导学案——菱形

1 导学案——菱形 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一 个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将 菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实 际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积 的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问 题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方 法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF 的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF 的度数，只 要求出∠AEF 的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF 为等边三角形，从 而∠AEF＝60°．2 【答案与解析】 解：连接 AC． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°， ∴ △ABC 是等边三角形． ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF． ∴ △AEF 为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°． 又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°． 【总结升华】当菱形有一个内角为 60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形， 有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系． 2、（2016•龙岩）如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】作 F 点关于 BD 的对称点 F′，则 PF=PF′，由两点之间线段最短可知当 E、P、 F′在一条直线上时，EP+FP 有最小值，然后求得 EF′的长度即可． 【答案】C． 【解析】 解：作 F 点关于 BD 的对称点 F′，则 PF=PF′，连接 EF′交 BD 于点 P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当 E、P、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时 EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形 ABCD 为菱形，周长为 12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形 AEF′D 是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP 的最小值为 3． 故选：C．3 【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当 E、P、F′ 在一条直线上时 EP+FP 有最小值是解题的关键． 举一反三： 【变式】（2015 春•潍坊期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AB 的中点，如果 EO=2，求四边形 ABCD 的周长． 【答案】 解：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BO=DO，即 O 为 BD 的中点， 又∵E 是 AB 的中点， ∴EO 是△ABD 的中位线， ∴AD=2EO=2×2=4， ∴菱形 ABCD 的周长=4AD=4×4=16． 类型二、菱形的判定 3、如图，在等边三角形 ABC 中，BC=6cm，射线 AG∥BC，点 E 从点 A 出发沿射线 AG 以 lcm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿线射 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t（s）． （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当 t 为多少时，四边形 ACFE 是菱形． 【思路点拨】（1）由题意得到 AD=CD，再由 AG 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等 得到两对角相等，利用 AAS 即可得证； （2）若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF=AC=AE=6，由 E 的速度求出 E 运动的时间即可． 【答案与解析】 （1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC， ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=CD， 在△ADE 和△CDF 中，4 ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：①若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF=AC=AE=6， 则此时的时间 t=6÷1=6（s）． 故答案为：6s． 【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题 的关键. 举一反三： 【变式】已知，在△ABC 中，AB＝AC＝ ，M 为底边 BC 上任意一点，过点 M 分别作 AB、AC 的平行线交 AC 于 P，交 AB 于 Q. ⑴求四边形 AQMP 的周长； ⑵M 位于 BC 的什么位置时，四边形 AQMP 为菱形？说明你的理由. 【答案】 解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ， ∴四边形 AQMP 是平行四边形 ∴QM＝AP 又∵AB＝AC，MP∥AQ， ∴∠2＝∠C，△PMC 是等腰三角形，PM＝PC ∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝ ∴四边形 AQMP 的周长为 2 （2）M 位于 BC 的中点时，四边形 AQMP 为菱形. ∵M 位于 BC 的中点时,易证△QBM 与△PCM 全等, ∴QM＝PM, ∴四边形 AQMP 为菱形 类型三、菱形的综合应用 4、如图所示，菱形 ABCD 中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF 的两边分别 交 BC、CD 于 E、F． (1)当点 E、F 分别在边 BC、CD 上时，求 CE＋CF 的值． (2)当点 E、F 分别在 CB、DC 的延长线时，CE、CF 又存在怎样的关系，并证明你的结 a a a5 论． 【思路点拨】(1)由菱形的性质可知 AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC 为等边三 角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到 BE＝CF，所以 CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化． 【答案与解析】 解：(1)连接 AC． 在菱形 ABCD 中，BC＝AB＝4，AB∥CD． ∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°． ∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B． ∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°， ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF． ∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4． (2)CE－CF＝4．连接 AC 如图所示． ∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴ ∠EAB＝∠FAC． ∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°， ∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°． ∵ AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF． ∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4． 