平面直角坐标系——导学案

1 平面直角坐标系——导学案 【学习目标】 1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置. 2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标. 3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形. 【要点梳理】 要点一、确定位置的方法 有序数对：把有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点诠释： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影 院的座位是 6 排 7 号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示 7 排 6 号． 可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方 位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为 x 轴 或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐 标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图 1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标 平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点 P 的坐标，记作:P(a,b)，如图 2.2 要点诠释： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点 P(a，b)中，|a|表示点到 y 轴的距离；|b|表示点到 x 轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一 对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数 对是一一对应的． 要点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点诠释： （1）坐标轴 x 轴与 y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方， 第四象限在右下方. 2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为 0；y 轴上的点的横坐标为 0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标 平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 【典型例题】3 类型一、确定物体的位置 1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东 30° 方向 45 千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东 30°的时刻是 1： 00，那么这个地点就用代码 010045 来表示、按这种表示方式，南偏东 30°方向 78 千米的 位置，可用代码表示为__________. 【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示 多少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的 方向，以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间． 【答案】050078 【解析】 解：南偏东 30°方向，时针正好指到 5 点 00 分，因而代码前 4 位是：0500，78 千米的位置 则代码的后两位是 78．则代码是：050078．故答案填：050078． 【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解 题目的能力． 类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 2.有一个长方形 ABCD，长为 5，宽为 3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下 求出 A，B，C，D 各点的坐标. 【答案与解析】 解：本题答案不唯一，现列举三种解法. 解法一：以点 A 为坐标原点，边 AB 所在的直线为 x 轴，边 AD 所在直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系，如图（1）： A（0，0），B（5，0）， C（5，3）， D （0，3）. 解法二：以边 AB 的中点为坐标原点，边 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点和 CD 的中点所在 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）： A（﹣2.5，0），B（2.5，0）， C（2.5，3）， D （－2.5，3）. 解法三：以两组对边中点所在直线为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）： A（﹣2.5，－1.5），B（2.5，－1.5）， C（2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）. 【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，4 即只要原点、x 轴和 y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或 x 轴、y 轴改变，每 一个点的位置也相对应地改变. 3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(－3，－1)，B(1，3)， C(2，－3)．求△ABC 的面积． 【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形 的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积． 【答案与解析】 解：如图所示，过点 A、C 分别作平行于 y 轴的直线与过 B 点平行于 x 轴的直线交于点 D、E，则四边形 ACED 为梯 形，根据点 A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得 AD＝ 4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC 的面积为： ． 