《锐角三角函数》全章复习与巩固

《锐角三角函数》全章复习与巩固 【学习目标】 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习， 体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角 A 确定： (1)sinA= ，这个比叫做∠A 的正弦. 　　 (2)cosA= ，这个比叫做∠A 的余弦. 　　(3)tanA= ，这个比叫做∠A 的正切. 　　要点诠释： 　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值， 其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. 　　(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 　 　　但不能写成 sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成 sin∠BAC，而不能写出 sinBAC. 　　(3)sin2A 表示(sinA)2，而不能写成 sinA2. 　　(4)三角函数有时还可以表示成 等. 2.锐角三角函数的定义 　　锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释： 　　1. 函数值的取值范围 对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠A 的函数.同样，cosA、 tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范 围是 0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 　　2．锐角三角函数之间的关系： 　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解 30°、60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重， 是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　　　　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即 ；　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 要点诠释： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条 边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 要点三、解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几 何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问 题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　(1)坡度： ； 坡角: . 　　　　　 　　(2)方位角： 　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　要点诠释： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 两 边 斜边，一直角边(如 c，a) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 一直角边 和一锐角 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， Rt△ABC 一 边 一 角 斜边、锐角(如 c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 　　 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 　　　　 　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际 问题抽象为数学问题． 　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 3．锐角三角函数的应用　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。 　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单： 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值是( )． A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变 【答案】 D； 【解析】根据 知 sin∠A 的值与∠A 的大小有关，与 的比值有关． 当各边长度都扩大为原来的 2 倍时，其 的比值不变．故选 D. 【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】 【变式 1】已知，如图， 中， ， ， ，求 cosA 及 tanA． A B C D E Asin A ∠∠ = 的对边 斜边 A∠ 的对边 斜边 A∠ 的对边 斜边 ABC∆ CE AB⊥ BD AC⊥ 2 5 DE BC =【答案】易证点 B、C、D、E 四点共圆，△ADE∽△ABC， cosA= tanA= 【 变 式 2 】 如 图 所 示 ， 已 知 △ ABC 是 ⊙ O 的 内 接 三 角 形 ， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a ， 请 你 证 明 ． 【答案】 证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为 R，连结 AO 并延长交⊙O 于点 D， 连结 CD，则∠B＝∠D． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°．即△ADC 为直角三角形． ∴ ，∴ ． 同理可证： ， ． ∴ ． 类型二、 特殊角三角函数值的计算 2．已知 a＝3，且 ，则以 a、b、c 为边长的三角形面积等于 ( )． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A； 【解析】根据题意知 解得 所以 a＝3，b＝4，c＝5，即 ，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°， 所以 ． 【总结升华】利用非负数之和等于 0 的性质，求出 b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直 角三角形，注意 tan45°的值不要记错． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】 【变式】计算： ＋ 60° 2 ,5 AD DE AB BC = = 21.2 BD AD = sin sin sin a b c A B C = = sin sin 2 AC bB D AD R = = = 2sin b RB = 2sin a RA = 2sin c RC = 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 1(4tan 45 ) 3 02b b c− + + − =° 4tan 45 0, 13 0,2 b b c − = + − = ° 4, 5. b c =  = 2 2 2a b c+ = 1 62S ab= = tan 60 tan 45 tan 60 tan 45 ° − ° °⋅ ° 2sin【答案】原式= = 类型三、 解直角三角形 3．如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 ，则 AD 的长为( )． A．2 B． C． D．1 【思路点拨】 如何用好 是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角 形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已 知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等． 【答案】 A； 【解析】 作 DE⊥AB 于点 E． 