《二次函数》全章复习与巩固

1 《二次函数》全章复习与巩固 【学习目标】 　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际 问题； 　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次函数的定义 一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 要点诠释： 如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二次函 数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　① ；② ；③ ；④ ， 　　其中 ；⑤ .（以上式子 a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：2 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 ( 轴) (0，0) ( 轴) (0， ) ( ，0) ( ， ) 当 时 开口向上 当 时 开口向下 ( ) 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛 物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 3.抛物线 中， 的作用： 　　(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. 　　(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ， 　 　　故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧. 　　(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 　 　　当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )： 　 　　① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式： （a≠0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式： （a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成 的图象平移后所对应的函数.) 2 0( )y ax bx c a= + + ≠ , ,a b c3 　　(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： 　 　　 （a≠0）.(由此得根与系数的关系： ). 要点诠释： 求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法， 这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一 元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一 元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释： 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根. 要点四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在 2y ax bx c= + +4 的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际 问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式. 【典型例题】 类型一、求二次函数的解析式 1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在 x 轴上截得的线段长为 6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】 已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即 ，也就是 ，再由在 x 轴上截得的线段长为 6 建立方程求出 a．也可根据抛物线的 对称轴是直线 x＝3，在 x 轴上截得的线段长为 6，则与 x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可 设 y＝a(x-0)·(x-6)． 【答案与解析】 解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与 x 轴有交点， ∴ 设解析式为 y＝a(x-3)2-2(a＞0)，即 ， 设抛物线与 x 轴两交点分别为(x1，0)，(x2，0)．则 ， 解得 ．∴ 抛物线的解析式为 ，即 ． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为 ． ∵ 对称轴为直线 x＝3，在 x 轴上截得的线段长为 6， ∴ 抛物线与 x 轴的交点为(0，0)，(6，0)． 把(0，0)代入关系式，得 0＝a(0-3)2-2， 解得 ，∴ 抛物线的解析式为 ， 即 ． 解法三：求出抛物线与 x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为 y＝a(x-0)(x-6)， 2( 3) 2y a x= − − 2 6 9 2y ax ax a= − + − 2 6 9 2y ax ax a= − + − 2 1 2 36 4 (9 2)| | 6| | a a ax x a − −− = = 2 9a = 22 ( 3) 29y x= − − 22 4 9 3y x x= − 2( 3) 2y a x= − − 2 9a = 22 ( 3) 29y x= − − 22 4 9 3y x x= −5 把(3，-2)代入得 ，解得 ． ∴ 抛物线的解析式为 ，即 ． 【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三： 【高清课程名称：二次函数复习 高清 ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线 （m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 ，且抛物线与 轴交于整数点，求此抛物线的解析 式． 