导学案——二元一次方程（组）

1 导学案——二元一次方程（组） 【学习目标】 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义； 2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解. 【要点梳理】 要点一、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1．像这样的方程叫做二元一次方 程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组 解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 要点三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一 次方程组. 要点四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成 的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解， 而方程组 的解有无数个． 【典型例题】 类型一、二元一次方程 2, 5. x y =  =    =− =+ 52 013 yx x x a y b =  = 2 5 2 6 x y x y + =  + = 1 2 2 2 x y x y + = −  + = −2 1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m、n 的值． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答． 【答案与解析】 解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m 是关于 x、y 的二元一次方程， ∴n﹣1=1，|m﹣1|=1， 解得：n=2，m=0 或 2， 若 m=2，方程为 2y=2，不合题意，舍去， 则 m=0，n=2． 【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数 与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次 且方程左右两边都是整式这三个条件． 举一反三： 【高清课堂：二元一次方程组的概念 409142 例 1（2）】 【变式 1】已知方程 是二元一次方程，则 m= ，n= . 【答案】-2， 【变式 2】方程 ，当 时， 它是一元一次方程． 【答案】 ； 类型二、二元一次方程的解 2.（2016 春•新华区期中）已知 是方程 2x﹣6my+8=0 的一组解，求 m 的值． 【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值． 【答案与解析】 解：∵ 是方程 2x﹣6my+8=0 的一组解， ∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0， 解得 m=﹣2． 【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关 键． 【高清课堂：二元一次方程组的概念 409142 例 2（3）】 举一反三： 【变式】已知方程 2x-y+m-3=0 的一个解是 ，求 m 的值. 【答案】 3 2 412 52 m nx y+ −− = 1 4 ( 1) ( 1) 0a x a y+ + − = ___ ___a a≠ =时，它是二元一次方程，当 1± 1 1−或 1 1 x m y m = −  = +3 解：将 代入方程 2x-y+m-3=0 得 ，解得 . 答：m 的值为 3. 3.写出二元一次方程 的所有正整数解. 【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一 元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到 不重、不漏. 【答案与解析】 解：由原方程得 ，因为 都是正整数， 所以当 时， . 所以方程 的所有正整数解为： ， ， ， . 【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为 正整数才是符合题意的解. 举一反三： 【变式 1】（2015 春•孟津县期中）已知 是关于 x、y 的二元一次方程 ax﹣（2a﹣3） y=7 的解，求 a 的值． 【答案】 解：把 代入方程 ax﹣（2a﹣3）y=7，可得： 2a+3（2a﹣3）=7， 解得：a=2． 【变式 2】在方程 中，若 分别取 2、 、0、－1、－4，求相应的 的值. 【答案】将 变形得 . 把已知 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表： 2 0 －1 －4 －2 2 6 类型三、二元一次方程组及解 1 1 x m y m = −  = + 2( 1) ( 1) 3 0m m m− − + + − = 3m = 204 =+ yx xy 420 −= yx、 4321 ，　，　，　=x 481216 ，　，　，　=y 204 =+ yx    = = 16 1 y x    = = 12 2 y x    = = 8 3 y x    = = 4 4 y x 0243 =−+ yx y 4 1 x 0243 =−+ yx 3 42 yx −= y y 4 1 3 42 yx −= 3 1 3 24 4.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的 a，得到方 程组的解为 ．乙看错了方程②中的 b ．得到方程组的解为 ．试计算： 的值． 【思路点拨】把 x、y 的值代入正确的方程，就可以求出字母的值． 【答案与解析】 解：把 代入②，得-12+b＝-2，所以 b＝10． 把 代入①，得 5a+20＝15，所以 a＝-1， 所以 ． 【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方 程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它． 举一反三： 【变式】已知关于 的二元一次方程组 ，求 ． 【答案】 解 ： 将 代 入 原 方 程 组 得 ： ， 解 得 ， 所 以 ． 