《平面直角坐标系》全章复习与巩固

1 《平面直角坐标系》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点 的位置写出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应 关系,进而培养数形结合的数学思想． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活 中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入， 可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收 入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来 表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 要点二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：2 要点诠释： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、 第四象限，这六个区域中，除了 x 轴与 y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有 公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一 一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x 轴上的点纵坐标为零；y 轴上的点横坐标为零． ② 平行于 x 轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于 y 轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|，到 y 轴的距离为|x|． ② x 轴上两点 A(x1，0)、B(x2，0)的距离为 AB=|x1 - x2|； y 轴上两点 C(0，y1)、D(0，y2)的距离为 CD=|y1 - y2|． ③ 平行于 x 轴的直线上两点 A(x1，y)、B(x2，y)的距离为 AB=|x1 - x2|； 平行于 y 轴的直线上两点 C(x，y1)、D(x，y2)的距离为 CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补 要点三、坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 要点诠释： (1)我们习惯选取向东、向北分别为 x 轴、y 轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点 的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长 度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单3 位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移 b 个单位长度， 可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点诠释： 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应 的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或 减去)一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度． 要点诠释： 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化， 反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循： “右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典型例题】 类型一、有序数对 1．(巴中)如图所示，用点 A(3，1)表示放置 3 个胡萝卜、1 棵青菜，用点 B(2，3)表 示放置 2 个胡萝卜，3 棵青菜． (1)请你写出点 C、D、E、F 所表示的意义； (2)若一只兔子从点 A 到达点 B(顺着方格线走)，有以下几条路线可以选择：①A→C→D→ B；②A→E→D→B；③A→E→F→B，问走哪条路吃到的胡萝卜最多?走哪条路吃到的青菜最多? 【思路点拨】（1）根据问题的“约定”先写出坐标，再回答其实际意义；(2)通过比较三条 线路吃胡萝卜、青菜的多少回答问题． 【答案与解析】 解：(1)因为点 A(3，1)表示放置 3 个胡萝卜、1 棵青菜，点 B(2，3)表示放置 2 个胡萝卜、 3 棵青菜，可得： 点 C 的坐标是(2，1)，它表示放置 2 个胡萝卜、1 棵青菜； 点 D 的坐标是(2，2)，它表示放置 2 个胡萝卜、2 棵青菜； 点 E 的坐标是(3，2)，它表示放置 3 个胡萝卜、2 棵青菜； 点 F 的坐标是(3，3)，它表示放置 3 个胡萝卜、3 棵青菜． (2)若兔子走路线①A→C→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有 3+2+2+2＝9(个)，吃到的青 菜共有 1+1+2+3＝7(棵)； 走路线②A→E→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有 3+3+2+2＝10(个)，吃到的青菜共有 1+2+2+3＝8(棵)； 走路线③A→E→F→B，则可以吃到的胡萝卜共有 3+3+3+2＝11(个)，吃到的青菜共有 1+2+3+3＝9(棵)； 由此可知，走第③条路线吃到的胡萝卜和青菜都最多． 【总结升华】由点 A（3，1），点 B（2，3）表示的意义及已确定平面直角坐标系，可知坐标4 系中 x 轴表示胡萝卜的数量，y 轴表示青菜的数量． 类型二、平面直角坐标系 2. (1)若点(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值． (2)已知两点 A(-3，m)，B(n，4)，若 AB∥x 轴，求 m 的值，并确定 n 的范围． (3)点 P 到 x 轴和 y 轴的距离分别是 3 和 4，求 P 点的坐标． 【思路点拨】 (1)中在一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；(2)与 x 轴平 行的直线上的点的纵坐标相等；(3)中的点 P 有多个． 【答案与解析】 解：(1)因为点(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，所以 5-a＝a-3，所以 a＝4． (2)因为 AB∥x 轴，所以 m＝4，因为 A、B 两点不重合，所以 n≠-3． (3)设 P 点的坐标为(x，y)，由已知条件得|y|＝3，|x|＝4，所以 y＝±3，x＝±4，所 以 P 点的坐标为(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)． 【总结升华】抓住平面直角坐标系中点的特征和点的特征的意义是解决此类问题的关键． 【高清课堂：平面直角坐标系单元复习 2（4）（5）】 举一反三： 【变式】已知，点 P（-m，m-1），试根据下列条件： （1）若点 P 在过 A（2，-4），且与 x 轴平行的直线上，则 m= ，点 P 的坐标 为 ． （2）若点 P 在过 A（2，-4），且与 y 轴平行的直线上，则 m= ，点 P 的坐标 为 ． 【答案】（1）-3，（3,-4）; （2）-2，（2，-3）. 3.（2015 春•鄂州校级期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA1B1， 第二次将△OA1B1 变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2 变换成△OA B ，依此类推，已知 A（1， 3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16， 0）… ①观察每次变化后的三角形，找出规律，按此规律再将△OA3B3 变换成△OA4B4，则 A4 的坐标 为　 　，B4 的坐标为　 　. ②若按上述规律，将三角 OAB 进行 n 次变换，得三角形△OAnBn，比较每次变换三角形顶点 的变化规律，探索顶点 An 的坐标为　 　，顶点 Bn 的坐标为　 　． 【答案】①（16，3）（32，0）； ②（2n，3）（2n+1，0）． 