【答案】（1）依题意，得 ，∴ ， ∴抛物线的顶点坐标为 ． （2）∵抛物线与 轴交于整数点， ∴ 的根是整数． ∴ ． ∵ ，∴ 是整数．∴ 是完全平方数． ∵ ， ∴ ，∴ 取 1，4，9， ． 当 时， ；当 时， ；当 时， ． ∴ 的值为 2 或 或 ． ∴抛物线的解析式为 或 或 ． 类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 2. （2016•鄂州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与 x 轴正半轴相交于 A、B 两点， 与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x=2，且 OA=OC，则下列结论： ①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（　　） 3 (3 6) 2a× × − = − 2 9a = 2 ( 6)9y x x= − 22 4 9 3y x x= − 2 4 4 2y mx mx m= − + − 1 55 m< < x 0≠m 22 4 2 =−−=−= m m a bx m mmm a bacy 4 4244 4 4 22 )()( −−−=−= 24 16816 22 −=−−= m mmm )2,2( − x 02442 =−+− mmxmx 24 16 4 (4 2) 2 222 2 m m m m mx m m ± − −= = ± 0m > 22x m = ± 2 m 1 55 m< < 2 2 105 m < < 2 m 24 16 4 (4 2) 2 222 2 m m m m mx m m ± − −= = ± 2 1m = 2=m 2 4m = 2 1=m 2 9m = 2 9m = m 2 1 2 9 682 2 +−= xxy xxy 22 1 2 −= 22 8 10 9 9 9y x x= − −6 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与 y 轴的交点可分别判断出 a、b、c 的符号，从而 可判断①；由图象可知当 x=3 时，y＜0，可判断②；由 OA=OC，且 OA＜1，可判断③；把﹣ 代入 方程整理可得 ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案． 【答案】C； 【解析】解： 由图象开口向下，可知 a＜0， 与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c＜0， 又对称轴方程为 x=2，所以﹣ ＞0，所以 b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 由图象可知当 x=3 时，y＞0， ∴9a+3b+c＞，故②错误； 由图象可知 OA＜1， ∵OA=OC， ∴OC＜1，即﹣c＜1， ∴c＞﹣1，故③正确； 假设方程的一个根为 x=﹣ ，把 x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0， 整理可得 ac﹣b+1=0， 两边同时乘 c 可得 ac2﹣bc+c=0， 即方程有一个根为 x=﹣c， 由②可知﹣c=OA，而当 x=OA 是方程的根， ∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确； 综上可知正确的结论有三个， 故选 C． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等 式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的 OA=OC，是解题的关键． 类型三、数形结合 3.（2015•黔东南州）如图，已知二次函数 y1=﹣x2+ x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0）， 与 y 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 y2=kx+b． （1）求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；7 （2）由图象写出满足 y1＜y2 的自变量 x 的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标； 若不存在，说明理由． 【答案与解析】 解：（1）将 A 点坐标代入 y1，得 ﹣16+13+c=0． 解得 c=3， 二次函数 y1 的解析式为 y=﹣x2+ x+3， B 点坐标为（0，3）； （2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是 x＜0 或 x＞4， ∴x＜0 或 x＞4 时，y1＜y2； （3）直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+3， AB 的中点为（2， ） AB 的垂直平分线为 y= x﹣ 当 x=0 时，y=﹣ ，P1（0，﹣ ）， 当 y=0 时，x= ，P2（ ，0）， 综上所述：P1（0，﹣ ），P2（ ，0），使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形． 【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的 关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线 AB 得出 AB 的垂直平分线是解题关 键． 类型四、函数与方程 4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售样，那么 一个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 5 元， 销售量相应减少 20 套．设销售单价为 x（x≧60）元，销售量为 y 套． （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）当销售单件为多少元时，月销售额为 14000 元？ （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】8 解：（1）销售单价为 x 元，则销售量减少 ×20， 故销售量为 y=240﹣ ×20=﹣4x+480（x≥60）； （2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000， 解得 x1=70，x2=50（不合题意舍去）， 故当销售价为 70 元时，月销售额为 14000 元； （3）设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意得： w=（x﹣40）（﹣4x+480） =﹣4x2+640x﹣19200 =﹣4（x﹣80）2+6400． 当 x=80 时，w 的最大值为 6400． 故当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元． 【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三： 【变式 1】抛物线 与直线 只有一个公共点，则 b=________． 【答案】由题意得 　　　　把②代入①得 . 　　　　∵ 抛物线 与直线 只有一个公共点， 　　　　∴ 方程 必有两个相等的实数根， 　　　　∴ ，∴ ． 【变式 2】二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(1)写出方程 的两个根； 　　(2)写出不等式 的解集； 　　(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； 　　(4)若方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．9 【答案】(1) 　　　　(2) . 　　　　(3) . 　　　　(4)方法 1：方程 的解， 　　　　　即为方程组 中 x 的解也就是抛物线 与直线 的交点 的横坐标，由图象可看出， 　　　　　当 时，直线 与抛物线 有两个交点，∴ ． 　　　　　方法 2：∵ 二次函数 的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， 　　　　　　　　　∴ ∴ 　　　　　　　　　∴ ，即 ， 　　　　　　　　　∴ . 　　　　　　　　　∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴ . 类型五、分类讨论 5．若函数 ，则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是( )． A． B．4 C． 或 4 D．4 或 【思路点拨】 此题函数是以分段函数的形式给出的，当 y＝8 时，求 x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D； 【解析】 由题意知， 当 时， ．而 ，∴ ． (舍去)． 当 2x＝8 时，x＝4．综合上知，选 D． 【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 类型六、与二次函数有关的动点问题 2 2 ( 2) 2 ( 2) x xy x x  + ≤=  > 6± 6± 6− 2 2 8x + = 6x = ± 6 2> 6x = − 6x =10 6．如图所示，在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线 ，D 为对称轴 l 上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作⊙A． ①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与⊙A 相切； ②写出直线 BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐 标． 【思路点拨】 根据 A、B 两点在 x 轴上，可设交点式求解析式．要 AD+CD 最小，根据两点之间线段最短， 可判定 D 点位置，从而求出点 D 坐标．要让 BD 与⊙A 相切，只需证 AD⊥BD，由圆的对称性， 可直接写出 D 点另一个坐标． 【答案与解析】 (1)设抛物线的解析式为 y＝a(x+1)(x-3)． 将(0，3)代入上式，得 3＝a(0+1)(0-3)． 解得 a＝-1． ∴ 抛物线的解析式为 y＝-(x+1)(x-3)， 即 ． (2)连接 BC，交直线 于点 D′． ∵ 点 B 与点 A 关于直线 l 对称，∴ AD′＝BD′． ∴ AD′+CD′＝BD′+CD′＝BC． 由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时 AD′+CD′最小，点 D′的位置即为所求． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， 由直线 BC 过点(3，0)，(0，3)，得 解这个方程组，得 ∴ 直线 BC 的解析式为 y＝-x+3． ∵ 对称轴 为 x＝1． 将 x＝1 代入 y＝-x+3，得 y＝-1+3＝2． ∴ 点 D 的坐标为(1，2)． l 2 2 3y x x= − + + l 0 3 , 3 . k b b = +  = 1, 3. k b = −  = l11 (3)①连接 AD．设直线 l 与 x 轴的交点为点 E． 由(2)知：当 AD+CD 最小时，点 D 的坐标为(1，2)． ∵ DE＝AE＝BE＝2，∴ ∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴ ∠ADB＝90°． ∴ AD⊥BD． ∴ BD 与⊙A 相切． ②(1，-2)． 【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高 综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解 题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．12 【巩固练习】 一、选择题 1．已知抛物线 ，将抛物线 C 平移得到抛物线 ．若两条抛物线 C、 关于直线 x＝ 1 对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）． A．将抛物线 C 向右平移 个单位 B．将抛物线 C 向右平移 3 个单位 C．