5 15 4 2 ax y x by + =  − = − ① ② 3 1 x y = −  = − 5 4 x y =  = 2011 2010 1 10a b + −   3 1 x y = −  = − 5 4 x y =  = 2011 2011 2010 20101 1( 1) 10 1 ( 1) 010 10a b   + − = − + − × = + − =       ,x y 4 1 3 2 3 x ay x by x y + = =   + = = −  的解是 的值a b+ 1 3 x y =  = − 1 3 4 3 3 2 a b − = − + = 1 1 3 a b = − = 2 3a b+ = −5 【巩固练习】 一、选择题 1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ） A．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个 2.（2016 春•绍兴期末）方程2x﹣ =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0 中，二 元一次方程的个数是（　　） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 3.（2015春•滑县期末）已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 4.若5x-6y=0，且xy≠0，则 的值等于（ ） A． B. C.1 D. -1 5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定 6.在早餐店里，王伯伯买 5 个馒头，3 个包子，老板少拿 2 元，只要 50 元．李太太买了 11 个馒头，5 个包子，老板以售价的九折优待，只要 90 元．若馒头每个 x 元，包子每个 y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( ) A． B． C． D． 二、填空题 7．已知方程 是二元一次方程，则 m＝________，n＝_________． 8．（2015•丹东模拟）若方程组 的解为 ，则点 P（a，b）在第　　象限． 9．在 ， ， 这四对数值中，是二元一次方程组 的解的是________ ． 10. 方程 2x+3y=10 中，当 3x-6=0 时，y=_________； 11. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________； 12.若二元一次方程组 的解中 ，则 等于____________. 三、解答题 2 3 3 2 5 3 50 2 11 5 90 0.9 x y x y + = +  + = × 5 3 50 2 11 5 90 0.9 x y x y + = +  + = ÷ 5 3 50 2 11 5 90 0.9 x y x y + = −  + = × 5 3 50 2 11 5 90 0.9 x y x y + = −  + = ÷ 3 2 412 52 m nx y+ −− = 1 3 ,7 2 x y  =  = 0 4 x y =  = 2 1 x y =  = 3 3 x y =  = 3 2 8 2 3 x y x y + =  − =6 13．（2016 春•大兴区期末）请你写出一个二元一次方程组，使它的解是 ． 14．甲、乙二人共同解方程组 由于看错了方程①中的 m 值，得到方程 组的解为 ；乙看错了方程②中的 n 的值，得到方程组的解为 ，试求代数式 的值． 15．某球迷协会组织 36 名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可 租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘 8 人，另一种是每辆车可乘 4 人．要求租用的车子不 留空座，也不超载． （1）请你给出三种不同的租车方案； （2）若 8 个座位的车子租金是 300 元/天，4 个座位的车子租金是 200 元/天，请你设计 费用最少的租车方案，并简述你的理由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 2. 【答案】D； 【解析】解：2x﹣ =0 是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y=0 是二元次方程； 2x+xy=1 不是二元一次方程； 3x+y﹣2x=0 是二元一次方程； x2﹣x+1=0 不是二元一次方程． 故选：D． 3.【答案】 【解析】把 x=2，y=﹣3 代入二元一次方程 5x+my+2=0，得 10﹣3m+2=0，解得 m=4． 4. 【答案】A； 【解析】将 5x＝6y 代入后面的代数式化简即得答案． 5. 【答案】B； 【解析】 可知： 异号或均为 0，所以不可能同时为正，只能同时为 0. 6. 【答案】B； 【解析】根据题意知，x，y 同时满足两个相等关系:①老板少拿 2 元，只要 50 元；②老 板以售价的九折优待，只要 90 元，故选 B． 二、填空题 7. 【答案】-2， ； 【解析】由二元一次方程的定义可得： ，所以 2 6 2 3 mx y x ny + = −  − = − ① ② 3 2 x y = −  = − 5 2 x y = −  = 2 2m n m n+ +  7 6x y= − ,x y 1 4 3 1 2 4 1 m n + =  − = 2 1 4 m n = − =7 8.【答案】四 【解析】：将 x=2，y=1 代入方程组得： ，解得：a=2，b=﹣3，则 P（2，﹣3） 在第四象限． 9. 【答案】 ； 【解析】把４组解分别代入方程组验证即可． 10．【答案】2； 【解析】将 代入 2x+3y=10 中可得 值． 11.【答案】 ； 12.【答案】－3∶4； 【解析】将 代入 中，得 ，即 ；将 代入 　 　　　　 ，得 ，即 ，即 . 三、解答题 13.【解析】 解：答案不唯一， 例如：∵ ，∴x+y=5, x-y=-1, ∴所求的二元一次方程组可以是 ． 14.【解析】 解：将 代入②中 ， ． 将 代入①中-5m+4＝-6，m＝2． ∴ ． 15.【解析】 解：（1）设 8 个座位的车租 x 辆，4 个座位的车租 y 辆． 则 8x+4y＝36，即 2x+y＝9．∵ x，y 必须都为非负整数， ∴ x 可取 0，1，2，3，4， ∴ y 的对应值分别为 9，7，5，3，1． 因此租车方案有 5 种，任取三种即可． （2）因为 8 个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租 8 个座位的车．所以符合要求的租车方案为 8 个座位的车租 4 辆． 4 个座位的车租 1 辆，此时租车费用为 4×300+1×200＝1400(元)． 2 1 x y =  = 2x = y 3 2 x y = −  = − 2 ( 3) 2 3n× − + = − 3 2n = 5 2 x y = −  = 2 2 9 374 34 4m n mn+ + = + + =8