导学案——坐标平面内图形的轴对称和平移

1 导学案——坐标平面内图形的轴对称和平移 【学习目标】 1. 能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化. 2. 掌握左右、上下平移点的坐标规律. 【要点梳理】 要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于 x 轴对称的点的坐标为 (a,－b)； P(a，b)关于 y 轴对称的点的坐标为 (－a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)． 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同. 要点二、用坐标表示平移 1.点的平移： 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点(x＋a， y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或 (x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿 x 轴平移纵坐标不变,沿 y 轴平移横坐标不 变． 2.图形的平移： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数 a， 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加 上(或减去)一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移 问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、用坐标表示轴对称 1．在直角坐标系中，已知点 A（a＋b，2－a）与点 B（a－5，b－2a）关于 y 轴对称， （1）试确定点 A、B 的坐标； （2）如果点 B 关于 x 轴的对称的点是 C，求△ABC 的面积．2 【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于 y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不 变，得出方程组求出 a，b 即可解答本题； （2）根据点 B 关于 x 轴的对称的点是 C，得出 C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即 可． 【答案与解析】 解：（1）∵点 A（a＋b，2－a）与点 B（a－5，b－2a）关于 y 轴对称， ∴ ， 解得： ， ∴点 A、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）； （2）∵点 B 关于 x 轴的对称的点是 C， ∴C 点坐标为：（－4，－1）， ∴△ABC 的面积为： ×BC×AB＝ ×2×8＝8． 【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及 三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 举一反三： 【变式】小华看到了坐标系中点 B 关于 X 轴的对称点为 C（－3，2），点 A 关于 Y 轴对称点 为 D（－3，4），若将 A、B、C、D 顺次连接，此图形的面积是多少？ 2 2 5 0 a b a a b a − = −  + + − = 1 3 a b =  = 1 2 1 23 【答案】 解：∵B 关于 x 轴的对称点为 C（－3，2）， ∴B（－3，－2）， ∵点 A 关于 y 轴对称点为 D（－3，4）， ∴A（3，4）， ∴△ABD 的面积为： ×AD×DB＝ ×6×6＝18． 2.已知点 A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出 a、b 的值． （1）A、B 两点关于 y 轴对称； （2）A、B 两点关于 x 轴对称； （3）AB∥x 轴； （4）A、B 两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上． 【思路点拨】 （1）关于 y 轴对称，y 不变，x 变为相反数． （2）关于 x 轴对称，x 不变，y 变为相反数． （3）AB∥x 轴，即两点的纵坐标不变即可． （4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点 A， 点 B 的横纵坐标之和为 0，列出方程并解之，即可得出 a，b． 【答案与解析】 解：（1）A、B 两点关于 y 轴对称， 故有 b＝3，a＝4； （2）A、B 两点关于 x 轴对称； 所以有 a＝－4，b＝－3； （3）AB∥x 轴， 即 b＝3，a 为≠－4 的任意实数． （4）如图， 1 2 1 24 根据题意，a＋3＝0； b－4＝0； 所以 a＝－3，b＝4． 【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线 上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 类型二、用坐标表示平移 3.（2015 春•黄陂区校级月考）如图，△A′B′C′是由△ABC 平移后得到的，已知△ABC 中一点 P（x0，y0）经平移后对应点为 P′（x0+5，y0﹣2）． （1）已知 A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出 A′、B′、C′的坐标； （2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC 平移得到的； （3）请直接写出△A′B′C′的面积为　 　． 