《实数和二次根式》全章复习与巩固

1 《实数和二次根式》全章复习与巩固 【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些 数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一 一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为 一个正数有一个正的立方根； a± 3 a2 相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 要点二、无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其 中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理 数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如 0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形 式. 2.实数与数轴上的点一 一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应. 3.实数的三个非负性及性质 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0； 　　（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算 数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反 数；0 的绝对值是 0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、    a b c d ac bd⋅ = a b、 ( 4) ( 9) 4 9− × − ≠ − × − 2 3 2 5 2 (1 3 5) 2 2+ − = + − = − 3 1233 − +−+− = x xx y yx25 【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为 0 得出 的值，从而求出 值，及 的值. 【答案与解析】 解：由题意得 ，解得 ＝－3 ＝－2 ∴ ＝ . 【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到 的值. 2、（2016 春•南昌期末）已知实数 x、y 满足 ，求 2x﹣ 的 立方根． 【答案与解析】 解：由非负数的性质可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0， 解得：x=8，y=6． ∴2x﹣ y=2×8﹣ ×6=8． ∴2x﹣ 的立方根是 2． 【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得 x、y 的值是解题的关 键． 类型二、与实数有关的问题 3、已知 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值． 【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算 的整数部分是 3，那么 它的小数部分就是 ，再代入式子求值. 【答案与解析】 解：∵ 是 的整数部分， 是它的小数部分， ∴ ∴ . 【总结升华】可用夹挤法来确定，即看 介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平 x y yx2 3 0 3 0 3 0 x x x  − ≥  − ≥  − ≠ x 3 1233 − +−+− = x xx y yx2 ( ) ( )23 2 18− × − = − yx2 a 10 b ( ) ( )3 23a b− + + 10 10 3− a 10 b 3 10 4< < 3 , 10 3a b= = − ( ) ( ) ( ) ( )23 2 33 3 10 3 3 27 10 17a b− + + = − + − + = − + = − 106 方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三： 【变式】 已知 5＋ 的小数部分为 ，5－ 的小数部分为 ，则 ＋ 的值是 ； － 的值是_______. 【答案】 ； 提示：由题意可知 ， . 4、阅读理解，回答问题. 在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根 据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之 有效的方法：若 － ＞0，则 ＞ ；若 － ＝0，则 ＝ ；若 － ＜0，则 ＜ . 例如：在比较 与 的大小时，小东同学的作法是： ∵ ∴ 请你参考小东同学的作法，比较 与 的大小. 【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与 0 的关系，从而比较大小. 【答案与解析】 解：∵ ∴ ＜ 【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择. 举一反三： 【高清课堂：389318 实数复习，例 5】 【变式】实数 在数轴上的位置如图所示，则 的大小关系是： ； 【答案】 ； 类型三、实数综合应用 【高清课堂：实数复习，例 6】 5、阅读材料： 11 a 11 b a b a b 1; 2 11 7a b a b+ = − = − 11 3a = − 4 11b = − a b a b a b a b a b a b 2 1m + 2m ( ) ( )2 2 2 21 1 1m m m m+ − = + − = 2 21m m+ > 4 3 2(2 3)+ ( )2 4 3 2 3 4 3 (4 4 3 3) 7 0− + = − + + = − < 4 3 2(2 3)+ a 2,1,, aaaa − 0-1 a 21 a a aa < < < −7 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 的近似值. 小明的方法： ∵ ，设 （ ）.∴ . ∴ .∴ .解得 .∴ . 问题：（1）请你依照小明的方法，估算 的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算 的公式：已知非负整数 、 、 ，若 ，且 ，则 _________________(用含 、 的代 数式表示)； （3）请用（2）中的结论估算 的近似值. 【答案与解析】 解：（1）∵ ，设 （ ）. ∴ . ∴ .∴ . 解得 . ∴ . （2）∵ ，设 （ ）. ∴ . ∴ . ∴ . 对比 ， ∴ （3） ∴ ， 13 9 13 16< < 13 3 k= + 0 1k< < 2 2( 13) (3 )k= + 213 9 6k k= + + 13 9 6k≈ + 4 6k ≈ 413 3 3.676 ≈ + ≈ 41 m a b m 1a m a< < + 2m a b= + m ≈ a b 37 36 41 49< < 41 6 k= + 0 1k< < 2 2( 41) (6 )k= + 241 36 12k k= + + 41 36 12k≈ + 5 12k ≈ 541 6 6.4212 ≈ + ≈ 1a m a< < + m a k= + 0 1k< < 2 2( ) ( )m a k= + 2 22m a ak k= + + 2 2m a ak≈ + 2m a b= + 2 , 2 bb ak k a ≈ ≈ 2 bm a a ≈ + 237 6 1,= + 6, 1a b= =8 ∴ 6.083. 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式 子，找准 和 ，表示出 . 类型四、二次根式概念及运算 6、（2015 春•石林县期末）计算：5 + ﹣ × + ÷ ． 【思路点拨】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式= + ﹣ +3 ÷ =2 ﹣1+3，然后合并即可． 