【解析】解：∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…纵坐标不变，为 3，横坐 标都和 2 有关，为 2n，∴An（2n，3）； ∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为 0，横坐标都和 2 有关 为 2n+1， 3 35 ∴B 的坐标为 Bn（2n+1，0）． 故答案为：①（16，3）（32，0）②（2n，3）（2n+1，0）． 【总结升华】此题考查点的坐标问题，依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关 键． 举一反三： 【变式】(杭州)某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在 处，其中 x1＝1，y1＝1， 当 k≥2 时， [a]表示非负实数 a 的整数部分，例如 [2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第 2009 棵树种植点的坐标为( ). A．(5，2009) B．(6，2010) C．(3，401) D．(4，402) 【答案】D. 类型三、坐标方法的简单应用 4. （2016 春•江西期末）如图，在下面直角坐标系中，已知 A（0，a），B（b，0），C （b，c）三点，其中 a、b、c 满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 （1）求 a、b、c 的值； （2）如果在第二象限内有一点 P（m， ），请用含 m 的式子表示四边形 ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若 存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）用非负数的性质求解； （2）把四边形 ABOP 的面积看成两个三角形面积和，用 m 来表示； （3）△ABC 可求，是已知量，根据题意，方程即可． 【答案与解析】 解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 及（c﹣4）2≥0 可得：a=2，b=3，c=4； （2）∵ ×2×3=3， ×2×（﹣m）=﹣m， ∴S 四边形 ABOP=S△ABO+S△APO=3+（﹣m）=3﹣m ( , )k k kP x y 1 1 1 21 5 ,5 5 1 2 ,5 5 k k k k k kx x k ky y − −   − −    = + − −           − −    = + −       6 （3）因为 ×4×3=6， ∵S 四边形 ABOP=S△ABC ∴3﹣m=6， 则 m=﹣3， 所以存在点 P（﹣3， ）使 S 四边形 ABOP=S△ABC． 【总结升华】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解 答． 举一反三： 【变式】（2015 春•凉山州期末） 如图，已知火车站的坐标为（2，1），文化宫的坐标为 （﹣1，2）． （1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； （2）写出体育馆、市场、超市、宾馆的坐标； （3）请将原点 O，宾馆 C 和文化宫 B，看作三点用线段连起来，将得△OBC，然后将此三角 形向下平移 3 个单位长度，画出平移后的△O1B1C1，并求出其面积． 【答案】 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示； （2）体育场（﹣2，4），市场（6，4），超市（4，﹣2），宾馆（4，3）． （3）如图 1，连接 BB1 交 x 轴于点 A，连接 CC1，7 =S△OBC= ﹣S△BAO﹣ = （2+3）×5﹣ ×1×2﹣ ×4×3= ． 5. (上海)如图所示，在直角坐标平面内，线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，且 AB＝2， 如果将线段 AB 沿 y 轴翻折，点 A 落在 C 处，那么 C 的横坐标是_______． 【答案】-2. 【解析】将线段 AB 沿 y 轴翻折以后，点 A 与点 C 关于 y 轴对称，则两点的横坐标互为相反 数，点 A 的横坐标为 2，则点 C 的横坐标为-2． 【总结升华】考查平面直角坐标系内图形与坐标的关系以及轴对称的性质． 类型四、综合应用 6.（北京）（1）对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得 数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 的对应点 .点 在数轴上，对线段 上的 每个点进行上述操作后得到线段 ，其中点 的对应点分别为 ．如图 1，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 ；若点 表示的数是 2，则点 表示的数 是 ；已知线段 上的点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是 ； （2）如图 2，在平面直角坐标系 中，对正方形 及其内部的每个点进行如下操作： 把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数 ，将得到的点先向右平移 个单位，再向上平移 个单位（ ），得到正方形 及其内部的点，其中点 的对应点分别 为 .已知正方形 内部的一个点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合， P P 1 3 P P′ A B， AB A B′ ′ A B， A B′ ′， A 3− A′ B′ B AB E E′ E E xOy ABCD a m n 0 0m n> >， A B C D′ ′ ′ ′ A B， A B′ ′， ABCD F F′ F8 求点 的坐标. 【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A′，设 点 B 表示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b， 根据题意列出方程计算即可得解： 点 A′：－3× +1=－1+1=0. 设点 B 表示的数为 a，则 a+1=2，解得 a=3. 设点 E 表示的数为 b，则 b+1=b，解得 b= . （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规 律，然后设点 F 的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可. 【答案与解析】 【总结升华】根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点 B 表 示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题 意列出方程计算即可得解. 举一反三： 【变式】 把点 P1(m，n)向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度到一个位置 P2 后坐 F 1 3 1 3 1 3 3 29 标为 P2 (a，b)，则 m，n，a，b 之间存在的关系是________________. 【答案】 ， .3a m= + 2b n= −10 【巩固练习】 一、选择题 1．（日照）若点 P(m，1－2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点 P 一定在（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点 P(a，b)，ab＞0，a+b＜0，则点 P 在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点 P(x，y)的坐标满足 xy＝0(x≠y)，则点 P 必在( )． A．原点上 B．x 轴上 C．y 轴上 D．x 轴上或 y 轴上(除原点) 4．线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，线段 M1N1 与 MN 关于 y 轴对称，则点 M 的对应 的点 M1 的坐标为（ ）. A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 5．设平面直角坐标系的轴以 1cm 作为长度单位，△PQR 的顶点坐标为 P（0,3），R（4,0），Q （k，5），其中 0