导学案——三元一次方程组

1 导学案——三元一次方程组 【学习目标】 1．理解三元一次方程(或组)的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题. 【要点梳理】 要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义: 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程．如 x+y-z＝1， 2a-3b+4c＝5 等都是三元一次方程． 要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数 是 1 次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零． 2．三元一次方程组的定义： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即 可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立 三元一次方程组求解． 要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中 的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元 一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二 元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想 方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解 法． 要点三、三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；2 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果 是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】 类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）． A． B． C． D． 【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对 A、B、C、D 四个选项进行一一验证． 【答案】B 【解析】 解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 次，并且一 共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故 A 选项错误； B、x2-4=0，未知量 x 的次数为 2 次，∴不是三元一次方程，故 B 选项正确； C、满足三元一次方程组的定义，故 C 选项错误； D、满足三元一次方程组的定义，故 D 选项错误； 故选 B． 【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后 再根据三元一次方程组的定义进行判断． 类型二、三元一次方程组的解法 2. （2015 春•苏州校级期末）若 x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求 的值． 【思路点拨】根据 x：y：z=2：7：5，设 x=2k，y=7k，z=5k，代入 x﹣2y+3z=6 得出方程， 求出方程的解，即可求出 x、y、z 的值，最后代入求出即可． 【答案与解析】 解：∵x：y：z=2：7：5， ∴设 x=2k，y=7k，z=5k， 代入 x﹣2y+3z=6 得：2k﹣14k+15k=6， 解得：k=2， ∴x=4，y=14，z=10， ∴ = =0.18． 【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元． 举一反三： 1 2 2 3 6 x y y z y + =  + = −  = 2 4 0 1 3 x y x xy z  − =  + =  − = − 2 2 3 1 x y x z =  = −  − = 1 3 2 1 y x x z y z − = −  + =  − =3 【变式】解方程组 【答案】 解：由①，得 3x＝2y，即 ， ④ 由②，得 5y＝4z，即 ，⑤ 把④、⑤代入③，得 ． 解得 y＝12．⑥ 把⑥代入④，得 x＝8，把⑥代入⑤，得 z＝15． 所以原方程组的解为 【高清课堂：三元一次方程组 409145 例 3】 3.已知方程组 的解使得代数式 x-2y+3z 的值等于-10，求 a 的值． 【思路点拨】由题意可知，此方程组中的 a 是已知数，x、y、z 是未知数，先解方程组，求 出 x，y，z(含有 a 的代数式)，然后把求得的 x、y、z 代入等式 x-2y+3z＝-10，可得关于 a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得 a 的值． 【答案与解析】 解法一： ②-①，得 z-x＝2a ④ ③+④，得 2z＝6a，z＝3a 把 z＝3a 分别代入②和③，得 y＝2a，x＝a． ∴ ． 把 x＝a，y＝2a，z＝3a 代入 x-2y+3z＝10 得 a-2×2a+3×3a＝-10． 解得 ． 解法二：①+②+③，得 2(x+y+z)＝12a． 即 x+y+z=6a ④ ④-①，得 z＝3a，④-②，得 x＝a，④-③，得 y＝2a． : 2 :3, : 4 :5, 2 3 29 x y y z x y z =  =  − + = ① ② ③ 2 3x y= 5 4z y= 2 152 293 4y y y− + = 8, 12, 15. x y z =  =  = 3 5 4 x y a y z a z x a + =  + =  + = ① ② ③ 2 3 x a y a z a =  =  = 5 3a = −4 ∴ ， 把 x＝a，y＝2a，z＝3a 代入 x-2y+3z＝10 得 a-2×2a+3×3a＝-10． 解得 ． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法 2 中的技巧 解这类方程组． 【高清课堂：三元一次方程组 409145 例 4】 举一反三： 【变式】若 ，则 x：y：z＝ . 【答案】 类型三、三元一次方程组的应用 4. (凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地 公顷可供 12 头牛吃 4 周；乙地 10 公顷可供 21 头牛吃 9 周，求丙地 24 公顷可供几头牛吃 18 周? 【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的 速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示， 设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组． 【答案与解析】 解：设每公顷草地原有牧草 akg，每周每公顷草地生长草 bkg，每头牛每周吃草 ckg，丙地 24 公顷地可供 x 头牛吃 18 周． 根据题意得 由①②得 代入③，得 x＝36． 答：丙地 24 公顷可供 36 头牛吃 18 周． 【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的 方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的重要一环． 举一反三： 2 3 x a y a z a =  =  = 5 3a = − 3 0 3 3 4 0 x y z x y z − + =  − − = ① ② 15:7:6 133 10 104 4 123 3 10 9 10 9 21 24 18 24 18 a b c a b c a b xc  + × = ×   + × = ×   + × = × ① ② ③ 54 5 9 10 a c b c  =  =5 【变式】（2015•自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔 3 支， 练习本 7 本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 8 本，圆珠笔 2 支共需 4.2 元， 那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需（　　） A．