【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面 直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点， 将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计 算公式求解． 举一反三： 【变式】（2015 春•莘县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为 1， △ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC 各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 1 1 1( )2 2 2ABCS AD CE DE AD DB CE BE= + − −  △ 1 1 1(4 6) 5 4 4 6 1 142 2 2 = + × − × × − × × =5 【答案】解：（1）A（3，3），B（（﹣2，﹣2），C（（4，﹣3）； （2）如图所示： S△ABC=S 矩形 DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC = = . 类型三、坐标平面及点的特征 4. （2016 春•沂水县期中）已知点 P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点 P 的坐 标． （1）点 P 在 x 轴上； （2）点 P 在 y 轴上； （3）点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQ∥y 轴； （4）点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等． 【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解. 【答案与解析】 解：（1）∵点 P（a﹣2，2a+8），在 x 轴上， ∴2a+8=0， 解得：a=﹣4， 故 a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，6 则 P（﹣6，0）； （2））∵点 P（a﹣2，2a+8），在 y 轴上， ∴a﹣2=0， 解得：a=2， 故 2a+8=2×2+8=12， 则 P（0，12）； （3）∵点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQ∥y 轴；， ∴a﹣2=1， 解得：a=3， 故 2a+8=14， 则 P（1，14）； （4）∵点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等， ∴a﹣2=2a+8 或 a﹣2+2a+8=0， 解得：a1=﹣10，a2=﹣2， 故当 a=﹣10 则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12， 则 P（﹣12，﹣12）； 故当 a=﹣2 则：a﹣2=﹣4，2a+8=4， 则 P（﹣4，4）． 综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴 的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面． 举一反三： 【高清课堂：第一讲 平面直角坐标系 1 369934 练习 4（1）】 【变式】若点 C(x,y)满足 x＋y＜0，xy＞0，则点 C 在第_____象限. 【答案】三． 5.一个正方形的一边上的两个顶点 O、A 的坐标为 O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶 点的坐标是什么． 【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确 定，所以应按不同位置分类去求． 【答案与解析】 解：不妨设另外两个顶点为 B、C，因为 OABC 是正方形，所以 OC＝BA＝BC＝OA＝4．且 OC∥ AB，OA∥BC，则： (1)当顶点 B 在第一象限时，如图所示，显然 B 点坐标为(4，4)，C 点坐标为(0，4)． (2)当顶点 B 在第四象限时，如图所示，显然 B 点坐标为(4，－4)，C 点坐标为(0，－4)．7 【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误． 举一反三： 【变式】点 A(m，n)到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 A 的坐标为________． 【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).8 【巩固练习】 一、选择题 1．A 地在地球上的位置如图，则 A 地的位置是（ ）. A.东经 130°，北纬 50° B.东经 130°，北纬 60° C.东经 140°，北纬 50° D.东经 40°，北纬 50° 2.点 A（a，－2）在二、四象限的角平分线上，则 a 的值是（ ）. A．2 B．－2 C． D． 3．已知点 M 到 x 轴、y 轴的距离分别为 4 和 6，且点 M 在 x 轴的上方、y 轴的左侧，则点 M 的坐标为( ) . A．(4，－6) B．(－4，6) C．(6，－4) D．(－6，4) 4．（2015•威海）若点 A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点 B（﹣a，b+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5. 已知点 ， ，过 作 轴于 ，并延长到 ，使 ， 且 点坐标为 ， ，则 . A．0 B．1 C．—1 D．—5 6.（2016•凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数 2016 应标在（　　） A．第 504 个正方形的左下角 B．第 504 个正方形的右下角 C．第 505 个正方形的左上角 D．第 505 个正方形的右下角 二、填空题 7.已知点 P(2－a，3a－2)到两坐标轴的距离相等，则 P 点的坐标为___________． 8.线段 AB 的长度为 3 且平行 x 轴，已知点 A 的坐标为（2，－5），则点 B 的坐标为 . 9.如果点 ， ， ， ，点 在 轴上，且 的面积是 5，则 点坐标 ____． 10．观察下列有序数对：(3，－1)、 ， 、 、……根据你发现的 1 2 1 2 − (M a )b M MH x⊥ H N NH MH= N ( 2− 3)− ( )a b+ = (0A 1) (3B 1) C y ABC△ C 15, 2  −   17, 3  −   19, 4  −  9 规律，第 100 个有序数对是________． 11．在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为：A(－2，1)、B(－3，－1)，C(－1，－ 1)，且 D 在 x 轴上方. 顺次连接这 4 个点得到的四边形是平行四边形， 则 D 点的坐标为 _______． 12．