导学案——变量与函数

导学案——变量与函数 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值 范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法； 给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；对函数关系的表示法（如列表法、关系式 法、图象法）有初步认识； 3. 理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上， 明确交点坐标反映到函数上的含义；初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画 一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化 过程而言的.例如， ，速度 60 千米/时是常量，时间 和里程 为变量. 要点二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是否 都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变 量 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值 称为当自变量等于 a 时的函数值. 要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函 数值对应的自变量可以是多个.比如： 中，当函数值为 4 时，自变量 的值为±2. 要点四、自变量取值范围的确定 　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 要点诠释：自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 60s t= t s x y x y x y x x x y x x 2y x= x　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数 不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 要点五、函数的几种表达方式 　　表示函数的方法一般有以下三种： 　　（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系， 但较抽象，不是所有的函数都能列出关系式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的 对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象 法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以 充当重要角色. 要点六、函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标 平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值 范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函 数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【典型例题】 类型一、变量与函数 1、下列等式中， 是 的函数有（ ） A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案】C； 【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当 取 2， 有两个值± 和它对应，对于 ，当 取 2， 有两个值±2 和它 对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求： 都有唯一确定的值与 对应， 所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选 C. 【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.抓住函数定义中 的关键词语“ 都有唯一确定的值”， 与 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多 对一”，不能是“一对多”. y x 2 23 2 0, 1, , | |, | |x y x y y x y x x y− = − = = = = 2 2 1,x y− = x y 3 | |x y= x y y x x y x y x y x y x y举一反三： 【变式】下列函数中与 表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D； 提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同. 2、（2016•南宁）下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（　　） A. B. C. D. 【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案． 【答案】 D； 【解析】根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故 D 正确． 【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一 个变量就有唯一的一个值与其对应． 类型二、函数关系式 3、求出下列函数中自变量 的取值范围 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的 的值，大致是开平方时，被开方数是非负 数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】 解：（1） ， 为任何实数，函数都有意义； （2） ，要使函数有意义，需 2 －3≠0，即 ≠ ； （3） ，要使函数有意义，需 2 ＋3≥0，即 ； （4） ，要使函数有意义，需 2 －1＞0，即 ； xy = xy = x xy 2 = 2)( xy = 3 3xy = x 52 +−= xxy 4 2 3 xy x = − 2 3y x= + 2 1 xy x = − 3 1 2y x= − 3 2 xy x += + x 52 +−= xxy x 4 2 3 xy x = − x x 3 2 2 3y x= + x 3 2x ≥ − 2 1 xy x = − x 1 2x >（5） ， 为任何实数，函数都有意义； （6） ，要使函数有意义，需 ，即 ≥－3 且 ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 4、如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设 P 为 BC 上任一点，点 P 不与点 B、C 重合，且 CP＝ ．若 表示△APB 的面积． (1)求 与 之间的函数关系式； (2)求自变量 的取值范围． 【答案与解析】 解： (1)因为 AC＝6，∠C＝90°，BC＝10， 所以 ． 又 ， 所以 ，即 ． (2)因为点 P 不与点 B、C 重合，BC＝10，所以 0＜ ＜10． 【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点 P 是一动点这个规律，结合图 形观察到点 P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围． 举一反三： 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80 的等腰三角形．请你写出底边长 ( )与腰长 ( )的函数关系式，并求自变量 的取值范围． 【答案】 解：由题意得， ＝80, 所以 ， 由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于 0， 3 1 2y x= − x 3 2 xy x += + 3 0 2 0 x x + ≥  + ≠ x x x y y x x 1 1 6 10 302 2ABCS AC BC∆ = = × × = 1 1 6 32 2APCS AC PC x x∆ = = × × = 30 3APB ABC APCy S S S x∆ ∆ ∆= = − = − 30 3y x= − x cm y cm x cm x 2x y+ 80 2y x= −所以 ，解得 所以 . 类型三、函数值 5、 若 与 的关系式为 ，当 ＝ 时， 的值为（ ） A．5 B．10 C．4 D．－4 【思路点拨】把 代入关系式可求得函数值. 【答案】C； 【解析】 . 【总结升华】 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值. 举一反三： 【变式】（2015 春•抚州期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路 上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间 t（h） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量 Q（L） 100 94 88 82 … （1）根据上表的数据，请你写出 Q 与 t 的关系式； （2）汽车行驶 5h 后，油箱中的剩余油量是多少？ （3）该品牌汽车的油箱加满 50L，若以 100km/h 的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？ 【答案】解：（1）Q=50﹣8t； （2）当 t=5 时，Q=50﹣8×5=10， 答：汽车行驶 5h 后，油箱中的剩余油量是 10L； （3）当 Q=0 时，0=50﹣8t 8t=50， 解得：t= ， 100× =625km． 答：该车最多能行驶 625km. 类型四、函数的图象 6、（2015 春•东平县校级期末）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路 时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下 是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： 1 3 0 80 2 0 2 80 2 x y x x x >  = − >  > − 20 40x< < 80 2 , 20 40y x x= − < < y x 30 6y x= − x y 1 3x = 130 6 10 6 43y = × − = − = y x x a y b b a（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？ （2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？ （3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？ （4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分 钟？ 【思路点拨】 （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间， 离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程， 根据有理数的加法，可得答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的 横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度；（4）根据路程、速度，即可得到 时间． 【答案与解析】 解：（1）陈杰家到学校的距离是 1500 米， 1500﹣600=900（米）． 答：书店到学校的距离是 900 米． （2）12﹣8=4（分钟）． 答：陈杰在书店停留了 4 分钟． 1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）=2700（米）． 答：本次上学途中，陈杰一共行驶了 2700 米 （3）（1500﹣600）÷（14﹣12）=450 米/分． 答：在整个上学的途中 12 分钟到 14 分钟时段陈杰骑车速度最快，最快的速度是 450 米/ 分； （4）1500÷（1200÷6）=7.5（分钟），14﹣7.5=6.5（分钟）． 答：陈杰以往常的速度去学校，需要 7.5 分钟，本次上学比往常多用 6.5 分钟． 【总结升华】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意 义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统 一． 举一反三： 【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间， 火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始 匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B.