导学案——二元一次方程组解法（代入法）

1 导学案——二元一次方程组解法（代入法） 【学习目标】 1. 理解消元的思想； 2. 会用代入法解二元一次方程组. 【要点梳理】 要点一、消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二 元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出 另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元 法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形 比较简便． 【典型例题】 类型一、用代入法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中 x 的系数较小，所以先把方程①中 x 用 y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便． 【答案与解析】 解：由①得 ③ 将③代入② ，解得 ． 将 代入③，得 x＝3 所以原方程组的解为 ． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元 一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三 2 3 7 3 3 8 x y x y + =  − = ① ② 7 3 2 yx −= 7 33 3 82 y y −× − = 1 3y = 1 3y = 3 1 3 x y = =2 “解”、四“代”、五“写”． 举一反三： 【变式】m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0， . 2.（2016 春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在 解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 解：把②代入①得，x+2×1=3，解得 x=1． 把 x=1 代入②得，y=0． 所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组： ． 【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． 【答案与解析】 解：由①得，2x﹣y=2③， 把③代入②得，1+2y=9， 解得：y=4， 把 y=4 代入③得，x=3， 则方程组的解为 【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计 算． 举一反三： 【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例 7（1）】 【变式 1】解方程组 【答案】 解： 2 3 2 0, 2 3 5 2y 9.7 x y x y − − = − + + = 2 3 2 2 3 5 2 97 x y x y y − = − + + = ① ②3 将①代入②： ， 得 y=4， 将 y=4 代入①：2x－12=2 得 x=7， ∴原方程组的解是 . 【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例 7（2）】 （2） 解：由②，设 x=4 ，y=3 代入①：4 －4·3 =5 4 －12 =5 －8 =5 ∴ ， ， ∴原方程组的解为 . 类型二、方程组解的应用 3.（2015 春•临清市期末）如果方程组 的解是方程 3x+my=8 的一个解，则 m= （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入已知方程即可求出 m 的值． 【答案】B． 【解析】 解： ， 由①得 y=3-x ③ 将③代入②得：6x=12， 解得：x=2， 将 x=2 代入②得：10﹣y=9， 解得：y=1， 将 x=2，y=1 代入 3x+my=8 中得：6+m=8， 解得：m=2． 【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的 未知数的值． 2 5 2 97 y + + = 7 4 x y =  = 4 5 : 4:3 x y x y − =  = ① ② k k k k k k k 5 8k = − 54 2x k= = − 153 8y k= = − 5 2 15 8 x y  = −  = −4 4.已知 和方程组 的解相同，求 的 值． 【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是 2x+5y＝-6 和 3x-5y＝16 的解．由于这两个 方程的系数都已知，故可联立在一起，求出 x、y 的值．再将 x、y 的值代入 ax-by＝-4，bx+ay ＝-8 中建立关于 a、b 的方程组即可求出 a、b 的值． 【答案与解析】 解：依题意联立方程组 ①+③得 5x＝10，解得 x＝2． 把 x＝2 代入①得：2×2+5y＝-6，解得 y＝-2，所以 ， 又联立方程组 ，则有 ， 解得 ． 所以(2a+b)2011＝-1． 【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解 相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三： 【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组 小明正确解得 小文因抄错了 c，解得 已知小文除抄错了 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c 的值． 【答案】 解：把 代入 cx﹣3y=﹣2，得 c+3=﹣2， 解得：c=﹣5， 把 与 分别代入 ax+by=2，得 ， 2 5 6 4 x y ax by + = −  − = − ① ② 3 5 16 8 x y bx ay − =  + = − ③ ④ 2011(2 )a b+ 2 5 6 3 5 16 ①x y x y + = −  − = ③ 2 2 x y =  = − 4 8 ax by bx ay − = −  + = − 2 2 4 2 2 8 a b a b + = − − + = − 1 3 a b =  = −5 解得： ， 则 a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2 ．6 【巩固练习】 一、选择题 1．解方程组 的最好方法是（ ）. A．由①得 再代入② B．由②得 再代入① C．由①得 再代入② D．由②得 再代入① 2. （2015•张店区一模）若二元一次方程式组 的解为 x=a，y=b，则 a+b 等于（　　） A． B． C． D． 3．关于 x，y 的方程 ，k 比 b 大 1，且当 时， ，则 k，b 的值分别 是（ ）. A． ， B．2，1 C．-2，1 D．-1，0 4．已知 和 都是方程 y＝ax+b 的解，则（ ）. A． B． C． D． 5．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程 3x-5y-30＝0 的一个解，那么 a 的 值是（ ）. A．