已知平面直角坐标系内两点 M(5，a)，N(b，－2)． (1)若直线 MN∥x 轴，则 a________，b________； (2)若直线 MN∥y 轴，则 a________，b________． 13．（2015 春•绥阳县校级期末）点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，且在 y 轴的左 侧，则 P 点的坐标是　 　． 14．（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长，P1， P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3 （1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点 P2016 的坐标为________． 三、解答题 15．（2014 秋•滨湖区校级月考）已知点 P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限． （1）若点 P 的纵坐标为﹣3，试求出 a 的值； （2）求 a 的范围； （3）若点 P 的横、纵坐标都是整数，试求出 a 的值以及 P 点的坐标． 16．如图，若 B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C 三点不在同一条直线上. (1) 求△OBC 的面积（用含 x1、x2、y1、y2 的代数式表示）； (2) 如图，若三个点的坐标分别为 A（2,5），B（7,7），C（9,1），求四边形 OABC 的面积. 17.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形 OAB 变换成三角形 OA1B1，第二次将三 角形 OA1B1 变换成三角形 OA2B2，第三次将三角形 OA2B2 变换成三角形 OA3B3，已知 A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．10 (1)观察每次变换前后的三角形有何变化?找出规律，按此规律再将三角形 OA3B3 变换成 三角形 OA4B4，则 A4 的坐标是________，B4 的坐标是________； (2)若按(1)中找到的规律将三角形 OAB 进行 n 次变换，得到三角形 OAnBn，推测 An 的坐 标是________，Bn 的坐标是________． （3）求出△O 的面积． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C. 2. 【答案】A； 【解析】因为（a，－2）在二、四象限的角平分线上，所以 a＋(－2)＝0，即 a＝2. 3. 【答案】D； 【解析】根据题意，画出下图，由图可知 M（－6，4）. 4. 【答案】A； 【解析】解：由 A（a+1，b﹣2）在第二象限，得 a+1＜0，b﹣2＞0． 解得 a＜﹣1，b＞2． 由不等式的性质，得 ﹣a＞1，b+1＞3， 点 B（﹣a，b+1）在第一象限， 故选：A． 5. 【答案】B； 【解析】由题意知： 点 M（a，b）与点 N（－2，－3）关于 x 轴对称，所以 M(－2,3) . 6. 【答案】D； 【解析】解：∵2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形 对应四个数，而第一个最小的数是 0，0 在右下角，然后按逆时针由小变大，∴ 第 504 个正方形中最大的数是 2015，∴数 2016 在第 505 个正方形的右下角， 故选 D． 二、填空题11 7. 【答案】P（1，1）或 P（2，－2）； 【解析】 ，得 ，分别代入即可. 8. 【答案】B（5，－5）或（－1，－5）； 【解析】 ，而 ． 9. 【答案】（0， ）或（0， ）； 【解析】 ，由 的面积是 5，可得 的边 AB 上的高为 ，又点 C 在 y 轴上，所以 ， . 10.【答案】 ; 【解析】横坐标的规律： ，纵坐标的规律： . 11.【答案】(0，1)或(－4，1)； 【解析】 ， . 12．【答案】(1)＝－2， ≠5； (2)≠－2， ＝5； 13.【答案】（﹣3，2）或（﹣3，﹣2） 【解析】解：∵P（x，y）到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3， ∴x=±3，y=±2； 又∵点 P 在 y 轴的左侧， ∴点 P 的横坐标 x=﹣3， ∴点 P 的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）． 故填（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）． 14．【答案】（504，﹣504）； 【解析】由规律可得，2016÷4=504， ∴点 P2016 的在第四象限的角平分线上， ∵点 P4（1，﹣1），点 P8（2，﹣2），点 P12（3，﹣3）， ∴点 P2016（504，﹣504）， 故答案为（504，﹣504）． 三、解答题 15.【解析】 解：（1）由题意得，1﹣a=﹣3， 解得 a=4； （2）∵点 P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限， ∴ ， 解不等式①得，a＜6， 解不等式②得，a＞1， 2 3 2a a− = − 0 1a a= =或 2 3 5 -1Bx = ± = 或 5By = − 13 3 7 3 − 3AB = ABC△ ABC△ 10 3 0Cx = 10 13 71 -3 3 3Cy = ± = 或 1201,100  −   n+1-1 (2 1)n +（ ） 1( 1)n n − 2 2 0 4Dx = − ± = 或- 1Dy =12 所以，1＜a＜6； （3）∵点 P 的横、纵坐标都是整数， ∴a 的值为 2、3、4、5， ① a=2 时，2a﹣12=2×2﹣12=﹣8， 1﹣a=1﹣2=﹣1， 点 P（﹣8，﹣1）， ② a=3 时，2a﹣12=2×3﹣12=﹣6， 1﹣a=1﹣3=﹣2， 点 P（﹣6，﹣2）， ③ a=4 时，2a﹣12=2×4﹣12=﹣4， 1﹣a=1﹣4=﹣3， 点 P（﹣4，﹣3）， ④ a=5 时，2a﹣12=2×5﹣12=﹣2， 1﹣a=1﹣5=﹣4， 点 P（﹣2，﹣4）． 16.【解析】 解： (1) 如图： （2）连接 OB，则： 四边形 OABC 的面积为： . 17.【解析】 解：(1)(16，2), (32，0)； (2)(2n，2), (2n＋1，0)； 　（3）△ 的面积为: . AOB MOB CONBMNCS S S S∆ ∆ ∆= + −梯形 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1( )( )2 2 2 1 ( )2 AOB MOB CONBMNCS S S S x y y y x x x y x y x y ∆ ∆ ∆= + − = + + − − = − 梯形 1 1 77(7 5-2 7) (9 7-7 1) 38.52 2 2AOB BOCS S∆ ∆+ = × × + × × = = n nOA B∆ 1 11 2 2 22 n n+ +× × =