反比例函数全章复习与巩固

1 反比例函数全章复习与巩固 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析 式 ，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 的性质，能利用这些性质分 析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释：在 中，自变量 的取值范围是 ， ( )可以写成 ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定 系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 轴、 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释： ky x = k 0k ≠ x y ky x = x ky x = ( )0ky kx = ≠ ( )0ky kx = ≠ x ky x = k x y、 k ( )0ky kx = ≠ x y2 观察反比例函数 的图象可得： 和 的值都不能为 0，并且图象既是轴对 称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ① 的图象是轴对称图形，对称轴为 两条直线； ② 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③ (k≠0)在同一坐标系中的图象关于 轴对称，也关于 轴对称. 注：正比例函数 与反比例函数 ， 当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两 个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当 时， 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减 小；当 时， 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增 大. （2）若点( )在反比例函数 的图象上，则点（ ）也在此图象上，故反比 例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 x y ky x = )0( ≠= kx ky xyxy −== 和 )0( ≠= kx ky x kyx ky −== 和 x y xky 1= x ky 2= 021 ⋅ kk 0k > x y、 y x 0k < x y、 y x a b， a b− −， 0k > 0k < 0k > 0k y x 0k < y x 0k > y x 0k < y x k k4 ∴ ×2×（n﹣1）=2， 解得：n=3， ∵B（2，1），∴k=2， 反比例函数解析式为：y= ， ∴n=3 时，m= ， ∴点 A 的坐标为（ ，3）． 【总结升华】本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，用待定系数法求出 k、根据三角 形的面积求出 n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用． 举一反三： 【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 例 2】 【变式】已知反比例函数 与一次函数 的图象都经过点 P(2，－1)，且当 时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式. 【答案】因为双曲线 经过点 P(2，－1)，所以 ． 所以反比例函数的关系式为 ，所以当 时， ． 当 时，由题意知 ，所以直线 经过点(2，－1)和(1，2)， 所以有 解得 所以一次函数解析式为 ． 类型二、反比例函数的图象及性质 2 、 已 知 反 比 例 函 数 ( ＜ 0) 的 图 象 上 有 两 点 A( ) ， B( ) ， 且 ，则 的值是( )． A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定 【思路点拨】一定要确定了 A 点和 B 点所在的象限，才能够判定 的值. 【答案】D； 【解析】分三种情形作图求解． (1)若 ，如图①，有 ， ＜0，即 是负数； (2)若 ，如图②，有 ， ＞0，即 是正数； (3)若 ，如图③，有 ， ＜0，即 是负数． ky x = y ax b= + 1x = ky x = 2 ( 1) 2k xy= = × − = − 2y x −= 1x = 2y = − 1x = 2y ax b= + = y ax b= + 2 1, 2, a b a b + = −  + = 3, 5. a b = −  = 3 5y x= − + ky x = k 1 1x y， 2 2x y， 1 2x x< 1 2y y− 1 2y y− 1 2 0x x< < 1 2y y< 1 2y y− 1 2y y− 1 20x x< < 1 2y y> 1 2y y− 1 2y y− 1 20 x x< < 1 2y y< 1 2y y− 1 2y y−5 所以 的值不确定，故选 D 项． 【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不 能一概而论. 举一反三： 【变式】已知 ，点 P（ ）在反比例函数 的图象上，则直线 不 经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C； 提示：由 ，点 P（ ）在反比例函数 的图象上，知反比例函数经过二、四 象限，所以 ，直线 经过一、二、四象限. 3、（2016•淄博）反比例函数 y= （a＞0，a 为常数）和 y= 在第一象限内的图象如图 所示，点 M 在 y= 的图象上，MC⊥x 轴于点 C，交 y= 的图象于点 A；MD⊥y 轴于点 D， 交 y= 的图象于点 B，当点 M 在 y= 的图象上运动时，以下结论： ①S△ODB=S△OCA； ②四边形 OAMB 的面积不变； ③当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案； ②由四边形 OAMB 的面积=矩形 OCMD 面积﹣（三角形 ODB 面积+面积三角形 OCA），解 答可知； ③连接 OM，点 A 是 MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积= △OCM 的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得． 【答案】D． 1 2y y− 0a b⋅ < a b， x ay = baxy += 0a b⋅ < a b， x ay = 0 0a b< >， baxy +=6 【解析】解：①由于 A、B 在同一反比例函数 y= 图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相 等，都为 ×2=1，正确； ②由于矩形 OCMD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值，则四边形 MAOB 的面积不会发生 变化，正确； ③连接 OM，点 A 是 MC 的中点， 则△OAM 和△OAC 的面积相等， ∵△ODM 的面积=△OCM 的面积= ，△ODB 与△OCA 的面积相等， ∴△OBM 与△OAM 的面积相等， ∴△OBD 和△OBM 面积相等， ∴点 B 一定是 MD 的中点．