《圆》全章复习与巩固

《圆》全章复习与巩固 【学习目标】 1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索 并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线， 会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积； 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 　　(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形， 对称中心是圆心. 　　　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那 么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时， 平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点 P 是否在⊙O 上 　　设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有 　　 点 P 在⊙O 外；　 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知 道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点 在同一个圆上的方法 　　当 时， 在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为 . 　　(1)直线 和⊙O 没有公共点 直线和圆相离 . 　　(2)直线 和⊙O 有唯一公共点 直线 和⊙O 相切 . 　　(3)直线 和⊙O 有两个公共点 直线 和⊙O 相交 . 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 1 2 nA A A、 、切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它 到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶 点的距离相等，通常用 O 表示. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外 接圆的圆心) 三角形三边中垂线的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一 定在三角形内部 内心(三角形内 切圆的圆心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB； (3)内心在三 角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式： ，周长 . 　　圆心角为 、半径为 R 的弧长 . 　　圆心角为 ，半径为 R，弧长为 的扇形的面积 . 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点 类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： . 【典型例题】 类型一、圆的有关概念及性质 1. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB=45°,点 在数轴上运动，若 过点 P 且与 OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设 OP=x，则 的取值范围是（ ）. A．－1≤ ≤1 B． ≤ ≤ C．0≤ ≤ D． ＞ 【思路点拨】 关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时 OP 的值． 【答案】C； 【解析】如图，平移过 P 点的直线到 P′，使其与⊙O 相切，设切点为 Q，连接 OQ， 由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA∥P′Q， ∴∠OP′Q=∠AOB=45°， P x x 2− x 2 x 2 x 2∴△OQP′为等腰直角三角形， 在 Rt△OQP′中，OQ=1， OP′= ， ∴当过点 P 且与 OB 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤ ， 当点 P 在 x 轴负半轴即点 P 向左侧移动时，结果相同． 故答案为：0≤OP≤ ． 【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题． 举一反三： 【变式】如图，已知⊙O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB=45°，点 P 在数轴上运动，若 过点 P 且与 OB 平行的直线于⊙O 有公共点，设 P（x，0），则 x 的取值范围是（　　）. A．-1≤x＜0 或 0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．- ≤x＜0 或 0＜x≤ D．x＞1 【答案】∵⊙O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB=45°， ∴过点 P′且与 OB 平行的直线与⊙O 相切时，假设切点为 D， ∴OD=DP′=1， OP′= ， ∴0＜OP≤ ， 同理可得，当 OP 与 x 轴负半轴相交时， - ≤OP＜0， ∴- ≤OP＜0，或 0＜OP≤ ． 故选 C． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦 CG⊥AB 于 D，F 是⊙O 上的点，且 ，BF 交 CG 于点 E，求证：CE＝BE． 【思路点拨】 主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】 证法一：如图(1)，连接 BC， ∵ AB 是⊙O 的直径，弦 CG⊥AB，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE． 证法二：如图(2)，作 ON⊥BF，垂足为 N，连接 OE． ∵ AB 是⊙O 的直径，且 AB⊥CG，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ BF＝CG，ON＝OD． ∵ ∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD， ∴ △ONE≌△ODE，∴ NE＝DE．  CF CB=  CB GB=  CF BC=  CF GB=  CB BG=  CB CF=   CF BC BG= =∵ ， ， ∴ BN＝CD，∴ BN-EN＝CD-ED，∴ BE＝CE． 证法三：如图(3)，连接 OC 交 BF 于点 N． ∵ ，∴ OC⊥BF． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG⊥AB， ∵ ， ．∴ ， ． ∵ OC＝OB，∴ OC-ON＝OB-OD，即 CN＝BD． 又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED， ∴ △CNE≌△BDE，∴ CE＝BE． 【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力， 而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法． 举一反三： 【变式】如图所示，在⊙O 内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则 BC 的长为（ ） A．19 B．16 C．18 D．20 【答案】如图，延长 AO 交 BC 于点 D,过 O 作 OE⊥BC 于 E. 则三角形 ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4 在 Rt△ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则 DE= OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分 BC，BC=2BE=20. 