导学案——二元一次方程（组）与一次函数

1 导学案——二元一次方程（组）与一次函数 【学习目标】 1.理解二元一次方程与一次函数的关系； 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； 3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【要点梳理】 【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】 要点一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程 都 可 以 变 形 为 即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一 次函数. 2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程 我们列举出它的几组 整数解有 ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0）， （2，3）恰好在一次函数 y＝ 的图像上，反过来，在一次函数 的图像上任 取一点，它的坐标也适合方程 . 要点诠释： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 要点二、二元一次方程组与一次函数 1. 二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数 与 图象的交点为(2，3)，则 就是二元一次方程组 的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一 次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个 一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组 无解， ( 0, )ax by c a b c+ = ≠、 为常数 - ( 0, )a cy x a b cb b = + ≠、 为常数 5x y+ = 0, 5; x y =  = 5, 0; x y =  = 2, 3 x y =  = 5+− x xy −= 5 5x y+ = 5y x= − 2 1y x= − 2 3 x y =  = 5 2 1 x y x y + =  − =2 则一次函数 与 的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 反之也成立. 2. 图像法解二元一次方程组 求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程 组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三 种. 要点诠释： 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法 和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数 表达式联立的二元一次方程组的解. 要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而 得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 【典型例题】 类型一、二元一次方程与一次函数 1、已知关系 x，y 的二元一次方程 3ax+2by=0 和 5ax﹣3by=19 化成的两个一次函数的 图象的交点坐标为（1，﹣1），则 a=　_________　，b=　_________　． 【答案】2；3； 【解析】解：两个一次函数的图象的交点坐标为（1，﹣1） 则 x=1，y=﹣1 同时满足两个方程，代入得：3a﹣2b=0，5a+3b=19； 联立两式则有： ， 解得： ； 所以 a=2，b=3． 【总结升华】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数” 的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的 角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标． 类型二、二元一次方程组与一次函数 2、用图象法解方程组： 【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解. 【答案与解析】 解法一：将方程组化为 2 0 2 1 x y y x − − =  = − ， ． 2 2 1 y x y x = −  = − ， ； 3 5y x= − 3 1y x= + 1 2 3 4-1-2-3-4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x y y=x-2 y=2x-13 在坐标系中画出直线 和 ． 列表： … 0 2 … … 0 … … 0 0.5 … … 0 … 由图象知，它们的交点坐标为（ ， ），并进行验证； 可得原方程组的解为 解法二：令 ，即 ． 因为直线 与 轴（直线 ＝0）的交点为（ ，0）， 所以方程组 中 ，进而 ． 【总结升华】一般地，若两条直线 和 的交点坐标为（ ， ），则 方程组 的解为 其中 ． 举一反三： 【变式】（2015•杭州模拟）已知 P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐 标是一次方程组 （a 为任意实数）的解，则当 a 变化时，点 P 一定不会经 过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】解：解方程组得： ， ∵当 x=3a+2＜0 时，解得：a＜﹣ ， ∴此时 y=﹣2a+4＞0， ∴当 x＜0 时 y＞0， ∴点 P 一定不会经过第三象限， 故选 C． 【高清课堂：391660 一次函数与一元一次方程（组），例 5】 2y x= − 2 1y x= − x 2y x= − 2− x 2 1y x= − 1− 1− 3− 1 3 x y = −  = − ， ． 2 1 ( 2)y x x= − − − 1y x= + 1y x= + 1− 2 0 2 1 x y y x − − =  = − ， ． 1x = − 3y = − 1 1y k x b= + 2 2y k x b= + 1 1 2 2 y k x b y k x b = +  = + ， ； x m y n =  = ， ； 1 2 0k k⋅ ≠ x y m n4 3、（2016 春•临清市期末）直线 l1：y=x+1 与直线 l2：y=mx+n 的交点 P 的横坐标为 1， 则下列说法错误的是（　　） A．