将抛的线 C 向右平移 5 个单位 D．将抛物线 C 向右平移 6 个单位 2．已知二次函数 的图象如图所示，则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b 中，其值大于 0 的个数为( )． A．2 B．3 C．4 D．5 3．二次函数 的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A． B．abc＞0 C．a+b+c＞0 D． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着它与 y 轴的交点旋转 180°，所得抛物线的解析 式是( ) A． B． C． D． 5．如图所示，半圆 O 的直径 AB＝4，与半圆 O 内切的动圆 O1 与 AB 切于点 M，设⊙O1 的半径为 y，AM＝ x，则 y 关于 x 的函数关系式是( )． A． B． C． D． 第 5 题 第 6 题 6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)； 2: 3 10C y x x= + − C′ C′ 5 2 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 0a < 2 4 0b ac− > 2 2 3y x x= + + 2( 1) 2y x= − + + 2( 1) 4y x= − − + 2( 1) 2y x= − − + 2( 1) 4y x= − + + 21 4y x x= + 21 4y x x= − + 21 4y x x= − − 21 4y x x= −13 小明说：a＝1，c=3；小颖说：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2．你认为四人的说法中，正确的有 ( )． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．已知一次函数 的图象过点(-2，1)，则关于抛物线 的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线 x＝l；③当 a＜0 时，其顶点的纵坐标的最小值为 3． 其中所有正确叙述的有( )． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 8．（2016•梧州）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0），直线 x=﹣0.5 与此抛物线交于点 C，与 x 轴交于点 M，在直线上取点 D，使 MD=MC，连接 AC、BC、AD、 BD，某同学根据图象写出下列结论： ①a﹣b=0； ②当﹣2＜x＜1 时，y＞0； ③四边形 ACBD 是菱形； ④9a﹣3b+c＞0 你认为其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 9．由抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程 的一根为-3．在二次函数 y=x2+bx-3 的图象上有三点 、 、 ，y1、y2、y3、的大小关系是 . 11．如图所示，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 上运动，当⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为________． 第 11 题 第 13 题 y ax b= + 2 3y ax bx= − + 2 3 0x bx+ − = 1 4 ,5 y −   2 5 ,4 y −   3 1 ,6 y     21 12y x= −14 12．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线 y=﹣2x2 相同，试 写出这个函数解析式　 　． 13．已知二次函数 (a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b 同号；②当 x＝1 和 x＝ 3 时，函数值相等；③4a+b＝0；④当 y＝-2 时，x 的值只能取 0，其中正确的有 .（填序 号） 14．已知抛物线的顶点为 ，与 x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴下方与 x 轴距离为 4 的点 M 在抛物 线上，且 ，则点 M 的坐标为 ． 15．已知二次函数 (a≠0)的图象如图所示，有下列 5 个结论： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l 的实数)． 其中正确的结论有_____ ___(只填序号)． 第 15 题 第 16 题 16．如图所示，抛物线 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2．回答下列问题： (1)抛物线 y2 的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积 S＝________． (3)若再将抛物线 y2 绕原点 O 旋转 180°得到抛物线 y3，则抛物线 y3 的开口方向________， 顶点坐标________． 三、解答题 17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元．若一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元．已知 该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 18．如图所示，已知经过原点的抛物线 与 x 轴的另一交点为 A，现将它向右平移 m(m＞0) 个单位，所得抛物线与 x 轴交于 C、D 两点，与原抛物线交于点 P． (1)求点 A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)； (2)在 x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含 m 的式子 表示)；若不存在，请说明理由； (3)设△PCD 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式． 