故选 D 类型三、与圆有关的位置关系 3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三 行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为 0.75cm，长约为 8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）； （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分， 1 2BN BF= 1 2CD CG=  CF BC=  BG BC=   CF BG BC= =  BF CG= ON OD= 1 2计算结果 . 【答案与解析】 （1）如图（2），作 O1E⊥O2O3 ∴四边形 ABCD 的面积是： （2）制作一个烟盒至少需要纸张： . 【总结升华】四边形 ABCD 中，AD 长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB 长，只要计算出如图（2）中 的 O1E 长即可. 精确到 ， 取 ）0.1cm 3 173. O O O O O O1 2 2 3 3 1 0 75 3 4 = = = =. ∴ = × =O E1 3 4 3 2 3 3 8 ( )3 3 3 3 3 32 8 4 4AB cm +∴ = × + = ( )AD cm= × =7 3 4 21 4 ( )21 4 3 3 3 4 63 3 63 16 2× + = + cm ( )2 63 3 63 16 3 3 3 4 8 4 21 4 8 4 144 096 1441 2+ + + × + ×      = ≈. . . . cm类型四、圆中有关的计算 4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径， = ，连接 ED、BD，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C． （1）若 OA=CD=2 ，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM． 【答案与解析】 解：如图，连接 OD， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD⊥CD， ∵OA=CD=2 ，OA=OD， ∴OD=CD=2 ， ∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S△OCD﹣S 扇 OBD= ﹣ =4﹣π； （2）证明：如图，连接 AD， ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵ = ， ∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD 和△ABD 中， ， ∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM． 【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形 的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法． 举一反三： 【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO⊥AB，垂足为点 O，连接 AF 并延长交⊙O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E，∠B=30°，FO=2 ．（1）求 AC 的长度； （2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号） 【答案】解：（1）∵OF⊥AB， ∴∠BOF=90°， ∵∠B=30°，FO=2 ， ∴OB=6，AB=2OB=12， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC= AB=6； （2）∵由（1）可知，AB=12， ∴AO=6，即 AC=AO， 在 Rt△ACF 和 Rt△AOF 中， ∴Rt△ACF≌Rt△AOF， ∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°， 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G， ∵OD=6，∴DG=3 ， ∴S△ACF+S△OFD=S△AOD= ×6×3 =9 ， 即阴影部分的面积是 9 ． 类型五、圆与其他知识的综合运用 5． . 【思路点拨】 由已知条件，等边△ABC 可得 60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可 得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC. ABC D BC DB DC DA+ =如图，△ 是等边三角形， 是 上任一点，求证：【答案与解析】 延长 DB 至点 E，使 BE＝DC，连结 AE ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60° ∵四边形 ABDC 是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD 在△AEB 和△ADC 中， ∴△AEB≌△ADC ∴AE＝AD ∵∠ADB＝60° ∴△AED 是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA. 【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如： （1）延长 DC 至 F，使 CF＝BD，连结 AF，再证△ACF≌△ABD，得出 AD＝DF，从而 DB＋CD＝DA. （2）在 DA 上截取 DG＝DC，连结 CG，再证△BDC≌△AGC，得出 BD＝AG，从而 DB＋CD＝DA. 6．如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B′，则图中阴影部分的 面积是（ ）. A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π 【答案】B； 【解析】阴影部分的面积 =以 AB′为直径的半圆的面积+扇形 ABB′的面积-以 AB 为直径的半圆的面积 BE CD ABE ACD AB AC = = =    ∠ ∠=扇形 ABB′的面积． 则阴影部分的面积是： =6π 故选 B． 【总结升华】根据阴影部分的面积=以 AB′为直径的半圆的面积+扇形 ABB′的面积-以 AB 为直径的半圆 的面积=扇形 ABB′的面积．即可求解． 举一反三： 【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以 斜边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为 ( ). 　　　　　 　　A. 　　　B.72 　　　C.36 　　　D.72 【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等. 　　　　但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知， 　　　　阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得， 　　　　所以由已知得直角边为 ，小半圆半径为 (cm)， 因此阴影部分面积为 . 故选 C.13 【巩固练习】 一、选择题 1．如图所示，AB、AC 为⊙O 的切线，B 和 C 是切点，延长 OB 到 D，使 BD＝OB，连接 AD．如果∠DAC＝78 °， 那么∠ADO 等于( )． A．70° B．64° C．62° D．51° 2.已知⊙O 半径为 3，M 为直线 AB 上一点，若 MO=3，则直线 AB 与⊙O 的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交 3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=8cm，以 A 为圆心、AD 的长为半径 作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ). 　A.(4π+8)cm2 　 　B.(4π+16)cm2 C.(3π+8)cm2 　 D.(3π+16)cm2 4.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE 的度数为（　　） A．55° B．70° C．90° D．