点 P 的坐标为（1，2） B．关于 x、y 的方程组 的解为 C．直线 l1 中，y 随 x 的增大而减小 D．直线 y=nx+m 也经过点 P 【思路点拨】把 x=1 代入 y=x+1，得出 y 的值，再判断即可． 【答案与解析】 解：把 x=1 代入 y=x+1，y=2， 所以 A、点 P 的坐标为（1，2），正确； B、关于 x、y 的方程组 的解为 ，正确； C、直线 l1 中，y 随 x 的增大而增大，错误； D、直线 y=nx+m 也经过点 P，正确； 故选 C. 【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标． 类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式 4、（2015•荆门）在一次 800 米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程 s（米）与各自 所用时间 t（秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD，则下列说法正确的是（　　） A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第 180 秒时，两人相遇 D．在起跑后第 50 秒时，乙在甲的前面 【思路点拨】 A、由于线段 OA 表示甲所跑的路程 S（米）与所用时间 t（秒）之间的函数图象，由此可以 确定甲的速度是没有变化的； B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快； C、根据图象可以知道起跑后 180 秒时，两人的路程确定是否相遇； D、根据图象知道起跑后 50 秒时 OB 在 OA 的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面． 【答案与解析】5 解：A、∵线段 OA 表示甲所跑的路程 S（米）与所用时间 t（秒）之间的函数图象，∴甲的 速度是没有变化的，故选项错误； B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误； C、∵起跑后 180 秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误； D、∵起跑后 50 秒时 OB 在 OA 的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确． 故选 D． 【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的 一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视． 举一反三： 【变式】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 y（m）与挖掘时间 x （h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）描述乙队在 0～6（h）内所挖河渠的长度变化情况； （2）请你求出：乙队在 2≤x≤6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； （3）当 x 为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度 y 的值在 30 和 50 之间变化？ 【答案】 解：（1）如图，乙队从挖河渠开始至 2 时，长度由 0 米增加到 30 米，从第 2 时至 6 时，长 度由 30 米增加到 60 米． （2）设乙队在 2≤x≤6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴ ，解得 ， ∴y=5x+20；（7 分） （3）设甲队在 0≤x≤6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx， 由图可知，函数图象过点（6，60）， ∴6k=60，解得 k=10， ∴y=10x． 当 y=30 时，x=3； 当 y=50 时，x=5． ∴ 当 3≤x≤5 时 ， 甲 队 所 挖 河 渠 的 长 度 y 的 值 在 30 和 50 之 间 变 化 ．6 【巩固练习】 一.选择题 1.（2015 春•泰山区期末）下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 2x﹣y=2 的解的是（　　） A． B． C． D． 2. 以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A.有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 3.（2016 春•乳山市期末）如图，直线 l1：y=x﹣4 与直线 l2：y=﹣ x+3 相交于点（3， ﹣1），则方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 4. 一次函数 和 的图象都经过点 A（－2，0），且与 轴分别交于 B、C 两点，那么△ABC 的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5. 在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设 为整数，当直线 与 的交点为整数时， 的值可以取（　　） A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 6.体育课上，20 人一组进行足球比赛，每人射点球 5 次，已知某一组的进球总数为 49 个， 进球情况记录如下表，其中进 2 个球的有 x 人，进 3 个球的有 y 人，若（x，y）恰好是两 条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　） 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 5 x y 3 2 A. B. C. D. 二.填空题 7．（2016•莘县二模）如图，一次函数 y=kx1+b1 的图象 l1 与 y=kx2+b2 的图象 l2 相交于点 P， 则方程组 的解是　 　． 