导学案——正方形

1 导学案——正方形 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 知识要点】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形， 更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四 个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是 直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互 相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. 2 （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，AQ⊥BE 于 点 Q，DP⊥AQ 于点 P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短 线段长度的差等于 PQ 的长． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出 AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠ AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA 并得出结论；（2）根据 AQ﹣AP=PQ 和全 等三角形的对应边相等进行判断分析． 【答案与解析】 解：（1）∵正方形 ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四 条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等，以及全等三角形的对应边相等． 举一反三：3 【变式 1】如图四边形 ABCD 是正方形，点 E、K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上， 且 CE＝BK＝AG．以线段 DE、DG 为边作 DEFG． (1)求证：DE＝DG，且 DE⊥DG． (2)连接 KF，猜想四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵ CE＝AG， ∴ △DCE≌△DAG， ∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG． 又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°， ∴ DE⊥DG． (2)四边形 CEFK 为平行四边形． 证明：设 CK，DE 相交于 M 点， ∵ 四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG； ∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD． ∴ 四边形 CKGD 为平行四边形． ∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF ∴ 四边形 CEFK 为平行四边形． 【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例 9】 【变式 2】如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中两个正方形的中心， 则阴影部分的面积是_______． 【答案】2； 提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半. 类型二、正方形的判定 2、（2015•闸北区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=CD，点 E 是边 AC 的中点，连接 DE，DE 的延长线与边 BC 相交于点 F，AG∥BC，交 DE 于点 G，连接 AF、 CG． 4 （1）求证：AF=BF； （2）如果 AB=AC，求证：四边形 AFCG 是正方形． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得 AF=CF，再根据等角的余角相等可得 ∠B=∠BAF，所以 AF=BF． （2）由 AAS 可证△AEG≌△CEF，所以 AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形得四边形 AFCG 是平行四边形，进而证得四边形 AFCG 是菱形，最后根据有一个角为 直角的菱形是正方形得证四边形 AFCG 是正方形． 【答案与解析】 证明：（1）∵AD=CD，点 E 是边 AC 的中点， ∴DE⊥AC． 即得 DE 是线段 AC 的垂直平分线． ∴AF=CF． ∴∠FAC=∠ACB． 在 Rt△ABC 中，由∠BAC=90°， 得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°． ∴∠B=∠BAF． ∴AF=BF． （2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE． 又∵点 E 是边 AC 的中点，∴AE=CE． 在△AEG 和△CEF 中， ， ∴△AEG≌△CEF（AAS）． ∴AG=CF． 又∵AG∥CF，∴四边形 AFCG 是平行四边形． ∵AF=CF，∴四边形 AFCG 是菱形． 在 Rt△ABC 中，由 AF=CF，AF=BF，得 BF=CF． 即得点 F 是边 BC 的中点． 又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°． ∴四边形 AFCG 是正方形． 【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形 的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及 其性质． 举一反三：5 【变式】（2015 春•上城区期末）如图，矩形 ABCD 中，AD=6，DC=8，菱形 EFGH 的三个 顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，AH=2，连结 CF． （1）若 DG=2，求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 DG=6，求△FCG 的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形 EFGH 为菱形， ∴HG=EH， ∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH， 在 Rt△DHG 和△AEH 中， ， ∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH， ∵∠AEH+∠AHG=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°， ∵四边形 EFGH 为菱形， ∴四边形 EFGH 为正方形； （2）解：作 FQ⊥CD 于 Q，连结 GE，如图， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE， ∵四边形 EFGH 为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH 和△QGF 中 ， ∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2， ∴△FCG 的面积= CG•FQ= ×2×2=2． 类型三、正方形综合应用6 3、E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 上的点，若∠EBF＝45°． (1)求证：AE＋CF＝EF． (2)若 E 点、F 点分别是边 DA、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请 证明，若不成立，写出正确结论并加以证明． 【答案与解析】 证明：（1）延长 DC，使 CH＝AE，连接 BH， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又 AB＝BC，CH＝AE， ∴ Rt△BAE≌Rt△BCH， ∴ ∠1＝∠2，BE＝BH． 又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°， ∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°， 在△EBF 和△HBF 中， ∴ △EBF≌△HBF， ∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即 AE＋CF＝EF． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE． 证明：在 CF 上截取 CH＝AE，连接 BH． ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ 在 Rt△EAB 和 Rt△HCB 中， ∴ Rt△EAB≌Rt△HCB， ∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC． ∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°． 又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°， 即∠EBF＝∠HBF． 在△EBF 和△HBF 中 , , , BE BH EBF HBF BF BF = ∠ = ∠  = 90 AE CH EAB HCB AB BC = ∠ = ∠ =  = , ° , , , , , BE BH EBF HBF BF BF = ∠ = ∠  =7 ∴ △EBF≌△HBF， ∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即 EF＝CF－AE． 【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补 短”的方法正确地作出辅助线. 4、正方形 ABCD 的对角线交点为 O，如图所示，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，交 OB 于 F， 求证：EC＝2FO． 【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 ，通常采用折半 法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍 法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法． 【答案与解析】 证法一：(间接折半法)如图①所示． ∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6． 而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°． ∴ ∠3＝∠5，BE＝BF． 取 AE 的中点 G，连接 OG， ∵ AO＝OC，∴ OG EC． 由∠7＝∠5，∠8＝∠3， ∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO． ∴ EC＝2OG＝2FO． 证法二：(直接折半法)如图②所示． 由证法一得 BE＝BF． 取 EC 的中点 H，连接 OH． ∵ AO＝OC，∴ OH∥AE． ∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO． ∴ BO＝BH，∴ FO＝EH． ∴ EC＝2EH＝2FO． 证法三：(直接加倍法)如图③所示． 由证法一得 BE＝BF． 在 OD 上截取 OM＝OF，连接 MC． 易证 Rt△AOF≌Rt△COM． ∴ ∠OAF＝∠OCM， ∴ AE∥MC． 由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM， ∴ FM＝EC． 1 2 1 28 ∴ EC＝FM＝2FO． 【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构 造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题． 举一反三： 【变式】在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连 接 EG、CG，如图①，易证 EG＝CG，且 EG⊥CG． (1)将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图②，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位 置关系?请直接写出你的猜想． (2)将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，如图③，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和 位置关系?请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】 解：(1)EG＝CG，且 EG⊥CG． (2)EG＝CG，且 EG⊥CG． 证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG，如图③， ∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴ 四边形 BEMC 是矩形． ∴ BE＝CM，∠EMC＝90°， 又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM． ∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG， ∴ MG＝ FD＝FG． ∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD． ∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴ ∠F＝45°． 又 FG＝DG，∠CMG＝ ∠EMD＝45°， ∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC， 1 2 1 29 ∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC， ∵ MG⊥DF， ∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°， ∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°， ∴ EG⊥CG．10 【巩固练习】 一.选择题 1. 在正方形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别任意取点 E、F、G、H．这样得到的四边形 EFGH 中，是正方形的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．无穷多个 2.（2015•南湖区一模）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动 这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线 BD 的长为 ．当∠B=60° 时（如图乙），则对角线 BD 的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 在 AB 边上．四边形 EFGB 也为正方形，设△AFC 的 面积为 S，则 ( ) A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S 与 BE 长度有关 4.（2016•毕节市）如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边 上的点 E 处，折痕为 GH．若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5. 如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ， ， 则 的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 1S 2S 1 2S S+11 6. 如图，四边形 ABCD 中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形 ABCD 面积为 16，则 DE 的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．8 二.填空题 7．延长正方形 ABCD 的 BC 边至点 E，使 CE＝AC，连结 AE，交 CD 于 F，那么∠AFC 的度数为 ______，若 BC＝4 ，则△ACE 的面积等于______． 8． 在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为 F、G，如果 ，那么 EF＋EG 的长为______． 9．已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，点 O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE ⊥AC，OF⊥AB，点 D，E，F 分别是垂足，且 BC＝8 ，CA＝6 ，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于______ ． 10.如图所示，直线 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B、D 作 DE⊥ 于点 E、BF⊥ 于点 F，若 DE＝4，BF＝3，则 EF 的长为_____. 