正确； 故选：D． 【总结升华】本题考查了反比例函数 y= （k≠0）中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一 点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结 合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． 4、反比例函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（ ） 【答案】C； 【解析】一次函数 是经过定点（1，0）,排除掉 B、D 答案；选项 A 中 的符号自相矛盾，选项 C 符合要求. 【总结升华】还可以按照 ＞0， ＜0 分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求. 举一反三： 【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 例 7】 【变式】已知 ,且 则函数 与 在同一坐标系 x my = )0( ≠−= mmmxy ( )1y mx m m x= − = − m m m ＞ba ,0,0,0 ≠+≠≠ baba baxy += x bay +=7 中的图象不可能是( ) . 【答案】B ； 提示：因为从 B 的图像上分析，对于直线来说是 ，则 ，对于反比例函数 来说， ，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形. 类型三、反比例函数与一次函数综合 5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 ( ≠0)的图象与反比例函 数 ( ≠0)的图象相交于 A、B 两点． 求：(1)根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出：当 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【答案与解析】 解：(1)由图象可知：点 A 的坐标为(2， )，点 B 的坐标为(－1，－1)． ∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2， )，∴ ＝1． ∴ 反比例函数的解析式为： ． ∵ 一次函数 的图象经过点 A ，点 B(－1，－1)， ∴ 解得： ∴ 一次函数的解析式为 ． (2)由图象可知：当 ＞2 或－l＜ ＜0 时一次函数值大于反比例函数值． y kx b= + k my x = m x 1 2 ( 0)my mx = ≠ 1 2 m 1y x = y kx b= + 12, 2      12 ,2 1, k b k b  + = − + = − 1 ,2 1 .2 k b  =  = − 1 1 2 2y x= − x x8 【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数 的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求. 举一反三： 【变式】如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 P，PA⊥ 轴于点 A，PB⊥ 轴于点 B，一次函数的图象分别交 轴、 轴于点 C、点 D，且 ， ． (1)求点 D 的坐标； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象写出当 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】 解：(1)由一次函数 可知：D(0，3) (2)设 P( ， )，则 OA＝ ， ，得 ． 由点 C 在直线 上，得 ， ＝－9， DB＝3－b＝3－( ＋3)＝－ ＝9，BP＝ ． 由 ， ∴ ＝6，∴ ， ＝－6， ＝－36． ∴ 一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ． (3)根据图象可知：当 ＞6 时，一次函数的值小于反比例函数的值． 类型四、反比例函数的实际应用 6、制作一种产品，需先将材料加热达到 60℃后，再进行操作，设该材料温度为 (℃)，从加热开始计算的时间为 ．据了解，设该材料加热时，温度 与时间 成一 次函数关系；停止加热进行操作时，温度 与时间 成反比例关系(如图)．已知该材料在操 作加工前的温度为 15℃，加热 5min 后温度达到 60℃． 3y kx= + ( 0)my xx = > x y x y 27DBPS =△ 1 2 OC CA = x 3y kx= + a b a 1 3OC a= 1 ,03C a     3y kx= + 1 3 03 ka + = ka ka ka a 1 1 9 272 2DBPS DB BP a= = =   △ a 3 2k = − b m 3 32y x= − + 36y x = − x y ( )minx y x y x9 (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时， 与 的函数关系式； (2)根据工艺要求，当材料的温度低于 15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操 作，共经历了多少时间？ 【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度 与时间 成一次函数关系；停止加热 进行操作时，温度 与时间 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的 关系式；（2）把 ＝15 代入 中，进一步求解可得答案． 【答案与解析】 解：依题意知两函数图象的交点为(5，60) (1)设材料加热时，函数解析式为 ． 有 ∴ (0≤ ≤5)． 设进行制作时函数解析式为 ． 则 ，∴ ( ≥5)． (2)依题意知 ＝15， ＝20． ∴从开始加热到停止操作共经历了 20min． 【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解 析 式 ， 并 利 用 解 析 式 解 决 实 际 问 题 . 15 9 5 60 15 b k k b b = =   + = =  300 x y x y x y x y 300y x = y kx b= + 9 15y x= + x 1ky x = 1 300k = 300y x = x x10 【巩固练习】 一.选择题 1. 已知函数 的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则 的值是 （ ）． A．