3y x p= + y x q= + y k 3y x= − y kx k= + k 2 229 3 3y x y x= + = +与 2 229 3 3y x y x= − + = +与 2 229 3 3y x y x= − + = − +与 2 229 3 3y x y x= + = − +与7 8．（2015 春•成武）直线 y=kx+3 与 y=﹣x+3 的图象如图所示，则方程组 的解 为　　 ． 网 9．在同一坐标系中，对于函数① ，② ，③ ，④ 的图象，通过点（－1，0）的是________，相互平行的是_______，交点在 轴上的是 _____．（填写序号） 10. 一次函数 的图象上一部分点的坐标见下表： … －1 0 1 2 3 … … －7 －4 －1 2 5 … 正比例函数的关系式为 ，则方程组 的解为 ＝________. 11.若 、 为全体实数，那么任意给定 、 ，两个一次函数 和 （ ≠ ）的图象的交点组成的图象方程是_________. 12.某二元一次方程的解是 （m 为常数）．若把 x 看做平面直角坐标系中一个点 P 的横坐标，y 看做点 P 的纵坐标，下列 4 种说法： ①点 P（x，y）一定不在第三象限； ②点 P（x，y）可能是坐标原点； ③点 P（x，y）的纵坐标 y 随横坐标 x 增大而增大； y kx b y x = +  = 1y x= − − 1y x= + 1y x= − + ( )2 1y x= − + y y kx b= + x y y x= x m n m n 1y mx n= + 2y nx m= + m n8 ④点 P（x，y）的纵坐标 y 随横坐标 x 增大而减小． 其中正确的是　　．（写出序号） 三.解答题 13.如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 P（1， ）． （1）求 的值； （2）不解关于 ， 的方程组， ，请你直接写出它的解； （3）直线 ： 是否也经过点 P？请说明理由． 14. 在直角坐标系中直接画出函数 y=|x|的图象；若一次函数 y=kx+b 的图象分别过点 A （﹣1，1），B（2，2），请你依据这两个函数的图象写出方程组 的解． 15.（2015•义乌市）小敏上午 8：00 从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返 回家中．小敏离家的路程 y（米）和所经过的时间 x（分）之间的函数图象如图所示．请根 据图象回答下列问题： （1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？ （2）小敏几点几分返回到家？ 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】∵2x﹣y=2，∴y=2x﹣2，∴当 x=0，y=﹣2；当 y=0，x=1， 1y x y mx n = +  = + 1l 1y x= + 2l y mx n= + b b x y 3l y nx m= +9 ∴一次函数 y=2x﹣2，与 y 轴交于点（0，﹣2），与 x 轴交于点（1，0）， 即可得出选项 C 符合要求，故选：C． 2. 【答案】D； 【解析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或无数个解，或无解， 因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线 有一个交点或有无数个交点或没有交点． 3. 【答案】A； 【解析】解：因为直线 l1：y=x﹣4 与直线 l2：y=﹣ x+3 相交于点（3，﹣1），则方程组 的解是 ，故选 A. 4. 【答案】B； 【解析】由题意解得 ＝6， ＝2，则函数的解析式是 ， ，这两个 函数与 轴的交点是 B（0，6），C（0，2）．因而 CB＝4，因而△ABC 的面积是 ×2×4＝4． 5. 【答案】C； 【解析】解方程组得 ， ，∵交点为整数，∴ 可取的整数解 有 0，2，3，5，－1，－3 共 6 个． 6.【答案】C； 【解析】根据进球总数为 49 个得：2x+3y=49﹣5﹣3×4﹣2×5=22，整理得：y=﹣ x+ ， ∵20 人一组进行足球比赛，∴1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=﹣x+9． 二.填空题 7. 【答案】 ； 【解析】解：由图可知，方程组 的解是 ． 8. 【答案】 ． 【解析】二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直 线的交点坐. 9. 【答案】①②④； ①③； ②③； 10.【答案】2； 【解析】横纵坐标相等的只有（2，2），这个点为方程组的解，所以 ＝2. 1 2 3 1 4 1 kx k ky k + = −  = − 41 1 44 1 x k y k  = − + −  = − + − p q 3 6y x= + 2y x= + y k x10 11.【答案】 ； 【解析】当两个一次函数 和 （ ≠ ）的图象的有交点时， ， ，∵ ≠ ，∴ ＝1. 12.【答案】①④； 【解析】由 x=m，得 m=x，将 m=x 代入 y=﹣2m+1，得 y=﹣2x+1．y=﹣2x+1 是一次函数， 且经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确；一次函数y=﹣2x+1 不 经过原点，故②错误；由 k=﹣2＜0，可知 y 随 x 的增大而减小，故③错误，④ 正确． 三.解答题 13.【解析】 解：（1）将 P（1， ）代入 ，得 ＝1＋1＝2； （2）由于 P 点坐标为（1，2），所以 ． （3）将 P（1，2）代入解析式 得， ； 将 ＝1 代入 得 ， 由于 ，所以 ＝2， 故 P（1，2）也在 上． 14.【解析】 解：如图；由图象可知，两个函数的交点坐标为（2，2）和（﹣1，1）； ∴方程组 的解为 或 ． 15.【解析】 解：（1）小敏去超市途中的速度是：3000÷10=300（米/分）， 在超市逗留了的时间为：40﹣10=30（分）． （2）设返回家时，y 与 x 的函数解析式为 y=kx+b， 把（40，3000），（45，2000）代入得： 1 2 x y =  = 1x = 1y mx n= + 2y nx m= + m n mx n nx m+ = + ( )m n x m n− = − m n x b 1y x= + b y mx n= + 2m n+ = x y nx m= + y m n= + 2m n+ = y y nx m= +11 ， 解得： ， ∴函数解析式为 y=﹣200x+11000， 当 y=0 时，x=55， ∴返回到家的时间为：8：55．