因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以 AE＝DE． 又设 DE＝x，则 AE＝x，由 ． 知 BE＝5x，所以 AB＝6x，由勾股定理知 AC2+BC2＝AB2， 所以 62+62＝(6x)2， ，AD＝ AE＝ ． 【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知 一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解． 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合 4．（2016•连云港）如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，tanB= ． （1）求 BC 的长； （2）利用此图形求 tan15°的值（精确到 0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2） 3 1 32 23 1 − + × × 2 3 3 3 + 1tan 5DBA∠ = 3 2 1tan 5DBA∠ = 1tan 5 DEDBA EB ∠ = = 2x = 2 2 2 2× =【思路点拨】 （1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，由含 30°的直角三角形性质得 AD= AC=2，由三角函数 求出 CD=2 ，在 Rt△ABD 中，由三角函数求出 BD=16，即可得出结果； （2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD= 即可得出结果． 【答案与解析】 解：（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图 1 所示： 在 Rt△ADC 中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD= AC=2， CD=AC•cos30°=4× =2 ， 在 Rt△ABD 中，tanB= = = ， ∴BD=16， ∴BC=BD﹣CD=16﹣2 ； （2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，如图 2 所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.27≈0.3． 【总结升华】本题考查了锐角三角函数、含 30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质 等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 6-例 8】 【变式】如图，设 P 是矩形 ABCD 的 AD 边上一动点， 于点 E， 于 F， ， ． 求 的值． PE AC⊥ PF BD⊥ 3AB = 4AD = PE PF+ 【答案】如图，sin∠1= sin∠2= 由矩形 ABCD 知∠1=∠2， 则 PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1= ， 所以 PE+PF= PAsin∠1+ PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1= 类型五、三角函数与实际问题 5．（2015•保康县模拟）如图，某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40°夹角，且 CB=5 米． （1）求钢缆 CD 的长度；（精确到 0.1 米） （2）若 AD=2 米，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米，且∠EAB=120°，则灯的顶端 E 距离地面多少米？ （参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°= ） 【答案与解析】 解：（1）在 Rt△BCD 中， ， ∴ ≈6.7； （2）在 Rt△BCD 中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2． 过 E 作 AB 的垂线，垂足为 F， 在 Rt△AFE 中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°， AF= =0.8. ∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7 米． 答：钢缆 CD 的长度为 6.7 米，灯的顶端 E 距离地面 7 米． .PE PA .PF PD CD 3=AC 5 3 124=5 5 ×【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题. 6．（2015•攀枝花）如图所示，港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60° 的方向．一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30°）以 vkm/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇 从港口 B 出发，沿北偏东 30°的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1h 加装补给物资后，立即 按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？ （2）若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离． 【答案与解析】 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°， ∴∠BCO=90°． 在 Rt△BCO 中，∵OB=120， ∴BC= OB=60， ∴快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为：60÷60=1（小时）； （2）过 C 作 CD⊥OA，垂足为 D，设相会处为点 E． 则 OC=OB•cos30°=60 ，CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90， ∴DE=90﹣3v． ∵CE=60，CD2+DE2=CE2， ∴（30 ）2+（90﹣3v）2=602， ∴v=20 或 40， ∴当 v=20km/h 时，OE=3×20=60km， 当 v=40km/h 时，OE=3×40=120km． 【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题， 理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题 的关键.11 《锐角三角函数》全章复习与巩固 【巩固练习】 一、选择题 1. 计算 tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )． A．2 B． C． D．1 2．如图所示，△ABC 中，AC＝5， ， ，则△ABC 的面积是( ) A． B．12 C．14 D．21 3．如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到△ ， 则 tan 的值为( ) A． B． C． D． 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 4．如图所示，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 的距离，在 A 点测得∠BAD＝30°，在 C 点测 得∠BCD＝60°，又测得 AC＝50 米，那么小岛 B 到公路 的距离为( )． A．25 米 B． 米 C． 米 D． 米 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为 40 cm，高为 55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线 的夹角为 45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm 6．如图所示，已知坡面的坡度 ，则坡角 为( )． A．15° B．20° C．30° D．45° 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 7．