2 B．－2 C．±2 D． 2. 如图是三个反比例函数 、 、 在 轴上方的图象，由此观察得到 的大小关系（ ）. A． B． C． D． 3. 如图，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点 A 在直 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC 分别平行于 轴、 轴，若双曲线 ( ≠0) 与 有交点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.（2015•眉山）如图，A、B 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 AC⊥x 轴，交 OB 于 D 点， 垂足为 C．若△ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（　　） 2 5( 1) my m x −= + m 1 2 − x ky 1= x ky 2= x ky 3= x 1 2 3k k k， ， 1 2 3k k k> > 3 2 1k k k> > 2 3 1k k k> > 3 1 2k k k> > y x= x y ky x = k ABC∆ k 1 2k< < 1 3k≤ ≤ 1 4k≤ ≤ 1 4k≤ 4y x = 1 1x y， 2 2x y， 1 2 2 12 7x y x y− 1y x 1k 2y x 2k 1 2y y y= + 1 28 5k k+ k 1y 2y 3y 1y 2y 3y a b x a b 1 1x y， 2 2x y， 3 3x y， 2y x = − 1 2 3 0y y y> > > 1 2 3x x x， ， 1ky x += 1x 1y 2x 2y 1 2 0x x< < 1 2y y> k13 16．如图所示是一次函数 和反比例函数 的图象，观察图象写出当 时， 的取值范围为________． 三.解答题 17. （2016•吉林）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 y= （x＞0）的图象上有一点 A（m，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，CD= （1）点 D 的横坐标为　 　（用含 m 的式子表示）； （2）求反比例函数的解析式． 18.如图所示，已知双曲线 ，经过 Rt△OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 交 于点 C，DE⊥OA， ，求反比例函数的解析式． 19. 如图所示，一次函数 的图象经过点 B(－1，0)，且与反比例函数 ( 为 不等于 0 的常数)的图象在第一象限交于点 A(1， )．求： (1)一次函数和反比例函数的解析式； (2)当 1≤ ≤6 时，反比例函数 的取值范围． 1y kx b= + 2 my x = 1 2y y> x ( 0)ky kx = > 3OBCS =△ y x b= + ky x = k n x y14 20.（2015•绵阳）如图，反比例函数 y= （k＞0）与正比例函数 y=ax 相交于 A（1，k），B （﹣k，﹣1）两点． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）将正比例函数 y=ax 的图象平移，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y= （k＞0） 的图象交于 C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求 b 的值． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】由题意可知 解得 ＝－2． 2.【答案】B； 3.【答案】C； 【解析】双曲线经过点 A 和 BC 的中点，此时 或 ，当 时，双曲线 与 有交点. 4.【答案】B； 【解析】过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E， ∵D 为 OB 的中点， ∴CD 是△OBE 的中位线，即 CD= BE． 设 A（x， ），则 B（2x， ），CD= ，AD= ﹣ ， ∵△ADO 的面积为 1， ∴ AD•OC=1， （ ﹣ ）•x=1，解得 y= ， ∴k=x• =y= ．故选 B． 5.【答案】C. 【解析】函数 y= 是反比例 y= 的图象向左移动一个单位， 2 5 1, 1 0. m m  − = −  + − 1 0k + > 1k > − 2 0x− < < 3x > 1 2y y>17 ∴反比例函数的解析式为：y= ． 18.【解析】 解：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M． ∴ DM∥OA，∴ ∠BDM＝∠BOA． 在△BDM 和△EOD 中 ∴ △BDM≌△DOE(AAS)， ∴ ， ． 设 D( )，则 B( )． ∵ ， ∴ ． 即 ，解得： ． ∴ 反比例函数的解析式为 ． 19.【解析】 解：(1)将点 B(－1，0)代入 得：0＝－1＋ ，∴ ＝1． ∴ 一次函数的解析式是 ． ∴ 点 A(1， )在一次函数 的图象上， 将点 A(1， )代入 得： ＝2． 即点 A 的坐标为(1，2)，代入 得： ，解得： ＝2． ∴ 反比例函数的解析式是 ． (2)对于反比例函数 ，当 ＞0 时， 随 的增大而减少， 而当 ＝l 时， ＝2；当 ＝6 时， ， ∴ 当 1≤ ≤6 时，反比例函数 的取值范围是 ． 20.【解析】 解：（1）据题意得：点 A（1，k）与点 B（﹣k，﹣1）关于原点对称， 90DMB OED BDM BOA OD DB ∠ = ∠ = ∠ = ∠  = ° 1 2DM OE OA= = 1 2BM DE AB= = a b， 2a b，2 1 2ODE AOCS S ab= =△ △ 3OBC ABDES S= =△ 梯形 ( 2 ) 32 b b a 1 + = 2ab = 2y x = y x b= + b b 1y x= + n 1y x= + n 1y x= + n ky x = 2 1 k= k 2y x = 2y x = x y x x y x 1 3y = x y 1 23 y≤ ≤18 ∴k=1， ∴A（1，1），B（﹣1，﹣1）， ∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为 y= ，y=x； （2）∵一次函数 y=x+b 的图象过点（x1，y1）、（x2，y2）， ∴ ， ②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1， ∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5， ∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|= ， 由 得 x2+bx﹣1=0， 解得，x1= ，x2= ， ∴|x1﹣x2|=| ﹣ |=| |= ， 解得 b=±1．