导学案——二元一次方程组解法

1 导学案——二元一次方程组解法 【学习目标】 1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法； 2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组； 3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解． 【要点梳理】 要点一、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相 减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减 法． 要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用 适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， 并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 要点二、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加 减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 【典型例题】 类型一、加减法解二元一次方程组 1. （2015 春•澧县期末）用加减消元法解方程组 【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】 解：此式可化为： 由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9 y=3 代入(1)：3x+12=18 3x=6 x=2 ∴ 【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如 ax+by=c 的形式再消元. 举一反三： 3 4 6 5 92 3 x y x y+ += = 3 4 9 (1)2 6 5 9 (2)3 x y x y + = + = 2 3 x y =  =2 【变式】方程组 的解为： . 【答案】 2. （2016 春•新乡期末）若关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ， 求关于 x、y 的方程组 的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同， 只是未知数的呈现方式不同，如果我们把 2x+y，x-y 看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y) 分别看成一个整体当作未知数，可得 解得： 【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加 减消元法． 举一反三： 【变式】三个同学对问题“若方程组 的解是 ， 求方程组 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够， 不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程 组的两个方程的两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这 个题目的解应该是： ． 【答案】 解：由方程组 的解是 ，得 ， 上式可写成 ，与 比较， 可得： ． 类型二、用适当方法解二元一次方程组 2010 2009 2008 2008 2007 2006 x y x y − =  − = 1 2 x y = −  = − 16 15 ax my bx ny − =  + = 7 1 x y =  = − (2 ) ( ) 16 (2 ) ( ) 15 a x y m x y b x y n x y + − − =  + + − = 2 7, 1. x y x y + =  − = − 2 3 x y =  = 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =  + = 3 4 x y =  = 1 1 1 2 2 2 3 2 5 3 2 5 a x b y c a x b y c + =  + = 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =  + = 3 4 x y =  = 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4 a b c a b c + =  + = 1 1 1 2 2 2 3 5 2 10 5 3 5 2 10 5 a b c a b c × + × =  × + × = 1 1 1 2 2 2 3 2 5 3 2 5 a x b y c a x b y c + =  + = 5 10 x y =  =3 3. 解方程组 【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】 解：设 ，则 原方程组可化为 解得 即 ，所以 解得 所以原方程组的解为 ． 【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的 求解方法. 举一反三： 【变式】 【答案】 解：去分母，整理化简得， ， ②×3－①×2 得， ，即 ， 将 代入①得， ，即 ， 所以原方程组的解为 . 4. 试求方程组 的解． 36 10 16 10 x y x y x y x y + − + = + − − = − ,6 10 x y x ym n + −= = 3 1 m n m n + =  − = − ① ② 1 2 m n =  = 16 210 x y x y + = − = 6 20 x y x y + =  − = 13 7 x y =  = − 13 7 x y =  = − 9 11 20 6 19 25 x y x y + =  + = ① ② 35 35y = 1y = 1y = 9 9x = 1x = 1 1 x y =  = 2 7 5 2 6 x y x y  − = − − − = −4 【答案与解析】 解： ①－②，整理得 ③ ∵ ，∴13－y≥0，即y≤13， 当 时，③可化为 ，解得 ； 当 时，③可化为 ，无解. 将 代入②，得 ，解得 . 综上可得，原方程组的解为： 或 . 【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论 求出解. 举一反三： 【变式】（2015 春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组 和 y=kx+9 有相同解， 求（k+1）2 的值． 【答案】 解：方程组 ， ①×3+②得：11x=22， 解得：x=2， 将 x=2 代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为 ， 将 代入 y=kx+9 得：k=﹣5， 则 当 k=﹣5 时 ， （ k+1 ） 2=16 ． 