11. （2016•南京）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则 菱形的边长为　 　cm． cm cm25=AB cm cm cm a a a12 12.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以 AE 为边作第三个正方形 AEGM，…已知正方形 ABCD 的面积 S1=1，按 上述方法所作的正方形的面积依次为 S2，S3，…Sn（n 为正整数），那么第 8 个正方形 面积 S8=　　． 三.解答题 13．（2015•西城区二模）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点， 若点 A 的坐标为（1， ），则点 C 的坐标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 14.如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连结 EB、EA，延长 BE 交边 AD 于点 F． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AFB 的度数． 15．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连结 DP 交 AC 于点 Q．13 (1)试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ； (3)若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D； 【解析】在正方形四边上任意取点 E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形 EFGH 为 正方形，则说明可以得到无穷个正方形． 2.【答案】B； 【解析】解：如图甲， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四边形 ABCD 是正方形， 连接 BD，则 AB2+AD2=BD2， ∴AB=AD=1， 如图乙，∠B=60°，连接 BD， ∴△ABD 为等腰三角形， ∴AB=AD=1， ∴BD= 故选 B． 3. 【答案】A； 【解析】设正方形 EFGB 的边长是 ，则 S＝ 　　　　＝ ×（ ＋2）× ＋ ×2×2－ ×（ ＋2）× ＝2. 4.【答案】B 【解析】由题意设 CH=xcm，则 DH=EH=（9﹣x）cm， ∵BE：EC=2：1， ∴CE= BC=3cm ∴在 Rt△ECH 中，EH2=EC2+CH2， 即（9﹣x）2=32+x2， 解得：x=4，即 CH=4cm． 5.【答案】B； 6 1 a ABC CFGAFGBS S S+ −△ △梯形 a a a a14 【 解 析 】 设 正 方 形 的 边 长 为 ， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 知 ， AC ＝ ， ，∴AC＝2CD，CD＝ .EC＝ ， ，∵ 的边长为 3， 的面积为 3×3＝9，∴ ＝8＋9＝17． 6.【答案】C； 【解析】如图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 F，利用互余关系可得∠A＝ ∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用 AAS 可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝ DF， ＝ ＝16，DE＝4． 二.填空题 7．【答案】112.5°，8 ； 【解析】∠AEC＝∠CEA＝ °，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等 于 . 8．【答案】5 ； 【解析】AC＝BD＝ ，EF＋EG＝ BD＝5. 9．【答案】2； 【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形 ODCE 是正方形，设 CD＝CE＝ ，BD＝BF＝ ，AE＝AF ＝ ，所以 ， ， ，解得 ，即 O 点到三边的距 离. 10.【答案】7； 【解析】因为 ABCD 是正方形，所以 AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又 因为 DE⊥ 、BF⊥ ，根据 AAS 易证△AFB≌△AED，所以 AF＝DE＝4，BF＝AE＝ 3，则 EF 的长＝7． 11.【答案】13. 【解析】因为正方形 AECF 的面积为 50cm2， 所以 AC= cm， 因为菱形 ABCD 的面积为 120cm2， 所以 BD= cm， 2S x 2x 2x CD= 6 23 = 2 2 2 8S = 1S 1S 1 2S S+ ABCDS四边形 S正方形DEBF 2 2cm 180 135 22.52 − = 21 4 2 4 8 22 cm× × = cm 5 2 2 10× = 1 2 x y z 8x y+ = 10y z+ = 6x z+ = 2x = a a15 所以菱形的边长= cm． 故答案为：13． 12.【答案】128； 【解析】根据题意可得：第 n 个正方形的边长是第（n﹣1）个的 倍；故面积是第 （n﹣1）个的 2 倍，已知第一个面积为 1；则那么第 8 个正方形面积 S8=27=128． 故答案为 128． 三.解答题 13.【解析】 解：作 AD⊥轴于 D，作 CE⊥x 轴于 E，如图所示： 则∠ADO=∠OEC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵点 A 的坐标为（1， ）， ∴OD=1，AD= ， ∵四边形 OABC 是正方形， ∴∠AOC=90°，OC=AO， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCE 和△AOD 中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE=AD= ，CE=OD=1， ∴点 C 的坐标为（﹣ ，1）. 14.【解析】 解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC． ∵△CDE 是等边三角形， ∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE． ∴∠ADE＝∠BCE＝30°． ∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠ABE． ∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE， ∴∠DAE＝∠AFB． ∵AD＝CD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA． ∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°， ∴∠AFB＝75°． 15．【解析】 (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ16 ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）； (2)以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 Q 作 QE⊥ 轴于点 E，QF⊥ 轴于点 F． AD×QE＝ ＝ ∴QE＝ ∵点 Q 在正方形对角线 AC 上 ∴Q 点的坐标为 ∴过点 D(0，4)， 两点的函数关系式为： ，当 ＝0 时， ＝ 2，即 P 运动到 AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ； (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD＝QA 或 DA＝DQ 或 AQ＝AD ①当点 P 运动到与点 B 重合时，由四边形 ABCD 是正方形知 QD＝QA 此时△ADQ 是等腰 三角形； ②当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 也重合，此时 DA＝DQ，△ADQ 是等腰三角形； ③如图，设点 P 在 BC 边上运动到 CP＝ 时，有 AD＝AQ ∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ． 又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD， ∴∠CQP＝∠CPQ． ∴CQ＝CP＝ ． ∵AC＝ ，AQ＝AD＝4． ∴ ＝CQ＝AC－AQ＝ －4． 即当 CP＝ －4 时，△ADQ 是等腰三角形． y x 2 1 6 1 ABCDS正方形 3 8 3 4 )3 4,3 4( )3 4,3 4(Q 2 4y x= − + y x 6 1 x x 24 x 24 24