如图所示，在高为 2 m，坡角为 30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )． A．4 m B．6 m C． m D． 8．（2016•绵阳）如图，△ABC 中 AB=AC=4，∠C=72°，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DE⊥AB，则 cosA 的值为（　　） 3 2 2cos 2B = 3sin 5C = 21 2 AC B′ ′ B′ 1 2 1 3 1 4 2 4 l l 25 3 100 3 3 25 25 3+ 1 3i = : α 4 2 (2 2 3)m+12 A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，若 AC、BD 的延长线交于点 E， ，则 = ； = ． 10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则 AD 的长为 ；CD 的长为 . 　 　 　　　　　 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 11．如图所示，已知直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶 点分别在四条直线上，则 ________． 12．如果方程 的两个根分别是 Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为 A，那么 tanA 的值 为__ ______． 13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处测得山顶 A 的仰角为 30°，然后向山脚直行 100 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45°，那么山高 AD 为　 　米（结果保留整数，测角仪忽略不 计， ≈1.414， ，1.732） 14. 在△ABC 中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则 BC＝____ ____． 15. 如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值 为 . A B C D E O 5 11 CD AB = cos CEB∠ tan CEB∠ 1l 2l 3l 4l sinα = 2 4 3 0x x− + =13 第 15 题图 16. （2016•临沂）一般地，当 α、β 为任意角时，sin（α+β）与 sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得： sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如 sin90°=sin（60°+30°） =sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1．类似地，可以求得 sin15°的值是　 　． 三、解答题 17．如图所示，以线段 AB 为直径的⊙O 交线段 AC 于点 E，点 M 是 的中点，OM 交 AC 于点 D， ∠BOE＝60°，cos C＝ ，BC＝ ． (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求 MD 的长度． 18. （2015•湖州模拟）如图，坡面 CD 的坡比为 ，坡顶的平地 BC 上有一棵小树 AB，当太阳光线与 水平线夹角成 60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影 BC=3 米，斜坡上的树影 CD= 米，则小树 AB 的 高是多少米？ AE 1 2 2 314 19．如图所示，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，已知 BC:CA＝4:3，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B 重合)，过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点． (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长； (3)当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积 S． 20. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出 发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q，过点 Q 作 QR∥BA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ＝x，QR＝y． (1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点 P，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说 明理由． 15 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝ ． 2.【答案】A； 【 解 析 】 过 A 作 AD ⊥ BC 于 D ， 因 为 ， 所 以 ∠ B ＝ 45 ° ， 所 以 AD ＝ BD ， 因 为 ， 所以 ，∴ BD＝AD＝3，所以 ，所以 BC＝BD+DC＝7， . 3.【答案】B； 【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B 放在以 BC 为斜边，直角边在网格 线上的直角三角形中，∠B 的对边为 1，邻边为 3，tan B′＝tanB＝ ． 4.【答案】B； 【解析】依题意知 BC＝AC＝50 米，小岛 B 到公路 的距离，就是过 B 作 的垂线，即是 BE 的长， 在 Rt△BCE 中， ，BE＝BC·sin 60°＝50× (米)，因此选 B． 5.【答案】D； 【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过 A 点作 AC⊥BD 于 C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝ 2 33 2 2 3 2 3 22 2 + × − × = + − = 2cos 2B = 3sin 5 ADC AC = = 3 5 35AD = × = 2 25 3 4DC = − = 1 1 217 32 2 2ABCS BC AD= = × × =△ 1 3 l l sin 60BE BC = ° 3 25 32 =16 ，则所求深度为 55－20＝35(cm)． 6.【答案】C； 【解析】 ，∴ ． 7．【答案】D； 【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为 2 m，宽为 (m)， 则地毯的总长至少为 m． 8.【答案】C． 【解析】∵△ABC 中，AB=AC=4，∠C=72°， ∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°， ∵D 是 AB 中点，DE⊥AB， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=36°， ∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°， ∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BE=BC， ∴AE=BE=BC． 设 AE=x，则 BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE 与△ABC 中， ， ∴△BCE∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得 x=﹣2±2 （负值舍去）， ∴AE=﹣2+2 ． 在△ADE 中，∵∠ADE=90°， ∴cosA= = = ． 故选 C． 二、填空题 9．【答案】cos∠CEB= ；tan∠CEB= 1 40 202 × = 1 3tan 33 BC AC α = = = 30α = ° 2 2 3tan30 = ° (2 2 3)+ 5 11 4 6 .517 【解析】如图，连结 BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴ ， cos∠CEB= tan∠CEB= 第 9 题答案图 第 10 题答案图 10．