【答案与解析】 解：原式= + ﹣ +3 ÷ =2 ﹣1+3 =2 +2． 【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进 行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算． 举一反三： 【高清课堂：二次根式 高清 ID 号：388065 关联的位置名称（播放点名称）：化简题 2-4】 【变式】 . 【答案】 . 7、已知 为△ABC 的三边长，化简 　　　　　 【答案与解析】 解：∵ 为△ABC 的三边长， 　　　 ∴原式 　　　 137 6 12 ≈ + ≈ a b 2 bk a ≈ 2 5 (0 3)x x− −（2x+1） ＜ ＜ 3 4x − a b c、 、 a b c、 、9 【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和 进行化简. 8、 若 ，化简 . 【答案与解析】 【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三： 【变式】当 . 【答案】 解： ， 将 代 入 ， 原 式 =3. 0x > ___________x xy xy y xy y x xy + −+ = + − 2 2 2 1 1 2 2 1 12 3 a a a aa a a a − + − += −− −+ 时，求 的值 1 2 3, 1 0. 2 3 a a= = − − < +由 得 22 ( 1)( 1) 1= 11 ( 1) aa aa a a a −− − = − +− −∴原式 1 2 3 2 3 a = = − +10 【巩固练习】 一.选择题 1．已知 、 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A．若 ＞ ，则 ＞ B．若 ＞｜ ｜，则 ＞ C．若｜ ｜＞ ，则 ＞ D．若 ＞ ，则 ＞ 2. 下列说法正确的有（ ） ①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④ 3．已知 ，那么满足上述条件的整数 的个数是（ ）. A．4 B. 5 C. 6 D. 7 4．若 ＜0，则 的结果是( ). 　　A．0　 　 B．-2 　 　C．0 或-2　　 D．2 5. 若 ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6.（2015 春•安顺期末）下列计算正确的有（　　） ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7. 已知: ＝（ ） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8.（2016•泰安）如图，四个实数 m，n，p，q 在数轴上对应的点分别为 M，N，P，Q，若 n+q=0，则 m，n，p，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 二.填空题 9. 下列命题中正确的有 (填序号) a b a b 2a 2b a b 2a 2b a b 2a 2b 3a 3b 2a 2b 4 4 3 2 5 3 x< < + − x x 10 cb > ca > )()( cbacba ++=++ 1y − 1 2x− 0x ≠ y x 22 )3(−=a a 23 )3(−=a a === 00236.0,536.136.2,858.46.23 则 3 61(1 2 ) 164x+ − = x ,19961995 aaa =−+− 21995−a ( )ab ab bab a ba ab −− ÷ −+12 ； ； ； ……，……； （1）请用含 n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于 的长度； （4）你能计算出 的值吗？ 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】B 答案表明 ，故 ＞ . 2. 【答案】A； 3．【答案】C； 【解析】由原式得： 所以 ，因为 ， , 所以 . 4.【答案】D； 5. 【答案】C； 【解析】可以取特殊值验证. 6. 【答案】A； 【解析】解：①应先计算为根号内是 36，再开方， ， 无意义，错误； ②正确； ③④用平方差公式，根号应计算为 9，结果应为 3，错误． 故选 A． 7. 【答案】D； ( ) ( ) 2 12211 1 22 ===+ ，S ( ) ( ) 2 23312 2 22 ===+ ，S ( ) ( ) 2 34413 3 22 ===+ ，S 7 2 10 2 3 2 2 2 1 SSSS ++++  , | | | |a b a b> >且 2a 2b 4( 3 2) 4( 5 3) ( 3 2)( 3 2) ( 5 3)( 5 3) x − +< < + − − + 4( 3 2) 2( 5 3)x− < < + 1 4( 3 2) 2< − < 7 2( 5 3) 8< + < 2,3,4,5,6,7x = O..... S5 S4 S3 S2 S1 1 1 1 1 1 1 A6 A5 A4 A3 A2 A113 【解析】2.868 向右移动 1 位，23.6 应向右移动 3 位得 23600，考虑到符号， ＝－ 23600. 8. 【答案】A； 【解析】∵n+q=0，∴n 和 q 互为相反数，0 在线段 NQ 的中点处，∴绝对值最大的点 P 表示的数 p，故选 A. 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2； 【解析】两个非负数互为相反数则只能均为 0，于是可求 ＝2. 11.【答案】 ； ； 【解析】正数的平方根有 2 个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858 【解析】23.6 向左移动 4 位，4.858 向左移动 2 位得 0.04858. 13.【答案】2c﹣2a； 【解析】∵a、b、c 是△ABC 三边的长， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴ ﹣|a+b﹣c| =﹣a+b+c﹣a﹣b+c =2c﹣2a． 14.【答案】95； 【解析】解：代入 x，y 的值得， x2﹣3xy+y2=（ ）2﹣3× +（ ）2， = + ﹣3， =50+48﹣3， =95． 故填 95． 15.【答案】 ； 【解析】 . 16.【答案】1996； 【解析】由 得 ≥1996，原式＝ －1995＋ ＝ ， ＝ 1995，两边平方得 ＝1996. 三.解答题 17.【解析】 a y x 3± 3 9 1 8 ( )3 125 5 11 2 ,1 2 ,64 4 8x x x+ = + = = 1996a − a a 1996a − a 1996a − 21995−a14 解：(1) 原式= = = = . (2) 原式 　　　 18.【解析】 解： ，∴ . ∴原式= . 19.【解析】 解：∵x﹣2 的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是 3， ∴x﹣2=22，2x+y+7=27， 解得 x=6，y=8， ∴x2+y2=62+82=100， ∴x2+y2 的平方根是±10． 20.【解析】 解：（1） ． （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （3）略． a ab ab ab ab b a ba ab + − −÷ −+ a ab a b a ab ab b −× + − ( )( ) ( ) ( ) a a b a b a b a a b b a b ⋅ ⋅ + −× + − a ( ) 2,112 nSnn n =+=+ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 1 2 3 10 55(4) 2 2 2 2 4S S S S        + + + + = + + + =                      15