导学案——矩形

1 导学案——矩形 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是 一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线 可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对 称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形 的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判 定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直 角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的 直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质 1、如图所示，已知四边形 ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点 P 在矩 形上方，点 Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．2 【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于 90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形， 容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△ PQC(SAS)，从而证得 PA＝PQ． 【答案与解析】 证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°， ∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°． ∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30° (2)∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB＝DC． ∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB． ∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC． ∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ． 【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论 作论据即可． 举一反三： 【变式】如图所示，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 处，点 A 落在 点 处． (1)求证： ； (2)设 AE＝ ，AB＝ ，BF＝ ，试猜想 之间有何等量关系，并给予证明． 【答案】 证明：(1)由折叠可得 ． ∵ AD∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ． (2)猜想 ．理由： 由题意，得 ， ． B′ A′ B E BF′ = a b c a b c、 、 B FE BFE′∠ = ∠ B EF BFE B FE′ ′∠ = ∠ = ∠ B E B F′ ′= B E BF′ = 2 2 2a b c+ = A E AE a′ = = A B AB b′ ′ = =3 由(1)知 ． 在 中，∵ ， ， ， ， ∴ ． 2、如图所示，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于 E，∠CAE＝15 °，求∠BOE 的度数． 【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证 BO＝ BE．由 AE 平分∠BAD 可求∠BAE＝45°得到 AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有 AB＝OB．证 得 BO＝BE． 【答案与解析】 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD． ∴ AO＝BO． ∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°． ∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE． ∴ BE＝AB． ∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°． ∴ △ABO 是等边三角形． ∴ BO＝AB，∠ABO＝60°． ∴ BE＝BO，∠OBE＝30°． ∴ ∠BOE＝ ． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形， 因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决． 类型二、矩形的判定 3、（2016•濠江区一模）如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，∠ CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F，连接 BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若 AB=DB，求证：四边形 DFBE 是矩形． B E BF c′ = = A B E′ ′△ 90A′∠ = ° A E a′ = A B b′ ′ = B E c′ = 2 2 2a b c+ = 1 2 1 2 180 30 752 − =° ° °4 【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出 AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推 出∠ABE=∠CDF，根据 ASA 推出全等即可； （2）根据全等得出 AE=CF，根据平行四边形性质得出 AD∥BC，AD=BC，推出 DE∥BF， DE=BF，得出四边形 DFBE 是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩 形的判定推出即可． 【答案与解析】 证明：（1）在□ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵BE 平分∠ABD，DF 平分∠CDB， ∴∠ABE= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB． ∴∠ABE=∠CDF． ∵在△ABE 和△CDF 中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形 DFBE 是平行四边形， ∵AB=DB，BE 平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°． ∴平行四边形 DFBE 是矩形． 【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角 形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能 力． 举一反三： 【变式】 （2015 春•邗江区期中）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AO=CO，BO=DO 中，且∠ABC+∠ADC=180°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF 的度数是多少？ 【答案】 （1）证明：∵A0=C0，B0=D05 ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形； （2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2， ∴∠FDC=36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO=90°﹣36°=54°， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OC=OD， ∴∠ODC=54° ∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°． 类型三、直角三角形斜边上的中线的性质 4、如图所示，BD、CE 是△ABC 两边上的高，G、F 分别是 BC、DE 的中点． 求证：FG⊥DE． 【答案与解析】 证明：连接 EG、DG，∵ CE 是高， ∴ CE⊥AB． ∵ 在 Rt△CEB 中，G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，同理 DG＝ BC． ∴ EG＝DG． 又∵ F 是 ED 的中点， ∴ FG⊥DE． 【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根 据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角 形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三： 【高清课堂 417081 矩形 例 11】 【变式】如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上 运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB＝2，BC＝1， 运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为（　　） A. B. C. D. 1 2 1 2 2 1+ 5 145 5 5 26 【答案】A； 解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ∵OD≤OE＋DE， ∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC＝1， ∴OE＝AE＝ AB＝1， DE＝ ， ∴OD 的 最 大 值 为 ： . 