2 7 5 2 6 x y x y  − = − − − = − ① ② 5 13y y− = − 5 0y − ≥ 5 13y≤ ≤ 5 13y y− = − 9y = 5y ≤ 5 13y y− = − 9y = 2 3x − = 1 5x = − 或 1 9 x y = −  = 5 9 x y =  =5 【巩固练习】 一、选择题 1．如果 x:y＝3:2，并且 x+3y＝27，则 x 与 y 中较小的值是（ ）. A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2016•闸北区二模）方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 3．已知方程组 中，x、y 的值相等，则 m 等于（ ）. A．1 或-1 B．1 C．5 D．-5 4.如果 的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）.        A．a − 42 3a− < < 4 3a < − 3 3 1 x y x y + ⊗ =  − ⊗ = 1 x y = ⊕  = ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ 3 2 2 2 5a b a bx y− − +− = 3 2 2 2 34 1m n m nx y− + + −+ = 2ax by+6 13．解下列方程组： （1） （2） 14.（2015 春•建昌县期末）解关于 x、y 的二元一次方程组 时，小虎同学把 c 看 错而得到 ，而正确的解是 ，试求 a+b+c 的值． 15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组 时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采 用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得 2x+2y＝2，所以 x+y＝1．③ ③×16，得 16x+16y＝16 ④， ②－④，得 x＝-1，从而 y＝2．所以原方程组的解是 ． 请你用上述方法解方程组 ， 并猜测关于 x、y 的方程组 的解是什么？并加以验 证． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】 ，解得 ，所以较小的数为 6. 2. 【答案】B． 3. 【答案】B； 【 解 析 】 解 方 程 组 得 解 为 ， 因 为 x 、 y 的 值 相 等 ， 所 以 2( ) 13 4 6( ) 4(2 ) 16 x y x y x y x y − + = −  + = − + 1 33 6 2 32 18 y x y yx x + − =     − = +        19 18 17 17 16 15 x y x y + =  + = ① ② 1 2 x y = −  = 2008 2007 2006 2006 2005 2004 x y x y + =  + = ( 2) ( 1) ( )( 2) ( 1) a x a y a a bb x b y b + + + = ≠ + + + = x:y=3:2 x+3y=27    9 6 x y =  = 32 5 37 40 3 37 mx my + = − =7 ，解得 . 4. 【答案】C； 5. 【答案】B； 【解析】将 代入 得 ，解之得 . 6. 【答案】A； 【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例. 二、填空题 7. 【答案】1， 0； 【解析】 由二元一次方程的定义得 ，解得 . 8. 【答案】7，4； 【解析】设等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，所以 ，解得 . 9. 【答案】1， 2， ； 10．【答案】7； 11.【答案】10； 【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得： ，解得： ， 则 2※3=4+6=10． 12.【答案】8． 【解析】解方程组 ， ①﹣②得：x=﹣2， 把 x=﹣2 代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5 则方程组的解是： ， 代入 x+2y=k 得：﹣2+10=k，则 k=8. 三、解答题 13.【解析】 解：（1）将“ ”看作整体: 由①得 ， ③ 32 5 40 3 37 37 m m+ −= 1m = 1 x y = ⊕  = 3 3 1 x y x y + ⊗ =  − ⊗ = 3 3 1 ⊕ + ⊗ =  ⊕ −⊗ = 1 2 ⊕ = ⊗ = 3 2 2 1 1 a b a b − − =  + = 1 0 a b =  = x 3x + 2( 3) 18x x+ + = 4x = 1 0 x y =  = 2 5 4 6 a b a b + =  + = 1 2 a b =  = x y+ 2( ) 13 4 6( ) 4(2 ) 16 x y x y x y x y − + = −  + = − + ① ② 3( ) 8( ) 12x y x y+ = − +8 将③代入②得 ，即 ， ④ 将④代入③，化简得 ，即 ， 将 代入④得 ， 所以原方程组的解为 . （2） 由①得 ， ③ 将③代入②，整理得 ，解得 ， 将 代入③得 ， 所以原方程组的解为 . 14.【解析】 解：∵方程组的正确解为 ， ∴把 代入方程 cx﹣7y=8，可得 3c+14=8，解得 c=﹣2； 把小虎求得的解和正确解分别代入方程 ax+by=2，可得 ， 解得 ， ∴a+b+c=10+11﹣2=19． 15.【解析】 解： ，①－②，得 2x+2y＝2，即 x+y＝1 ③． ③×2005，得 2005x+2005y＝2005 ④． ②－④，得 x＝-1，把 x＝-1 代入③得 y＝2． 所以原方程组的解是 ，可以猜测关于 x，y 的方程组 8( ) 12 2(2 ) 8x y x y− + = − + 3 12x y= − 1511 5 122y y= − + 2y = 2y = 2x = 2 2 x y =  = 1 33 6 2 32 18 y x y yx x + − =     − = +        ① ② 2 19x y= − 72 19 6y y− = − 6y = 6y = 7x = − 7 6 x y = −  = 2008 2007 2006 2006 2005 2004 x y x y + =  + = ① ② 1 2 x y = −  = ( 2) ( 1) ( )( 2) ( 1) a x a y a a bb x b y b + + + = ≠ + + + =9 的解是 ． 验证如下：将 x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a 中满足方程左、右两边的值相等， 将 x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b 中满足方程左、右两边的值相等， 所以 是方程组 的解． 1 2 x y = −  = 1 2 x y = −  = ( 2) ( 1) ( )( 2) ( 1) a x a y a a bb x b y b + + + = ≠ + + + =