【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互 相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的 60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形 变 得 更 加 特 殊 ， 常 与 等 边 三 角 形 发 生 联 系 ．6 【巩固练习】 一.选择题 1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 2. 菱形的周长为高的 8 倍，则它的一组邻角是（ ） A.30°和 150° B.45°和 135° C.60°和 120° D.80°和 100° 3．已知菱形的周长为 40 ，两条对角线的长度比为 3：4，那么两条对角线的长分别为 （ ） A．6 ，8 B. 3 ，4 C. 12 ，16 D. 24 ，32 4. （2015•青神县一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则∠CPB 的度数是（　　） A.108° B.72° C.90° D.100° 5.（2016•枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB 于 H，则 DH 等于 （　　） A． B． C．5 D．4 6.如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积 是（　　） A. B.2 C.3 D. 二.填空题 cm cm cm cm cm cm cm cm cm 3 27 7. （2015•江西三模）将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB=3， 则 BC 的长为 ． 8．如图，已知菱形 ABCD，其顶点 A、B 在数轴上对应的数分别为－4 和 1，则 BC＝_____. 9．如图，菱形 ABCD 的边长是 2 ，E 是 AB 中点， 且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为______ . 10．已知菱形 ABCD 的周长为 20 ，且相邻两内角之比是 1∶2，则菱形的两条对角线的长 和面积分别是 ． 11. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC＝8，BD＝6，过点 O 作 OH⊥AB，垂 足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝ ． 12.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝12，BD＝16，E 为 AD 中点，点 P 在 轴上移动，小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标（－5，0）和 （5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标__________________. 三.解答题 13.（2015•建湖县一模）如图，△ABC 中，∠ACB=60°，分别以△ABC 的两边向形外作等边 △BCE、等边△ACF，过 A 作 AM∥FC 交 BC 于点 M，连接 EM． cm 2cm cm x8 求证：（1）四边形 AMCF 是菱形； （2）△ACB≌△MCE． 14. （2016•安顺）如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积． 15．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点（不与端点 重合），且满足 AE＋CF＝2． (1)求证：△BDE≌△BCF； (2)判断△BEF 的形状，并说明理由； (3)设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 2.【答案】A； 【解析】由题意可知边长是高的 2 倍，所以一个内角为 30°，另一个内角为 150°. 3.【答案】C； 【解析】设两条对角线的长为 .所以有 ，∴ ，所以两条 对角线的长为 12 ，16. 4.【答案】B； 【解析】连接 PA，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， 6 , 8k k ( ) ( )2 2 23 4 10k k+ = 2k =9 ∴∠ADP=∠CDP= ∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC， ∵AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P， ∴PA=PD， ∴PD=PC， ∴∠PCD=∠CDP=36°， ∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B． 5.【答案】A. 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°， 由勾股定理得：AB= =5， ∵S 菱形 ABCD= ， ∴ ， ∴DH= ， 故选 A． 6.【答案】A； 【解析】菱形的高分别是 和 ，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝ . 二.填空题 7.【答案】 ． ； 【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO， 由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°， 在 Rt△EBC 中，EC=2EB，又 EC=AE， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC= . 8.【答案】5； 【解析】菱形四条边相等. 3 3 32 9 3 152 3 3 3 3 3 32 4 4 + − − − =10 9.【答案】 ； 【解析】由题意∠A＝60°，DE＝ . 10.【答案】5； ； ； 【解析】菱形一个内角为 60°，边长为 5，所以两条对角线长为 5 和 ，面积为 . 11.【答案】 ； 【解析】 . 12.【答案】 ； 【解析】由在菱形 ABCD 中，AC＝12，BD＝16，E 为 AD 中点，根据菱形的性质与直角三 角形的性质，易求得 OE 的长，然后分别从①当 OP＝OE 时，②当 OE＝PE 时，③ 当 OP＝EP 时去分析求解即可求得答案． 三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC， ∴AF∥BC， ∵AM∥FC， ∴四边形 AMCF 是平行四边形， ∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°， ∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC， ∴四边形 AMCF 是菱形； （2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC， 在△ABC 和△MEC 中 ∵ ， 5 12 2 3 3 5 3 25 3 2 5 3 1 255 5 3 32 2 × × = 4 3 12 5 5 AO BOOH AB × ×= = = ( ) 258,0 , ,08     11 ∴△ABC≌△MEC（SAS）． 14.【解析】 （1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD， ∴BC=AD，∠ABC=∠CDA． 又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD， ∴BE=DF． ∴△ABE≌△CDF． （2）解：∵四边形 AECF 为菱形时， ∴AE=EC． 又∵点 E 是边 BC 的中点， ∴BE=EC，即 BE=AE． 又 BC=2AB=4， ∴AB= BC=BE， ∴AB=BE=AE，即△ABE 为等边三角形， ▱ABCD 的 BC 边上的高可由勾股定理算得为 ， ∴菱形 AECF 的面积为 2 ． 15．【解析】 解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵AB＝BD ∴∠A＝∠ADB＝60° 在△BDE 与△BCF 中 ∴△BDE≌△BCF （2）由（1）得 BE＝BF，∠EBD＝∠CBF ∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60° ∴△BEF 是等边三角形 (3)∵ ≤△BEF 的边长＜2 ∴ BD BC ADB C DE CF = ∠ = ∠  = 3 2 23 3( 3) (2)4 4S≤