1 2 2 2 2 21 1 2AD AE+ = + = 2 1+7 【巩固练习】 一.选择题 1. （2015•临沂）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为 1 和 3 两部分，则它的面积为（　 ） A.3 　　　　　　B. 4 　　　　　　C. 12 　　　　D. 4 或 12 　　 3. 如图，矩形 ABCG(AB＜BC)与矩形 CDEF 全等，点 B、C、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点 P 在线段 BD 上移动，使∠APE 为直角的点 P 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的 C 点落在 B′M 或 B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( ) A.85° B.90° C.95° D.100° 5．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE＝( ) A.2 B.3 C. D. 6. （2016•荆门）如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB），点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF ⊥DE，垂足为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） cm cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 22 328 A．△AFD≌△DCE B．AF= ADC．AB=AF D．BE=AD﹣DF 二.填空题 7．（2016•黑龙江）如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB 请你添加一个条件　 　，使四边形 DBCE 是矩形． 8．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，BC 于点 E、F， 连结 CE，则 CE 的长______． 9. 如图所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD＝120°，AB＝4 ，则矩形对角 线 AC 长为________ ． 10.如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为_______. 11.如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，P 是边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＋PF 的值为_________. cm cm9 12.（2015•南漳县模拟）矩形 ABCD 的∠A 的平分线 AE 分 BC 成两部分的比为 1：3，若矩 形 ABCD 的面积为 36，则其周长为　　． 三.解答题 13．（2015•杭州模拟）已知在矩形 ABCD 中，点 E 为边 AD 上一点，点 A 关于 BE 的对称 点 G 位于对角线 BD 上，EG 的延长线交边 BC 于点 F． （1）求证：AE≠ED； （2）求证：△BEF 是等腰三角形； （3）若△BEF 是正三角形，且 AB=1，求 EF 的长． 14.已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的中点． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若 OA＝ BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？说明理由． 15.已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EF＝ED，EF⊥ED． 求证：AE 平分∠BAD． 1 210 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，且 AD=BC， 又∵AD=DE，∴BE∥BC，且 BE=BC，∴四边形 BCED 为平行四边形， A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE 为矩形，故本选项错误； B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形 DBCE 不能为矩形，故本选项正确； C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项错误； D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项错误． 故选 B． 2.【答案】D； 【解析】矩形的短边可能是 1，也可能是 3，所以面积为 4×1 或 4×3. 3.【答案】C； 【解析】当 BP=AB 或 BP=BC 时，∠APE 是直角. 4.【答案】B； 【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝ ∠BMC′＋ ∠CMC′＝ ×180°＝90°. 5．【答案】C； 【解析】过点 C 做 BE 垂线，垂足为 F，易证△BAE≌△CBF，所以 BF＝AE，BE＝CF，所以 总面积＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝ ， . 6.【答案】B. 【解析】（A）由矩形 ABCD，AF⊥DE 可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC． 又∵DE=AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确； （B）∵∠ADF 不一定等于 30°， ∴直角三角形 ADF 中，AF 不一定等于 AD 的一半，故（B）错误； （C）由△AFD≌△DCE，可得 AF=CD， 由矩形 ABCD，可得 AB=CD， ∴AB=AF，故（C）正确； （D）由△AFD≌△DCE，可得 CE=DF， 由矩形 ABCD，可得 BC=AD， 又∵BE=BC﹣EC， ∴BE=AD﹣DF，故（D）正确； 故选 B 2 1 2 1 2 1 2 8BE = 2 2BE =11 二.填空题 7.【答案】EB=DC． 【解析】添加 EB=DC．理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，且 AD=BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=AD， ∴DE=BC， ∴四边形 DBCE 为平行四边形． 又∵EB=DC， ∴四边形 DBCE 是矩形． 故答案是：EB=DC． 8.【答案】 ； 【解析】设 AE＝CE＝ ，DE＝ ， ， . 9.【答案】8； 【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC＝2AO＝2AB＝8 ． 10.【答案】6； 【解析】设 AB＝AF＝ ，BE＝EF＝3，EC＝5，则 CF＝4， ，解得 . 11.【答案】 ； 【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD 中 OD 边上的高＝ . 12.【答案】30 或 10 ； 【解析】∵AE 平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC， ∴∠DEA=∠BEA， ∴∠EAB=∠BEA， ∴AB=BE， ①设 BE=x，CE=3x，则 AD=4x，AB=x， ∵矩形 ABCD 的面积为 36， ∴x•4x=36， 解得：x=3（负舍）， 即 AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30； 13 6 x 3 x− ( )22 23 2x x= − + 13 6x = cm x ( )22 28 4x x+ = + 6x = 12 5 3 4 5 ×12 ②设 BE=3x，CE=x，则 AD=4x，AB=3x， ∵矩形 ABCD 的面积为 36， ∴3x•4x=36， 解得：x= （负舍）， 即 AD=BC=4x=4 ，AB=CD=x= ， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4 + ）=10 ； 故答案为：30 或 10 ． 三.解答题 13.【解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°， ∵点 A 与点 G 关于 BE 对称， ∴BE 垂直平分 AG，∠BAD=∠BGE=90°， ∴AE=EG． 在 Rt△EGD 中，ED＞EG， ∴ED＞AE， 即 AE≠ED； （2）证明：由（1）知∠AEB=∠BEG， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBF， ∴∠BEG=∠EBF， ∴△BEF 是等腰三角形； （3）解：∵△BEF 是正三角形， 则∠AEB=60°，BD=2AB=2， ∵∠ABE=∠EBG=30°， ∴∠DBC=30°， ∴BG⊥EF，EG=GF， ∴BG=GD， 又∵BD=2， 设 EF=2x，则 BG= x． ∴2 x=2， ∴2x= ， 即 EF= ． 14.【解析】 （1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， ∵点 O 是 EF 的中点， ∴OE＝OF， 又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）； （2）解：四边形 ABCD 是矩形．理由如下：13 ∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵OA＝ BD，OA＝ AC， ∴BD＝AC， ∴ ABCD 是矩形． 15.【解析】 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°． ∵EF⊥ED， ∴∠BEF＋∠CED＝90°． ∴∠BFE＝∠CED． 又∵EF＝ED， ∴△EBF≌△DCE． ∴BE＝CD． ∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°． ∴∠EAD＝45°． ∴∠BAE＝∠EAD． ∴AE 平分∠BAD． 1 2 1 2 