【思路点拨】（1）根据点 P（x0，y0）经平移后对应点为 P′（x0+5，y0﹣2）可得 A、B、C 三点的坐标变化规律，进而可得答案； （2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC 先向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位； （3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【答案与解析】 解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）； （2）△ABC 先向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位（或先向下平移 2 个单位，再向 右平移 5 个单位）； （3）△A′B′C′的面积为 6．5 【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个 点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把 原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移 加，下移减．） 举一反三： 【变式】（2014•大庆校级模拟）如图所示，△COB 是由△AOB 经过某种变换后得到的图形， 观察点 A 与点 C 的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）若点 M 的坐标为（x、y），则它的对应点 N 的坐标为　 　． （2）若点 P（a，2）与点 Q（﹣3，b）关于 x 轴对称，求代数式 … 的值． 【答案】 解：（1）由图象知点 M 和点 N 关于 x 轴对称， ∵点 M 的坐标为（x、y）， ∴点 N 的坐标为（x，﹣y）； （2）∵点 P（a，2）与点 Q（﹣3，b）关于 x 轴对称， ∴a=﹣3，b=﹣2， ∴ …6 = + + +…+ ， = ﹣ + ﹣ +…+ ， = ﹣ ， = ． 类型三、综合应用 4. （2016 春•临沂期末）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使 A 点的 坐标为（0，0），B 点的坐标为（1，1） （1）直接写出 C，D，E，F 的坐标； （2）如果台阶有 10 级，你能求得该台阶的长度和高度吗？ 【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可； （2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可． 【答案与解析】 解：（1）∵点 P（a﹣2，2a+8），在 x 轴上， ∴2a+8=0， 解得：a=﹣4， 故 a﹣2=﹣4﹣2=﹣6， 则 P（﹣6，0）； （2））∵点 P（a﹣2，2a+8），在 y 轴上， ∴a﹣2=0， 解得：a=2， 故 2a+8=2×2+8=12， 则 P（0，12）； （3）∵点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQ∥y 轴；， ∴a﹣2=1， 解得：a=3， 故 2a+8=14， 则 P（1，14）； （4）∵点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等， ∴a﹣2=2a+8 或 a﹣2+2a+8=0， 解得：a1=﹣10，a2=﹣2， 故当 a=﹣10 则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12， 则 P（﹣12，﹣12）； 故当 a=﹣2 则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，7 则 P（﹣4，4）． 综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那 么 点 的 横 纵 坐 标 相 等 或 互 为 相 反 数 以 及 在 坐 标 轴 上 的 点 的 性 质 ．8 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到△A1B1C1，那么点 A 的 对应点 A1 的坐标为（　　） A．（4，3） B．（2，4） C．（3，1） D．（2，5） 2.将点 A（3，2）沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′，点 A′关于 y 轴对称的点的坐 标是（　　） A． （ － 3， 2） B． （ － 1， 2） C． （ 1， 2） D． （ 1， － 2） 3. 线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A(－1，4)的对应点为 C(4，7)，则点 B(－4，－1) 的对应点 D 的坐标为( 　 )． A．(2，9) B．(5，3) C．(1，2) D．(－9，－4) 4.以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点，直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系，已知 B、D 点的坐 标分别为(1，3)，(4，0)，把平行四边形向上平移 2 个单位，那么 C 点平移后相应的点的 坐标是( 　 )． A．(3，3) B．(5，3) C．(3，5) D．(5，5) 5．（2016•青岛）如图，线段 AB 经过平移得到线段 A1B1，其中点 A，B 的对应点分别为点 A1，B1，这四个点都在格点上．若线段 AB 上有一个点 P（ a，b），则点 P'在 A1B1 上的 对应点 P 的坐标为（　　） A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3） 6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点 A(5，－ 4)，并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点 B(5，2)和 C(－1，－4)处各有一艘救 护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时间 内靠近遇难船只? ( )9 A．