2y ax bx c= + + 1 25,2 4  −   10AMBS =△ 2y ax bx c= + + 2 1 2y x= − + 22 4y x x= − +15 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标． 20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为 D，求△BCD 的面积； （3）若直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， 求 b 的取值范围．16 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】 ， ∴ 其顶点坐标为 ，设 顶点坐标为 ，由题意得 ， ∴ ，∴ 的解析式为 ． 由 到 需向右平移 5 个单位，因此选 C． 2.【答案】A； 【解析】由图象知，a＜0，c＜0， ， ∴ b＞0，ac＞0，∴ 2a-b＜0． 又对称轴 ，即 2a+b＜0． 当 x＝1 时，a+b+c＞0；当 x＝-2 时，4a-2b+c＜0． 综上知选 A． 3.【答案】C； 【解析】由抛物线开口向下知 a＜0，由图象知 c＞0， ，b＜0，即 abc＞0，又抛物线与 x 轴 有两个交点，所以 ． 4.【答案】B； 【解析】抛物线 ，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转 180°后坐标为(1，4)， 开口向下． ∴ 旋转后的抛物线解析式为 ． 5.【答案】B； 2 2 3 49: 3 10 2 4C y x x x = + − = + −   3 49,2 4  − −   C′ 0 49, 4x −   0 3 2 12 x  + −   = 0 7 2x = C′ 27 49 2 4y x = − −   23 49 2 4y x = + =   27 49 2 4y x = − =   0 12 b a < − < 12 b a − < 02 b a − < 2 4 0b ac− > 2 22 3 ( 1) 2y x x x= + + = + + 2( 1) 4y x= − − +17 【解析】连接 O1M、O1O，易知两圆切点在直线 OO1 上，线段 OO1＝OA-y＝2-y，O 1M＝y，OM＝OA-AM＝ 2-x． 由勾股定理得(2-y)2＝y2+(2-x)2，故 ． 6.【答案】C； 【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为 x＝2；由小彬的条件，抛物线 过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线 x＝2；由小明的条件 a＝1，c=3,得到关系式 为 ，过点(1，0)得 b＝-4，对称轴为 ；由小颖的条件抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是 x＝2．所以小颖说的不对.故选 C. 7．【答案】C； 【解析】①若过定点(2，1)，则有 ．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符； ②若对称轴是直线 x＝1，这时 ，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符； ③当 a＜0 时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为 ． 由于 ， ．∴ ．∴ ． 综合以上分析，正确叙述的个数为 2，应选 C． 8.【答案】D． 【解析】①∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0）， ∴该抛物线的对称轴为 x=﹣ =﹣0.5， ∴a=b，a﹣b=0，①正确； ②∵抛物线开口向下，且抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0）， ∴当﹣2＜x＜1 时，y＞0，②正确； ③∵点 A、B 关于 x=0.5 对称， ∴AM=BM， 又∵MC=MD，且 CD⊥AB， ∴四边形 ACBD 是菱形，③正确； ④当 x=﹣3 时，y＜0， 即 y=9a﹣3b+c＜0，④错误． 综上可知：正确的结论为①②③． 故选 D． 二、填空题 9．【答案】y＝(x+2)2-3； 【解析】y＝x2 的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3 的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移 2 个单位，再 向下平移 3 个单位可得(-2，-3)，即将抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个 单位得到抛物线 y＝(x+2)2-3． 10．【答案】y1＜y2＜y3. 21 4y x x= − + 2 3y x bx= + + 4 22 1x −= =× 4 2 3 1a b− + = 12 b a −− = 2 24 3 ( ) 34 4 a b by a a × × − −= = − 2 0b ≥ 0a < 2 04 b a − ≥ 3y =最小18 【解析】设 x2+bx-3＝0 的另一根为 x2，则 ，∴ x2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为 ，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以 y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出 b＝2，分别求出 y1，y2，y3 的值再比较大小． 11．【答案】 或 ； 【 解 析 】 当 ⊙ P 与 x 轴 相 切 时 ， 圆 心 P 的 纵 坐 标 为 2 ， 将 y ＝ 2 得 ， 所 以 ，从而圆心 P 的坐标为 或 ． 12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1 或 y=2（x﹣2）2+1； 【解析】图象顶点坐标为（2，1） 可以设函数解析式是 y=a（x﹣2）2+1 又∵形状与抛物线 y=﹣2x2 相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2 因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1 或 y=2（x﹣2）2+1. 