110° 5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径， 弦 AB⊥CD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径 CD 的长为( ) 　A．12.5 寸 　　　 B．13 寸　　　 C．25 寸 　　 　D．26 寸 6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是 和 ，则 这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( ) A.1 条 　　 　B.2 条 　 　　C.3 条 　　　D.4 条14 7．（2015•贵港）如图，已知 P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M，连接 OP，OM．若 ⊙O 的半径为 2，OP=4，则线段 OM 的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图所示，AB、AC 与⊙O 分别相切于 B、C 两点，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B、C 的一动点，则∠ BPC 的度数是( )． A．65° B．115° C．65°或 115° D．130°或 50° 二、填空题 9.如图，在⊙O 中，半径 OA 垂直弦于点 D．若∠ACB=33°，则∠OBC 的大小为　　度． 10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32 °，那么∠A的度数是________________. 11.在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，斜边 AB=2 ，动点 P 在 AB 边上，动点 Q 在 AC 边上，且∠CPQ=90°， 则线段 CQ 长的最小值=　　．15 12．（2015•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点 D，AC 交⊙O 于点 E， ∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧 是劣弧 的 2 倍； ⑤AE=BC，其中正确的序号是　 　． 13. 两 个 圆 内 切 ， 其 中 一 个 圆 的 半 径 为 5 ， 两 圆 的 圆 心 距 为 2 ， 则 另 一 个 圆 的 半 径 是 _______ ________. 14.已知正方形 ABCD 外接圆的直径为 ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形 EFGHIJLK 的边 长为____ ____，面积为_____ ___． 15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于 2 的三角形、四边形、……、凸 n 边形，分别以它们的各顶点为圆 心，以 l 为半径画弧与两邻边相交，得到 3 条弧，4 条弧，…… (1)图(1)中 3 条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中 4 条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中 n 条弧的弧长的和为____ ____(用 n 表示)． 16.如图，⊙O 的半径是 2，直线 l 与⊙O 相交于 A、B 两点，M、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线 l 的异 侧，若∠AMB=45°，则四边形 MANB 面积的最大值是　　． 三、解答题 17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的 平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF． （1）证明：AF 平分∠BAC； 2a16 （2）证明：BF＝FD. 18.（2015•南京）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE． （1）求证：∠A=∠AEB； （2）连接 OE，交 CD 于点 F，OE⊥CD，求证：△ABE 是等边三角形． 19．如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边. 求两圆相交弧间阴影部分的面积. 20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图(1)，在正△ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝60°， 则 BM＝CN； ②如图(2)，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝90°， 则 BM＝CN． 然后运用类似的思想提出了如下命题： ③如图(3)，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝108 °，则 BM＝CN．17 任务要求： (1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明； (2)请你继续完成下面的探索； ①在正 n(n≥3)边形 ABCDEF…中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，试问当∠BON 等于多少度时，结论 BM＝CN 成立(不要求证明)； ②如图(4)，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，∠BON＝108° 时，试问结论 BM＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B； 【解析】由 AB 为⊙O 的切线，则 AB⊥OD．又 BD＝OB，则 AB 垂直平分 OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO． 由 AB、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝ ∠DAC＝26°． ∠ADO＝90°-26°＝64°． 本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等． 2.【答案】D； 3．【答案】A.； 【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. 　　　　　∵ 矩形 ABCD 中，AB=2BC，AB=8cm， 　　　　　∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°， 　　　　　 ， ， 　　　　　又 AF=AD=4cm， 　　　　　∴ ， 　　　　　∴ . 4.【答案】D； 1 318 【解析】∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ADE=∠B．∵∠B=110°，∴∠ADE=110°． 5．【答案】D； 【解析】因为直径 CD 垂直于弦 AB，所以可通过连接 OA(或 OB)，求出半径即可. 　　　　　根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 　　　　　知 (寸)，在 Rt△AOE 中， ， 　　　　　即 ，解得 OA=13，进而求得 CD=26(寸). 6．【答案】C. 【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系， 　　　　　因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在 Rt△AOB 中，OA=4，OB=3，所以 AB=5， 　　　　　而两圆半径为 和 ，且 ，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和， 　　　　　所以两圆相外切，共有 3 条公切线. 7．【答案】B. 【解析】设 OP 与⊙O 交于点 N，连结 MN，OQ，如图， ∵OP=4，ON=2， ∴N 是 OP 的中点， ∵M 为 PQ 的中点， ∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN= OQ= ×2=1， ∴点 M 在以 N 为圆心，1 为半径的圆上， 当点 M 在 ON 上时，OM 最小，最小值为 1， ∴线段 OM 的最小值为 1．故选 B． 8．