3 B．2 C．7 D．6 6．一艘缉毒艇去距 90 海里的地方执行任务，去时顺水用了 3 小时，任务完成后按原路返回， 逆水用了 3.6 小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为 x 海里/时， 水流速度为 y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）. A． B． C． D． 二、填空题 7．已知 ，用含 的式子表示 ，其结果是_______． 3 4 7 9 10 25 0 m n m n − =  − + = ① ② 7 4 3 nm += 25 10 9 nm += 3 4 7m n= + 9 10 25m n= − y kx b= + 1 2x = 1 2y = − 1 3 2 3 − 2 4 x y = −  = 4 1 x y =  = 1 2 5 a b  =  = 1 2 3 a b  = −  = 1 2 1 a b  =  = − 1 2 1 a b  = −  = − 4 x y a x y a + =  − = 3 3 90 3.6 3.6 90 x y x y + =  + = 3 3.6 90 3.6 3 90 x y y x + =  + = 3( ) 90 3( ) 90 x y x y + =  − = 3 3 90 3.6 3.6 90 x y x y + =  − = 5 1,6 2x t y t= + = − y x7 8．（2015•丹东模拟）若方程组 的解为 ，则点 P（a，b）在第　　象限． 9．（2016•永州）方程组 的解是　 　． 10．若 与 是同类项，则 x＝ ________，y＝ ________． 11．已知方程组 的解也是方程 的解，则 a＝ _____，b＝ ____ ． 12.关于 的二元一次方程组 中， 与方程组的解中的 相等，则 的值为 . 三、解答题 13．用代入法解方程组： （1） （2） 14．研究下列方程组的解的个数： （1） ； （2） ； （3） . 你发现了什么规律？ 15．（2015•沧州一模）若方程组 的解是 ，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）． 16.（2016 春•万州区校级期中）甲、乙两位同学一起解方程组 ，甲正确地解 得 ，乙仅因抄错了题中的 c，解得 ，求原方程组中 a、b、c 的值． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 2.【答案】A． 【解析】把 x=a，y=b 代入方程组 得： ， 5 32 y xa b+ 2 2 44 x ya b −− 3 5 2 4 x y ax y − =  − = 4 7 1 3 5 x y x by − =  − = ,x y 1 3 5 3 x y m x y m + = −  − = + m x y或 m 0.5 0.2 1.2, 0.3 0.6 0.2 ; y x y x − =  − = − 3 2 5 2, 2(3 2 ) 11 7. x y x x y x + = +  + = + 2 1 2 4 3 x y x y − =  − = 2 1 2 3 x y x y − =  − = 2 1 2 4 2 x y x y − =  − =8 将 b= a 代入 5a-b=5,解得： ，∴a+b= . 3. 【答案】A； 【解析】将 时， 代入 得 ①，再由 k 比 b 大 1 得 ②，①②联立解得 ， . 4. 【答案】B； 【 解 析 】 将 和 分 别 代 入 方 程 y ＝ ax+b 得 二 元 一 次 方 程 组 ： ，解得 . 5. 【答案】B； 【解析】由方程组可得 ， 代入方程 ，即可求得 . 6. 【答案】D. 二、填空题 7. 【答案】 ； 8.【答案】四. 【解析】将 x=2，y=1 代入方程组得： ，解得：a=2，b=﹣3， 则 P（2，﹣3）在第四象限． 9.【答案】 ； 【解析】解：解方程组 ， 由①得：x=2﹣2y ③， 将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4， 解得：y=0， 将 y=0 代入①，得：x=2， 故方程组的解为 ， 故答案为： ． 10．【答案】2， -1； 【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案. 11.【答案】3， 1； 【解析】由题意得： ，解得 ，代入 ，得关于 a、b 的 1 5 1 2x = 1 2y = − y kx b= + 1 1 2 2 k b− = + 1k b− = 1 3k = 2 3b = − 2 4 x y = −  = 4 1 x y =  = 2 4 4 1 a b a b − + =  + = 1 , 32a b= − = 15 1x y= − + 3 5 4 7 1 x y x y − =  − = 2 1 x y =  = 2 4 3 5 ax y x by − =  − =9 方程组 ，解得 12. 【答案】 ； 【解析】解：解关于 的方程组得 ，当 时， ；当 时， . 三、解答题 13.【解析】 解：（1） 将②代入①得， ，得 ， 将 代入①得， ， 所以原方程组的解是 . （2） 把 3x+2y 看作整体，直接将①代入②得， ，解得 ， 将 代入①得， 所以原方程组的解是 ． 14.【解析】 解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解. 规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）； 当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）； 当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组 无解，如（1）. 15.【答案】 解：将 代入 得 ， 2 2 4 6 5 a b − =  − = 3 1 a b =  = 12 - 2 或 x，y 2 1 x y m =  = − − x m= 2m = y m= 1 2m = − 0.5 0.2 1.2, 0.3 0.6 0.2 ; y x y x − =  − = − ① ② 0.5 0.3 0.6 1.2y y+ − = 9 4y = 9 4y = 3 8x = − 3 8 9 4 x y  = −  = 3 2 5 2, 2(3 2 ) 11 7. x y x x y x + = +  + = + ① ② 2(5 2) 11 7x x+ = + 3x = − 3x = − 2y = − 3 2 x y = −  = −10 解得： ． ∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b）， ∴当 a= ，b= 时，原式=2b（a+b）=2× =6． 16.【解析】解：把 代入到原方程组中，得 可求得 c=﹣5， 乙仅因抄错了 c 而求得 ，但它仍是方程 ax+by=2 的解， 所以把 代入到 ax+by=2 中得 2a﹣6b=2，即 a﹣3b=1． 把 a﹣3b=1 与 a﹣b=2 组成一个二元一次方程组 ， 解得 ． 故 a= ，b= ，c=﹣5．