导学案——应用二元一次方程组

1 导学案——应用二元一次方程组 【学习目标】 1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解 方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型； 2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题. 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.增收节支问题： （1）增长（递减）率公式： 原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量； （2）利润公式： 利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 ；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率× . 要点诠释： 　 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充 分突出解题过程． 3.行程问题： 　速度×时间=路程. 　顺水速度=静水速度+水流速度. 　逆水速度=静水速度-水流速度. 4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例 如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和 未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程， 所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数 要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释：2 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、鸡兔同笼问题 1. （2016•济宁一模）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他 们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1 名熟练 工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动 汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘 n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完 成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【思路点拨】（1）设每名熟练工每月可以安装 x 辆电动车，新工人每月分别安装 y 辆电动汽 车，根据安装 8 辆电动汽车和安装 14 辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工 m 人，根据一年的安装任务列出方程整理用 m 表示出 n，然后根据人数 m 是整数讨论求解即可． 【答案与解析】 解：（1）设每名熟练工每月可以安装 x 辆电动车，新工人每月分别安装 y 辆电动汽车， 根据题意得 ， 解得 ． 答：每名熟练工每月可以安装 4 辆电动车，新工人每月分别安装 2 辆电动汽车； （2）设调熟练工 m 人， 由题意得，12（4m+2n）=240， 整理得，n=10﹣2m， ∵0＜n＜10， ∴当 m=1，2，3，4 时，n=8，6，4，2， 即：①调熟练工 1 人，新工人 8 人；②调熟练工 2 人，新工人 6 人；③调熟练工 3 人，新 工人 4 人；④调熟练工 4 人，新工人 2 人． 【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系 列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在 于考虑人数是整数． 举一反三： 【变式】《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两），雀重燕轻．互 换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？” 【答案】 解：设每只雀、燕的重量各为 两， 两，由题意得：x y 5 6 16 4 5 x y x y y x + =  + = + 12000 14000 x y =∴ =3 解方程组得： 答：每只雀、燕的重量各为 两和 两. 类型二、增收节支问题 2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排 他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排 劳动时恰需筐 68 个，扁担 40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【答案与解析】 解：设女生 人，男生 人，由题意得： 解得： 答：这个班的男生有 32 人，女生有 21 人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等 量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐 68 个和 40 根扁担，从而列出方程组，解出即 可． 举一反三： 【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在 2009 年正式开始．某经销商在政 策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共 960 台，政策出台后的第一个月售出 这两种型号的汽车共 1228 台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月 增长 30％和 25%． (1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? (2)若手动型汽车每台价格为 8 万元，自动型汽车每台价格为 9 万元．根据汽车补贴政策， 政府按每台汽车价格的 5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这 1228 台汽车用户共补贴了多少万元？ 【答案】 解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为 x 辆，自动型汽车为 y 辆， 由题意可得： 解之得： ． 32 19 24 19 x y  =  = 32 19 24 19 x y 3 4 402 3 2( 4) 682 x y x y + + − = + + − = 21 32 x y =  = 960 (1 30%) (1 25%) 1228 x y x y + =  + + + = 560 400 x y =  =4 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为 560 辆，自动型汽车为 400 辆． (2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元) 答：政策出台后的第一个月，政府对这 1228 台汽车用户共补贴了 516.2 万元． 3.