13．【答案】②③； 【解析】由图象知，抛物线与 x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为 ， 则 ，∴ 4a+b＝0，故③是正确的； 又∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0，b＝-4a＜0， ∴ ①是错误的；又∵ ，即 x＝1 和 x＝3 关于对称轴 x＝2 对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当 y＝-2 时，x 的值可取 0 或 4． ∴ ④是错误的． 14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)； 【解析】∵ ，∴ |AB|＝5． 又∵ 抛物线的对称轴为直线 ，∴ A、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)． 设抛物线的解析式为 ，则 解得 ∴ 抛物线的解析式为 ． 当 y＝-4 时， ，∴ ，∴ x1＝-2，x2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)． 15．【答案】③④⑤； 23 3cx a − = = − 3 1 12x − += = − ( 6,2) ( 6,2)− 21 12y x= − 2 6x = 6x = ± ( 6,2) ( 6,2)− 1 5 22x − += = 22 b a − = 1 3 22 + = 1 | | | 4 | 102AMBS AB= − = △ 1 2x = 2y ax bx c= + + 4 2 0 9 3 0 1 1 25 4 2 4 a b c a b c a b c   − + =  + + =   + + = − 1, 1, 6. a b c =  = −  = − 2 6y x x= − − 24 6x x− = − − 2 2 0x x− − =19 【解析】由题意可知 a＜0，c＞0， ，即 b＞0，∴ abc＜0．由图象知 x＝2 在抛物线与 x 轴两个交点之间，当 x＝-1 时，a-b+c＜0，∴ b＞a+c．当 x＝2 时，4a+2b+c＞0．又由对 称性知 9a+3b+c ＜0 ，且 ，∴ ，∴ 2c ＜3b ．当 x ＝1 时， ， 而 m ≠ 1 ， 当 时 ， ， 由 知 ， ∴ ，故③④⑤正确． 16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)； 【解析】抛物线 向右平移 1 个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部 分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线 y2 绕原点 O 旋转 180°，则抛物线 y2 的顶点 与点(1，2)关于原点对称． 三、解答题 17.【答案与解析】 解：（1）y= ， （2）在 0≤x≤10 时，y=100x，当 x=10 时，y 有最大值 1000； 10＜x≤30 时，y=﹣3x2+130x， 当 x=21 时，y 取得最大值， ∵x 为整数，根据抛物线的对称性得 x=22 时，y 有最大值 1408． ∵1408＞1000， ∴顾客一次购买 22 件时，该网站从中获利最多． 18.【答案与解析】 (1)先令 ，得 x1＝0，x2＝2． ∴ 点 A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在 OC＝AD＝m，OA＝CD＝2． (3)当 0＜m＜2 时，如图所示，作 PH⊥x 轴于 H，设 ． ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m， ∴ ．∴ ． 把 代入 ，得 ． ∵ CD＝OA＝2，∴ ． 当 m＞2 时，如图所示，作 PH⊥x 轴于 H，设 ． 02 b a − > 12 b a − = 9 3 02 b b c− + + < y a b c= + +最大 x m= 2 1y am bm c= + + 1y y>最大 2a b c am bm c+ + > + + 2 ( )a b am bm m am b+ > + = + 2 1 2y x= − + 22 4 0x x− + = ( , )P PP x y 2 2 2 AC mCH −= = 2 2 2 2P m mx OH m − += = + = 2 2P mx += 22 4y x x= − + 21 22Py m= − + 2 21 1 1 12 2 2(0 2)2 2 2 2S CD HP m m m = = × × − + = − + <  2y ax bx c= + + 16 4 0, 4, 4 2 0, a b c c a b c − + =  = −  + + = 1 ,2 1, 4. a b c  =  =  = −  21 42y x x= + − MD n= − 21 42n m m= + − AMD ABODMBOS S S S= + −△ △梯形 1 1 1( 4)( ) ( 4)( ) 4 42 2 2m n n m= + − + − + − − × × 2 2 8n m= − − − 212 4 2 82 m m m = − + − − −   2 4 ( 4 0)m m m= − − − < < 2m = − 4S =最大值 ( 2 2 5,2 2 5)− + − ( 2 2 5,2 2 5)− − +21 20.【答案与解析】 解：（1）由题意 解得 ， ∴抛物线解析式为 y= x2﹣x+2． （2）∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ． ∴顶点坐标（1， ）， ∵直线 BC 为 y=﹣x+4，∴对称轴与 BC 的交点 H（1，3）， ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= •3+ •1=3． （3）由 消去 y 得到 x2﹣x+4﹣2b=0， 当△=0 时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0， ∴b= ， 当直线 y=﹣ x+b 经过点 C 时，b=3， 当直线 y=﹣ x+b 经过点 B 时，b=5， ∵直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， ∴ ＜b≤3．