导学案——一次函数的图象和性质

1 导学案——一次函数的图象和性质 【学习目标】 1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数 的图象与正比例函数 的图象之间的关系； 2.能正确画出一次函数 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一 次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、函数图象及一次函数的定义 1.函数图象的概念 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐 标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 2.一次函数的定义 一般地，形如 （ ， 是常数， ≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当 ＝0 时， 即 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函 数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数 ， 的要求， 一次函数也被称为线性函数. 3.画函数图象的一般步骤 总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤 第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成 表格． 第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出 表中对应各点． 第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 要点二、一次函数的图象与性质 1.函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象是一条直线 ； 当 ＞0 时，直线 是由直线 向上平移 个单位长度得到的； 当 ＜0 时，直线 是由直线 向下平移| |个单位长度得到的. 2.一次函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象与性质： y kx b= + y kx= y kx b= + y kx b= + k b k b y kx b= + y kx= k b y kx b= + k b k b y kx b= + y kx= b b y kx b= + y kx= b y kx b= + k b k2 3. 、 对一次函数 的图象和性质的影响： 决定直线 从左向右的趋势， 决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定 直线 经过的象限． 4. 两条直线 ： 和 ： 的位置关系可由其系数确定： （1） 与 相交； （2） ，且 与 平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 　 一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独立 条件确定两个关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出 这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所 以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 和 为未知数），解方程组后 就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数 k b y kx b= + k y kx b= + b y k b y kx b= + 1l 1 1y k x b= + 2l 2 2y k x b= + 1 2k k≠ ⇔ 1l 2l 1 2k k= 1 2b b≠ ⇔ 1l 2l y kx b= + k b k k b k b x y y kx b= + k b k b3 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的 解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变 量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象 上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】 类型一、待定系数法求函数的解析式 1、（2015 春•东平县校级期末）如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的 图象相交于点 B． （1）求该一次函数的解析式； （2）判定点 C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由； （3）若该一次函数的图象与 x 轴交于 D 点，求△BOD 的面积． 【思路点拨】（1）首先求得 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把 C 的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可； （3）首先求得 D 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解． 【答案与解析】解：（1）在 y=2x 中，令 x=1，解得 y=2，则 B 的坐标是（1，2）， 设一次函数的解析式是 y=kx+b， 则 ， 解得： ． 则一次函数的解析式是 y=﹣x+3； （2）当 a=4 时，y=﹣1，则 C（4，﹣2）不在函数的图象上； （3）一次函数的解析式 y=﹣x+3 中令 y=0，解得：x=3， 则 D 的坐标是（3，0）． 则 S△BOD= OD×2= ×3×2=3． 【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数 的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求 关于字母系数的方程的解． 举一反三： 【变式 1】一次函数交 轴于点 A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于 6，求一次函数解 析式. 【答案】 y4 解： 设一次函数的解析式为 . 当过 时， ； 当过 时， ； 所以，一次函数的解析式为 或 . 【变式 2】在平面直角坐标系 中，已知两点 ， ，在 轴上求作一点 P，使 AP＋BP 最短，并求出点 P 的坐标. 【答案】 解：作点 A 关于 轴的对称点为 ，连接 ，与 轴交于点 P，点 P 即为所求. 设直线 的解析式为 ， 直线 过 ， 的解析式为： ，它与 轴交于 P（0，1）. 类型二、一次函数图象的应用 2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程 (米)与时间 (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： ( )0, 3 , 3.A OA = ∴ ( ) ( ) 1 ,2 16 32 4 4,0 4,0 . AOBS OA OB OB OB B B = ⋅ = × ⋅ = −  △ ∴ ∴ ∴ 或 3y kx= + ( )4,0B 34 3 0 4k k+ = = −∴ ( )4,0B − 34 3 0 4k k− + = =∴ 3 34y x= − + 3 34y x= + xOy ( 1, 0)A − ( 2, 3)B − y y ( )1,0A′ A B′ y A B′ y kx b= +  A B′ ( ) ( )1,0 , 2,3A B′ − 0 1 2 3 1 k b k k b b + = = −   − + = =  ∴ ∴ A B′∴ 1y x= − + y s t5 (1)求李明上坡时所走的路程 (米)与时间 (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的 路程 (米)与时间 (分钟)之间的函数关系式； (2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同， 问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟? 【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6， 900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6， 900)，(10，2100)，可以求出函数解析式. 【答案与解析】 解：(1)设 ，由已知图象经过点(6，900)，得 900＝6 ．解得 ＝150． 所以 ＝150 (0≤ ≤6)． 设 ，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)， 得 解得 所以 ＝300 －900(6