派 C 处 B．派 B 处 C．派 C 或 B 处 D．无法确定 二、填空题 7. 已知点 M（3，－2），将它先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点 N，则点 N 的坐标是_______. 8．点 P(5，－6)可以由点 Q(－5，6)通过两次平移得到，即先向_______平移_______个单位 长度，再向_______平移_______个单位长度． 9．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每 平 方 米 售 价 30 元 ， 主 楼 梯 道 宽 2 米 ， 其 侧 面 如 图 所 示 ， 则 购 买 地 毯 至 少 需 要 元． 10.（2015•潍坊一模）在平面直角坐标系 A 中，已知直线 l：y=x，作 A1（1，0）关于 y=x 的对称点 B1，将点 B1 向右水平平移 2 个单位得到点 A2；再作 A2 关于 y=x 的对称点 B2， 将点 B2 向右水平平移 2 个单位得到点 A3；…．按此规律，则点 B2014 的坐标 是　 　． 11.如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼 A 的坐标是（－2，3），嘴唇 C 点的 坐标为（－1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移 3 个单位后，右眼 B 的坐标是________. 12.已知点 A（2a＋b，－4），B（3，a－2b）关于 x 轴对称，求点 C（a，b）在第______象 限？ 三、解答题 13.已知点 M（3a－b，5），N（9，2a＋3b）关于 x 轴对称，求 的值． 14.在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（a，－2a）． （1）当 a＝－1 时，点 M 在坐标系的第_____象限；（直接填写答案） ab10 （2）将点 M 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到点 N，当点 N 在第三象限时， 求 a 的取值范围． 15．（2016 春•禹州市期末）已知：如图，把△ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个 单位长度，得到△A′B′C′． （1）写出 A′、B′、C′的坐标； （2）求出△ABC 的面积； （3）点 P 在 y 轴上，且△BCP 与△ABC 的面积相等，求点 P 的坐标． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】解：由坐标系可得 A（﹣2，6），将△ABC 先向右平移 4 个单位长度，在向下平 移 1 个单位长度，点 A 的对应点 A1 的坐标为（﹣2+4，6﹣1）， 即（2，5）， 故选：D． 2.【答案】C； 【解析】∵将点 A（3，2）沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′，∴点 A′的坐标为 （－1，2），∴点 A′关于 y 轴对称的点的坐标是（1，2）．故选 C． 3. 【答案】C； 【解析】由 A(－1，4)平移到 C(4，7)其横坐标．“加了”5，纵坐标“加了”3，故将 B(－4，1)平移到 D 时，点 D 的坐标应为 D(1，2)，故选 C． 4. 【答案】D； 【解析】根据点 A、D 求出 AD 的长度，再根据点 B 求出点 C 的横坐标，从而得到点 C 的 坐标，再根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答． 5. 【答案】A； 【解析】由题意可得线段 AB 向左平移 2 个单位，向上平移了 3 个单位，则 P（a﹣2， b+3）故选 A． 6. 【答案】B． 二.填空题 7.【答案】（－1，1）；11 【解析】原来点的横坐标是 3，纵坐标是－2，向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位 得到新点的横坐标是 3－4＝－1，纵坐标为－2＋3＝1．则点 N 的坐标是（－1，1）． 8. 【答案】右，10，下，12； 9. 【答案】504； 【解析】 （元）. 10．【答案】（2013，2014）； 【解析】解：如图所示： ， ∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3）， ∴B 点横坐标比纵坐标小 1， ∴点 B2014 的坐标是：（2013，2014）． 故答案为：（2013，2014）． 11.【答案】（3，3）； 【解析】∵左眼 A 的坐标是（－2，3），嘴唇 C 点的坐标为（－1，1），∴右眼的坐标 为（0，3），向右平移 3 个单位后右眼 B 的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）． 12．【答案】四； 【解析】∵点 A（2a＋b，－4），B（3，a－2b）关于 x 轴对称，∴2a＋b＝3，a－2b＝ 4，解得 a＝2，b＝－1．∴点 C（2，－1）在第四象限． 三.解答题 13.【解析】 解：∵3a－b＝9，2a＋3b＝－5， ∴a＝2，b＝－3， ∴ ＝（－3）2＝9． 14.【解析】 解：（1）当 a＝－1 时点 M 的坐标为（－1，2），所以 M 在第二象限，所应填“二”； （2）将点 M 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到点 N，点 M 的坐标为 （a，－2a），所以 N 点坐标为（a－2，－2a＋1），因为 N 点在第三象限，所以 ，解得 ＜a＜2， (2.6 5.8) 2 30 504+ × × = ab 2 0 2 1 0 a a −