1.2 元 B．1.05 元 C．0.95 元 D．0.9 元 【答案】B． 解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要 x，y，z 元， 根据题意得 ， ②﹣① 得 x+y+z=1.05 （ 元 ） ．6 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是 （ ）. A． B． C． D． 2. 已知方程 ， ， 有公共解，则 的值为（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-1 3. （2015 春•威海期末）若 = = ，且 a﹣b+c=12，则 2a﹣3b+c 等于（　　） A． B．2 C．4 D．12 4．已知代数式 ，当 x＝-1 时，其值为 4；当 x＝1 时，其值为 8；当 x＝2 时， 其值为 25；则当 x＝3 时，其值为 （ ）. A．4 B．8 C．62 D．52 5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的 6 倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和 的 10 倍，6 年后，他们的年龄和是子女 6 年后年龄和的 3 倍，问这对夫妇共多少个子女？ （ ）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为 4 元、5 元、6 元，购买这些钢笔需要花 60 元；经过协商，每种钢笔单价下降 1 元，结果只花 了 48 元，那么甲种钢笔可能购买( ) . A．11 支 B．9 支 C．7 支 D．5 支 二、填空题 7. 若 是 一 个 三 元 一 次 方 程 ， 那 么 a ＝ _______ ， b ＝ ________． 8．已知 ，则 x+2y+z＝________． 9．（2015 春•和县期末）若 x、y 的值满足 3x﹣y﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则 k 的值等 于　 　． 10．已知 ，则 x:y:z＝________． 11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲 3 件、乙 2 件、丙 1 件共需 315 元；购甲 1 件、乙 2 件、丙 3 件共需 285 元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱． 12. 方程 x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ． 2 2 5 8 2 3 2 a b c a b c + + =  =  + = 2 2 2 2 2 2 5 8 10 x y y z x z  + =  + =  + = 1 1 4 1 1 7 1 1 10 x y y z z x  + =   + =   + = : : 3: 4:5 24 x y z x y z =  + + = 3 7 0x y− − = 2 3 1x y+ = 9y kx= − k 2ax bx c+ + 1 2 | |( 1) 5 2 10b aa x y z+ −− + + = 22 3 4 x y y z x z+ + += = = − 3 0 3 3 4 0 x y z x y z − + =  − − =7 三、解答题 13．（2015 春•繁昌县期末）解方程组： ． 14. 已知等式 对于一切有理数 都成立，求 A，B 的值． 15.某工程由甲、乙两队合作需 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元，乙、丙两队合作 需 10 天完成，厂家需支付乙、丙两队共 8000 元；甲、丙两队合作 5 天完成全部工程的 ， 此时厂家需付甲、丙两队共 5500 元． (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? (2)若要不超过 15 天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理 由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 2. 【答案】B； 【 解 析 】 联 立 ， ， 可 得 ： ， 将 其 代 入 ，得 值． 3.【答案】C． 【解析】设 = = =k，则 a=2k，b=3k，c=7k，代入方程 a﹣b+c=12 得：2k﹣3k+7k=12， 解得：k=2，即 a=4，b=6，c=14，则 2a﹣3b+c=2×4﹣3×6+14=4． 4. 【答案】D； 【解析】由条件知 ，解得 ． 当 x＝3 时， ． 5. 【答案】C； 【解析】 解：设夫妇现在的总年龄为 M,子女现在总年龄 m,设子女共 k 名,则有： 解三元一次方程组得： . 6. 【答案】D； (2 7 ) (3 8 ) 8 10A B x A B x− + − = + x 2 3 3 7 0x y− − = 2 3 1x y+ = 2, 1x y= = − 9y kx= − k 4 8 4 2 25 a b c a b c a b c − + =  + + =  + + = 5 2 1 a b c =  =  = 2 25 2 1 52ax bx c x x+ + = + + = 6 2 2 10( 2 ) 6 2 3( 6 ) M m M m k M m k =  − × = −  + × = + × 2k =8 【解析】 解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为 x、y、z 支，由题意，得 ①×4-②×5 得 x-z＝0，所以 x＝z，将 z＝x 代入①，得 4x+5y+6x＝60．即 y+2x＝ 12． ∵ y＞0，∴ x＜6，∴ x 为小于 6 的正整数，∴ 选 D. 二、填空题 7. 【答案】-1，0； 【解析】由题意得 ，解得 . 8.【答案】-10； 9.【答案】﹣4． 【解析】由题意可得 ， ①×3+②得 11x﹣22=0， 解得 x=2， 代入①得 y=﹣1， 将 x=2，y=﹣1 代入③得， ﹣1﹣2k+9=0， 解得 k=﹣4． 10．【答案】15:7:6； 【解析】原方程组化为 ②－①得 2x＝5z， ．故 ． ∴ ． 11.【答案】150； 【解析】设甲种商品的单价为 x 元，乙种商品的单价为 y 元，丙种商品的单价为 z 元， 根据题意可得： 根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与 方程②相加得：4(x+y+z)＝600，∴ x+y+z＝150． 4 5 6 60 3 4 5 48 x y z x y z + + =  + + = ① ② 1 0 1 1 2 1 a b a  − ≠  + =  − = 1 0 a b = −  = 3 3 3 4 x y z x y x − = −  − = ① ② 5 2x z= 7 6y z= 5 7: : : : 15:7 :62 6x y z z z z= = 3 2 315, 2 3 285, x y z x y z + + =  + + = ① ②9 12. 【答案】 ； 【解析】 解：x＜y＜z，所以 ， ，所以 ， 同理可得： ，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案． 三、解答题 13.【解析】 解：①+②得：4x+y=16④， ②×2+③得：3x+5y=29⑤， ④⑤组成方程组 解得 将 x=3，y=4 代入③得：z=5， 则方程组的解为 ． 14.【解析】 解：由题意可得： 解得： 15.【解析】 解：（1）设甲队单独做 x 天完成，乙队单独做 y 天完成，丙队单独做 z 天完成，则 ，解得 ，∴ ． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需 10 天，15 天，30 天． 1 2 3 x y z =  =  = 2 2 3 3 x y x z