【答案】5 +10；10 +5. 【解析】过 B 点分别作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为 E、F，则得 BF=ED，BE=DF. 　　　　　 ∵在 Rt△AEB 中，∠A=30°，AB=10， 　　　　　 ∴AE=AB·cos30°=10× =5 ， 　　　　　 BE=AB·sin30°=10× =5. 　　　　　 又∵在 Rt△BFC 中，∠C=30°，BC=20， 　　　　　 ∴BF= BC= ×20=10， 　　　　　 CF=BC·cos30°=20× =10 . 　　　　　 ∴AD=AE+ED=5 +10， 　　　　　 CD=CF+FD=10 +5. 11．【答案】 ； 【解析】设 AB 边与直线 的交点为 E，∵ ∥ ∥ ∥ ，且相邻两条平行直线间的距离都是 1， 则 E 为 AB 的 中 点 ， 在 Rt △ AED 中 ， ∠ ADE ＝ α ， AD ＝ 2AE ． 设 AE ＝ k ， 则 AD ＝ 2k ， ． ∴ ． 12．【答案】 或 ； CE CD 5=EB AB 11 = 5 .11 CE=EB 4 6 .5 BC=CE 5 5 2l 1l 2l 3l 4l 5DE k= 5sin sin 55 AE kADE ED k α = ∠ = = = 1 3 2 418 【解析】由 得 x1＝1，x2＝3．①当 1，3 为直角边时，则 tan A＝ ； ②当 3 为斜边时，则另一直角边为 ．∴ ． 13．【答案】137　； 【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设 AD=xm， 在 Rt△ACD 中，∵tan∠ACD= ， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在 Rt△ABD 中，∵tan∠ABD= ， ∴x= （x+100）， ∴x=50（ +1）≈137， 即山高 AD 为 137 米． 14．【答案】 或 ； 【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作 AH⊥BC 于 H， 在 Rt△ABH 中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝ ， 在 Rt△AHC 中，HC＝ ．∴ BC＝ ． 当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得 BC＝ ． 15．【答案】 ； 【解析】连接 CA 并延长到圆上一点 D， ∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°， ∵直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0）， ∴CD=10，CO=5， ∴DO= ， ∵∠B=∠CDO， 3 2 2 4 3 0x x− + = 1 3 2 23 1 2 2− = 1 2tan 42 2 A = = 4 3 3+ 4 3 3− 2 28 4 4 3− = 2 2 2 25 4 3AC AH− = − = 4 3 3+ 4 3 3− 5 319 ∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值， ∴cos∠OBC=cos∠CDO= ． 16.【答案】 ． 【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°= • ﹣ • = ． 故答案为 ． 三、解答题 17.【答案与解析】 (1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝ ∠BOE＝30°． (2)在△ABC 中，∵cos C＝ ，∴∠C＝60°， 又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线． (3)∵点 M 是 的中点，∴OM⊥AE，在 Rt△ABC 中， ∵BC＝ ，∴AB＝BC tan 60°＝ ，∴OA＝ ， ∴OD＝ OA＝ ，∴MD＝ ． 18． 【解析】 解：由已知得 Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE， 在 Rt△CED 中，设 CE=x，由坡面 CD 的坡比为 ，得： DE= x，则根据勾股定理得： x2+ = ， 得 x= ，（﹣ 不合题意舍去）， 所以，CE= 米，则，ED= 米， 那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+ = 米， 5 3 3=10 2 1 2 1 2 AE 2 3 2 3 3 6× = 32 AB = 1 2 3 2 3 220 在 Rt△AFD 中，由三角函数得： =tan∠ADF， ∴AF=FD•tan60°= × = 米， ∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE= ﹣ =4 米， 答：小树 AB 的高是 4 米． 19.【答案与解析】 (1)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°． 又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴ ． ∴AC·CD＝PC·BC． (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，过点 B 作 BE⊥PC 于点 E． ∵P 是 中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝ ． 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝ ． ∴ ． 从而 PC＝PE+EC＝ ．由(1)得 CD＝ ． (3)当点 P 在 上运动时， ． 由(1)可知，CD＝ ． ∴ ．故 PC 最大时， 取得最大值； 而 PC 为直径时最大，∴ 的最大； ∴ 的最大值 ． 20.【答案与解析】 (1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10． ∵点 D 为 AB 中点，∴BD＝ AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B． ∴△BHD∽△BAC，∴ ，∴ ． (2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC， AC BC CP CD = AB 2 2 22 BC = 4 3 3 2 3 2 tan 4 2 2 BEPE BCCPB  = = =  ∠   7 2 2 4 14 2 3 3PC = AB 1 2PCDS PC CD= △ 4 3 PC 22 3PCDS PC=△ PCDS△ PCDS△ PCDS△ 22 5053 3S = × = 1 2 DH BD AC BC = 3 12810 5 BDDH ACBC = = × =21 ∴ ，∴ ， 即 y 关于 x 的函数关系式为： ． (3)存在，分三种情况： ①当 PQ＝PR 时，过点 P 作 PM⊥QR 于 M，如图所示，则 QM＝RM． ∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C． ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． ②当 PQ＝RQ 时，如图 28—46 所示，则有 ，∴x＝6． ③当 PR＝QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，如图所示． 于是点 R 为 EC 的中点，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． 综上所述，当 x 为 或 6 或 时，△PQR 为等腰三角形． RQ QC AB BC = 10 6 10 y x−= 3 65y x= − + 8 4cos 1 cos 10 5C∠ = = = 4 5 QM QP = 1 42 5 QR DH = 1 3 6 42 5 12 5 5 x − +   = 18 5x = 3 1265 5x− + = 1 1 22 4CR CE AC= = = tan QR BAC CR CA = = 3 6 65 2 8 x− + = 15 2x = 18 5 15 2