（2015•黄冈）已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件服装的成本各是多 少元？ 【思路点拨】设 A 服装成本为 x 元，B 服装成本 y 元，由题意得等量关系： ①成本共 500 元；②共获利 130 元，根据等量关系列出方程组，再解即 可． 【答案与解析】 解：设 A 服装成本为 x 元，B 服装成本 y 元，由题意得： ， 解得： ， 答：A 服装成本为 300 元，B 服装成本 200 元． 【总结升华】主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量 关系，列出方程组． 类型三、里程碑上的数（数字问题） 4.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上 的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为 9，刚好过一个小时，他发现路边里程 碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过 3 小时，他发现里程碑上 的数字比第一次看到的两位数中间多个 0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？ 【思路点拨】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即第一次注意到路边里程碑上的数 的十位数字+个位数字=9；由于是匀速行驶，可以根据 3 小时所行使的路程相等来列第二个 等量关系． 【答案与解析】 解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意， 得 解得 ， 即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为 27，1 小时后小明看到的程碑上的数字为 72， 72﹣27=45（千米/小时）， 答：小明爸爸骑摩托车的速度是 45 千米/小时． 举一反三： 【变式】一个三位数是一个两位数的 5 倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个 五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面 的五位数大 18648，问：两位数、三位数各是多少？ [ ] 9 (100 ) (10 ) 3 (10 ) (10 ) x y x y y x y x x y + = + − + = + − + 2 7 x y =  =5 【答案】 解：设两位数是 x，三位数是 y,根据题意得: ， 解得: ． 答：两位数、三位数各是 37、185． 类型四、行程问题 5. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就 会迟到 24 分钟，如果他以每小时 70 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达乙地，求甲乙 两地间的距离. 【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+ ）＝两地距离， 75×（规定时间－ ）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离． 【答案与解析】 解：设规定的时间为 x 小时，甲乙两地间的距离为 y 千米. 则由题意可得： 解得： 答：甲乙两地间的距离为 140 千米. 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追 及、相向、同向等关键词． 举一反三： 【变式】（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 0～1.5 千米，超过 1.5 千米的部分按每千米另收费． 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 4.5 千米，付车费 10.5 元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 6.5 千米，付车费 14.5 元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过 1.5 千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费多少元？ 【答案】解：（1）设出租车的起步价是 x 元，超过 1.5 千米后每千米收费 y 元． 依题意得， ， 24 60 24 60 2450 60 2470 60 x y x y   + =      − =    12 5 140 x y  =  =6 解得 ． 答：出租车的起步价是 元，超过 1.5 千米后每千米收费 2 元； （2） +（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）． 答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费 12.5 元． 7 【巩固练习】 一、选择题 1．（2016•来宾）一种饮料有两种包装，5 大盒、4 小盒共装 148 瓶，2 大盒、5 小盒共装 100 瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装 x 瓶，小盒装 y 瓶，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．（2015•宜州市）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有 笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购 买时以一束（4 个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价 格为（　　）. A．19 B．18 C．16 D．15 3．某中心学校现有学生 515 人，计划一年后女生在校人数增加 ，男生在校人数增加 ，这样在校学生人数将增加 ，那么该校现有女生和男生人数分别是( ). A．245 和 270 B．260 和 255 C．25.9 和 256 D．240 和 275 4．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐 59 个， 扁担 36 根，若设抬土的学生 x 人，挑土的学生 y 人，则有 ( ). A． B． C． D． 5.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的 201 倍；若把乙 数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小 1188，求这两个数.如果甲数为 x，乙 数为 y，则得方程组是（ ） A. B. C. D. 1 35 1 90 2 103 2 592 362 yx x y   + =     + = 2 592 362 x y x y  + =  + = 2 592 2 36 x y x y  + =  + = 2 59 2 36 x y x y + =  + =    =+ ++=+ x201xy100 1188yx100yx100    ++=+ =+ 1188yx100xy100 x201yx100    =+ −+=+ y201xy100 1188yx100yx100    −+=+ =+ 1188yx100xy100 y201yx1008 6. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时 后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上数颠倒顺序的两位数，再过一小时，他 看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一 次看到的两位数是（　　） 　A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 二、填空题 7.（2016•盐城）李师傅加工 1 个甲种零件和 1 个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李 师傅加工 3 个甲种零件和 5 个乙种零件共需 55 分钟；加工 4 个甲种零件和 9 个乙种零件共 需 85 分钟，则李师傅加工 2 个甲种零件和 4 个乙种零件共需　 　分钟． 8．小张以两种形式储蓄了 500 元，第一种储蓄的年利率为 3.7%，第二种储蓄的年利率为 2.25%，一年后得到利息和为 15.6 元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元． 9．（2015•江西模拟）如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为 12.34，23.45 的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于　 　． 10．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10 米，那么甲跑 5 秒钟就能追上乙；如果甲让 乙先跑 2 秒钟，那么甲跑 4 秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 米/秒和 米/秒. 11．一个两位数的两个数位上的数字之和为 7，若将这两个数字都加上 2，则得到的数是原 数的 2 倍少 3，则这个两位数是 . 12. 已知甲、乙两人从相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1.8 小时后相遇.如果甲比 乙先走 小时，那么在乙出发后 小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时 x 千米和 y 千米，则 x=________，y=________. 三、解答题 13.（2015•徐州）某超市为促销，决定对 A，B 两种商品进行打折出售．打折前，买 6 件 A 商品和 3 件 B 商品需要 54 元，买 3 件 A 商品和 4 件 B 商品需要 32 元；打折后，买 50 件 A 商品和 40 件 B 商品仅需 364 元，这比打折前少花多少钱？ 14.某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，进出大楼共有 4 道门，其中 2 道正门大小相同，2 道侧门大小也相同，安全检查中，对 4 道门进行了测试：当同时开启 1 道正门和 2 道侧门时，2 分钟内可通过 560 名学生；当同时开启 1 道正门和 1 道侧门时，4 分钟内可通过 800 名学生，求平均每分钟 1 道正门和 1 道侧门各可通过多少名学生？ 3 2 2 39 15. 一个三位数是一个两位数的 5 倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位 数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五 位数大 18648，问：两位数、三位数各是多少？ 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A； 2. 【答案】C； 【解析】设一个笑脸气球为 x 元，一个爱心气球为 y 元，根据图形找出等量关系：3 个 笑脸+一个爱心=14 元，3 个爱心+1 个笑脸=18 元，据此列方程组求出 x 和 y 的值，继而可求 得第三束气球的价格． 3. 【答案】A； 4. 【答案】B； 【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需 要一根扁担和两个箩筐． 5.【答案】D； 【解析】把甲数放在乙数的左边，得到的四位数是 100x+y； 把乙数放在甲数的左边，得 到的四位数是 100y+x.根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的 201 倍可得方程 100x+y=201y； 根据把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小 1188，可得 方程 100y+x=100x+y-1188. 6. 【答案】C； 【解析】解：设第一次他看到的两位数的个位数为 x，十位数为 y，汽车行驶速度为 v， 根据题意得： ，解得：x=6y，∵xy 为 1﹣9 内的自然数， ∴x=6，y=1；即两位数为 16． 另法：设个位为 x，十位为 y，根据题意得：（10y+x）﹣（10x+y）=（100x+y）﹣ （10y+x），x+y=7，解得：x=1，y=6，即两位数为 16． 二、填空题 7. 【答案】40； 【解析】解：设李师傅加工 1 个甲种零件需要 x 分钟，加工 1 个乙种零件需要 y 分钟， 依题意得： ， 由①+②，得 7x+14y=140， 所以 x+2y=20， 则 2x+4y=40， 所以李师傅加工 2 个甲种零件和 4 个乙种零件共需 40 分钟． 8. 【答案】300，200； 【解析】可以设第一种储蓄的钱数为 x 元，第二种为 y 元，根据本金×利率=利息及两种10 储蓄共 500 元，可以列出两个方程，求方程组的解即可． 9.【答案】23.86； 【解析】由图形可看出：小矩形的 2 个长+一个宽=12.34，小矩形的 2 个宽+一个长 =23.45，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 10．【答案】6， 4； 【解析】设甲每秒跑 x 米，乙每秒跑 y 米，则 解此方程组即可. 11.【答案】25 12.【答案】4.5；5.5 【解析】本题属于相遇问题，等量关系：一、甲 1.8 小时行驶的路程+乙 1.8 小 时行驶 的路程＝18 千米；二、甲（ + ）小时行驶的路程+乙 小时行驶的路程＝18 千米，可列 方程组为 ，解此方程组即可． 三、解答题 13.【解析】 解：设打折前 A 商品的单价为 x 元，B 商品的单价为 y 元， 根据题意得： ， 解得： ， 则打折前需要 50×8+40×2=480（元）， 打折后比打折前少花 480﹣364=116（元）． 答：打折后比打折前少花 116 元． 14.【解析】 解：设平均每分钟 1 道正门可通过 x 名学生，1 道侧门可通过 y 名学生． 由题意，得 ， 解得 ． 答：平均每分钟 1 道正门可通过 120 名学生，l 道侧门可通过 80 名学生． 15.【解析】 解：设两位数是 x，三位数是 y． 根据题意，得 5 5 10 4 4 2 x y x y y − =  − = 3 2 2 3 2 3    =++ =+ 182 3)2 3 3 2( 188.18.1 yx yx 2( 2 ) 560 4( ) 800 x y x y + =  + = 120 80 x y =  = 5 1000 (100 ) 1864 y x x y y x =  + − + =11 解得： 答：两位数、三位数各是 37、185． 37 185 x y =  =