【答案】C； 【解析】连接 OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点 P 在优弧上时， ∠BPC＝ ∠BOC＝65°；点 P 在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理． 二、填空题 9.【答案】24. 10．【答案】99°； 【解析】由 EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 　　　　　在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11.【答案】 . 【解析】以 CQ 为直径作⊙O，当⊙O 与 AB 边相切动点 P 时，CQ 最短，∴OP⊥AB， ∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ 为等边三角形，∴∠POQ=60°， 1 2 8 319 ∴∠APQ=30°，∴设 PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC= = =4，∴CQ= ，∴CQ 的最小值为 ． 12.【答案】①②④； 【解析】连接 AD，AB 是直径， 则 AD⊥BC， 又∵△ABC 是等腰三角形， 故点 D 是 BC 的中点，即 BD=CD，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线， 由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC= ∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④． 13.【答案】7 或 3； 【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时， 圆心距 ，题中一圆半径为 5，而 d=2，所以有 ，解得 r=7 或 r=3， 即另一圆半径为 7 或 3. 14.【答案】 ； ； 【解析】正方形 ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为 a．如图所示，设正八 边 形 的 边 长 为 x ． 在 Rt △ AEL 中 ， LE ＝ x ， AE ＝ AL ＝ ， ∴ ， ， 即正八边形的边长为 ． ． ( 2 1)a− 2(2 2 2)a− 2 2 x 22 2 x x a× + = ( 2 1)x a= − ( 2 1)a− 2 2 2 2 24 [( 2 1) ] (2 2 2)AELS S S a x a a a= − = − = − − = −△正方形正八边形 AB sin30° 2 3 3 2 8 3 8 320 15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π； 【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前 n 条弧的弧长的和为 个以某定点 为圆心，以 1 为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为 ． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为 ， ，…， ， 则 ， ∴ n 条弧长的和为 ． 16.【答案】4 . 【解析】解：过点 O 作 OC⊥AB 于 C，交⊙O 于 D、E 两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图， ∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB= OA=2 ， ∵S 四边形 MANB=S△MAB+S△NAB，∴当 M 点到 AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当 N 点到 AB 的距离最大 时，△NAB 的面积最大，即 M 点运动到 D 点，N 点运动到 E 点， 此时四边形 MANB 面积的最大值=S 四边形 DAEB=S△DAB+S△EAB= AB•CD+ AB•CE= AB（CD+CE）= AB•DE= ×2 ×4=4 ． 三、解答题 17.【答案与解析】 （1）连结 OF ∵FH 是⊙O 的切线 ( 2)180 1 ( 2)360 2 n n − = − 12 1 ( 2) ( 2)2 n nπ π× × − = − 1 α 2 α n α 1 2 ( 2)180n nα α α+ + + = −… ° 1 2 1 21 1 1 ( )180 180 180 180 n n α πα π α π π α α α× + × + + × = + + +… … ( 2) 180 ( 2)180 n n π π= − × = −21 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分 BC ∴ ∴AF 平分∠BAC . （2）由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4 =∠5+∠3 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD. 18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB； （2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF， ∴EO 是 CD 的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC， ∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°， ∴△ABE 是等边三角形． 19.【答案与解析】  BF FC=22 解：∵公共弦 AB＝120 . 20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中， ∵ ∠BON＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°， ∴ △BCM≌△CAN，∴ BM＝CM． 如选命题②． 证明：在图(2)中， ∵ ∠BON＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°， ∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN． 如选命题③． 证明：在图(3)中， ∵ ∠BON＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°， ∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN． (2)①答：当∠BON＝ 时结论 BM＝CN 成立．( 2)180n n − ° ∴ = =a R4 6 120 r R a 6 6 2 4 2 2 2 2 120 60 60 3= −     = − = ∠ = = = =O a R ABo 1 4 460 120 2 2 60 2， ， ( )∴ = −     = − = =r R a O o 4 4 2 4 2 2 2 22 60 2 60 60 90，∠ S S S R a rAmB AO B AO B弓形 扇形= − = − = − 2 2 90 360 1 2 1800 36004 2 4 4∆ π π S S S R a rAnB AO B AO B弓形 扇形= − = − = − 1 1 60 360 1 2 2400 3600 36 2 6 6∆ π π ( )∴ = + = − +S S SAmB AnB阴影 弓形 弓形 4200 3600 1 3π ( )[ ]∴ − +两圆相交弧间阴影部分的面积为 4200 3600 1 3 2π cm23 ②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接 BD、CE 在△BCD 和△CDE 中， ∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE， ∴ △BCD≌△CDE． ∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD． ∵ ∠CDE＝∠DEN＝108°， ∴ ∠BDM＝∠CEM． ∵ ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°． ∴ ∠MBC＝∠NCD． 又∵ ∠DBC＝∠ECD＝36°， ∴ ∠DBM＝∠ECM． ∴ △BDM≌△CEN， ∴ BM＝CN．