510)5225( −=÷− 529)52( 2 +=+ 1) 2 1 3 1)(23( =−− c a b acba +=+÷ )( 32 25 2534 + 21032 + 2534 + 21032 + 21034 + ( )( )a b b a b a a b+ − ( )ab b a− ( )ab a b− 2ab ab 32 83 ab 6 2 ab b 7 6, 7 6,a b= + = − 2010 2011a b⋅6 三 综合题 13.计算： 　 14.（2014 春•无锡期末）若 x，y 为实数，且 y= + + ． 求 ﹣ 的值． 15．已知 的整数部分为 ，小数部分为 求 的值. 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】A、a+a=（1+1）a=2a，故本选项正确； B、a6÷a3=a6﹣3≠a2，故本选项错误； C、 + =2 + =3 ≠ ，故本选项错误； D、（a﹣b）2=a2+2ab+b2≠a2﹣b2，故本选项错误． 2．【答案】A 3．【答案】C 5 33 4 y 5(1) xy ( ) ( x y)5 15 x 6 ÷ − ⋅ − 2(2) b a a ab b a b a ba b a b a b − + −+ ⋅ ÷−− + + 5 2+ a ,b 2 2 2 2 4 4 4 a b a ab b − + +7 【解析】先化简再解方程，原式= ，即 ， .故选 C． 4．【答案】A 5.【答案】B 【解析】注意运算技巧。 原式= = = 6．【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是 和 两种情况,但是当腰为 时， ， 所以这种情况不存在，只有腰为 一种情况，即 . 二、填空题 7.【答案】1；1 【解析】 ，所以 8.【答案】错误 9.【答案】 10.【答案】﹣2 ． 【解析】原式=2× ﹣3 = ﹣3 =﹣2 . 11.【答案】 2.8 【解析】长= 12.【答案】4 【解析】化简 x＝ ，得 ， ，代入原式=4 三.解答题 13.【解析】 = = 3 2 2 2 10x x x+ + = 2 2x = 2x = ( )( )a b b a b a a b+ − ( ) ( )ab a b ab b a+ − ( )ab b a− 2 3 5 2 2 3 2 3 2 3 5 2+ < 5 2 2 3 10 2+ 1 2, 1; 2 5 3 4a a a b a+ = ∴ = + = + 又 1b = 7 6− 2 6 3 2 2÷ = 5 2x = + 1 5 2x = − 5 33 4 y 5(1) xy ( ) ( x y)5 15 x 6 ÷ − ⋅ − 23y 4 5xxy ( ) xy ( xy)5 15x 6 ÷ − ⋅ − 2 2 23 15 5 15 5 4 6 8 y x x x yxy xy⋅ ⋅ = 2(2) b a a ab b a b a ba b a b a b − + −+ ⋅ ÷−− + +8 = = 14.【解析】解：由二次根式的有意义，得 ， 解得 x= ，故 y= ， ∴原式= ﹣ = ﹣ = ． 15.【解析】因为 的整数部分为 ，小数部分为 所以 ， 原式= = ,代入后原式= 2b a a b a b a b a b a b a b a b − ++ ⋅ ⋅ − + − + − （ ） （ ）（ ） = =b a a b a ba b a b ++ −− + 5 2+ a ,b 4a = 5 2 4 5 2b = + − = − 2 2 2 2 4 4 4 a b a ab b − + + 2 2 a b a b − + 8 2 5 4 5 5 52 5 − −=