《特殊平行四边形》全章复习与巩固

1 《特殊平行四边形》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些 知识进行有关的证明和计算. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； 高底平行四边形 ×=S2 （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点三、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点四、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 边长×边长＝ ×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、平行四边形 1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以 AB 为腰以点 B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直 角三角形 ABD，以 AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACE，连结 BE、DC，两条线段相 交于点 F，试猜想∠EFC 的度数并说明理由． 2 对角线对角线高＝＝底菱形 ××S 宽＝长矩形 ×S =S正方形 1 23 【答案与解析】 解法一：作 DH//BE 交 EA 延长线于 H，连接 CH 易证四边形 BEHD 为平行四边形 解法二：作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG， ∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°. 又∠AEC=90°， ∴AB∥CE. ∴四边形 BECG 为平行四边形， ∴CE=GB，又 AE=EC， ∴GB=AE. 在△BGD 与△AEB 中， DB=AB，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE， CEH EAB CE=AE CEH= EAB=90 HE=BD=AB CEH EAB SAS CH=BE=DH CHE= ABE CHD=90 EFC= CDH=45  ∠ ∠  ∴ ≅ ∴ ∠ ∠ ∴∠ ∴∠ ∠    在△ 与△ 中 △ △ （ ） ，4 ∴ ， ∴∠GDB=∠ABE，BE=DG. ∵平行四边形 BGCE, ∴∠ABE=∠AGC，BE=GC, ∴∠GDB =∠AGC, GC= DG. ∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°. 于是 是等腰直角三角形， 所以 . 【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解． 类型二、菱形 2、如图，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝ ．对角线 AC，BD 相交于点 O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F. （1）证明：当旋转角为 90°时，四边形 ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数． 【思路点拨】（1）当旋转角为 90°时，∠AOF=90°，由 AB⊥AC，可得 AB∥EF，即可证明四 边形 ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE 即可；（3）当 EF⊥BD 时，四边形 BEDF 为菱形，又由 AB⊥AC，AB=1，BC= ，易求得 OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得 ∠AOF=45°，则可得此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的最小度数为 45°． 【答案与解析】 （1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF， 又 AF∥BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形． △BGD≌△AEB( SAS) CDG△ 45EFC DCG∠ = ∠ =  5 55 （2）证明： 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE. ∴△AOF≌△COE ∴AF＝CE （3）四边形 BEDF 可以是菱形． 理由：如图，连接 BF，DE， 由（2）知△AOF≌△COE，得 OE＝OF， ∴EF 与 BD 互相平分． ∴当 EF⊥BD 时，四边形 BEDF 为菱形． 在 Rt△ABC 中， ， ∴OA＝1＝AB，又 AB⊥AC，∴∠AOB＝45°， ∴∠AOF＝45°， ∴AC 绕点 O 顺时针旋转 45°时，四边形 BEDF 为菱形． 【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂 直的特征证明该平行四边形是菱形. 举一反三： 【变式】已知:如图所示，BD 是△ABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于 E， 交 BC 于点 F.求证:四边形 BFDE 是菱形. 　 【答案】 证明：∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB=ED，∠EBD=∠EDB. 　　　又∵∠EBD= ∠FBD， ∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE， 　　∴四边形 BFDE 是平行四边形. 　　又∵EB=ED， ∴四边形 BFDE 是菱形. 3、在口 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AB，点 E、F 分别是 OA、BC 的中 点．连接 BE、EF．  5 1 2AC = − =6 （1）求证：EF=BF； （2）在上述条件下，若 AC=BD，G 是 BD 上一点，且 BG：GD=3：1，连接 EG、FG，试判断四 边形 EBFG 的形状，并证明你的结论． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形性质推出 BD=2BO，推出 AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出 EF=BF=CF 即可； （2）根据矩形性质和已知求出 G 为 OD 中点，根据三角形中位线求出 EG∥AD，EG= BC，求 出 EG∥BC，EG= BC，求出 BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推 出即可． 【答案与解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD=2BO， ∵BD=2AB， ∴AB=BO， ∵E 为 OA 中点， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∵F 为 BC 中点， ∴EF=BF=CF， 即 EF=BF； （2）四边形 EBFG 是菱形， 证明：连接 CG， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD， ∴BD=2AB=2CD， ∴OC=CD， ∵BG：GD=3：1，OB=OD， ∴G 为 OD 中点， ∴CG⊥OD（三线合一定理）， 即∠CGB=90°， ∵F 为 BC 中点， ∴GF= BC= AD， ∵E 为 OA 中点，G 为 OD 中点， 1 2 1 2 1 2 1 27 ∴EG∥AD，EG= AD， ∴EG∥BC，EG= BC， ∵F 为 BC 中点， ∴BF= BC，EG=GF， 即 EG∥BF，EG=BF， ∴四边形 EBFG 是平行四边形， ∵EG=GF， ∴平行四边形 EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线， 直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行 推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 类型三、矩形 4、（2015 春•青山区期中）如图 1，已知 AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D． （1）求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE． ①如图 2，若 F 为 AD 中点，DF=1.6，求 CF 的长度： ②如图 2，若 CE=4，CF=5，则 AF+BC=　 　，AF=　 ． 【答案与解析】 （1）证明：∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°， ∴∠A=90°， ∴四边形 ABCD 为矩形， （2）解：①延长 DA，CE 交于点 G， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC， ∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB， ∵E 是 AB 边的中点， ∴AE=BE， 1 2 1 2 1 28 在△AGE 和△BCE 中， ， ∴△AGE≌△BCE（AAS）， ∴AG=BC， ∵DF=1.6，F 为 AD 中点， ∴BC=3.2， ∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠BCF， ∵∠DFC=2∠BCE， ∴∠BCE=∠FCE， ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠G， ∴CF=FG=4.8； ②若 CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD， ∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5； 故答案为：5； 设 DF=x， 根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2， 即 52﹣x2=82﹣（5+x）2， 解得：x= ， ∴DG=5+ = ， ∴AD= DG= ， ∴AF=AD﹣DF= ； 故答案为： ． ． 【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、 勾股定理的运用；本题有一定难度. 举一反三： 【变式】如图，O 为△ABC 内一点，把 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四 边形 DEFG．9 （1）四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由； （2）若四边形 DEFG 是矩形，点 0 所在位置应满足什么条件？说明理由． 【答案】 解：（1）四边形 DEFG 是平行四边形．理由如下： ∵D、G 分别是 AB、AC 的中点， ∴DG 是△ABC 的中位线； ∴DG∥BC，且 DG＝ BC； 同理可证：EF∥BC，且 EF＝ BC； ∴DG∥EF，且 DG＝EF； 故四边形 DEFG 是平行四边形； （2）O 在 BC 边的高上且 A 和垂足除外．理由如下： 连接 OA； 同（1）可证：DE∥OA∥FG； ∵四边形 DEFG 是矩形， ∴DG⊥DE； ∴OA⊥BC； 即 O 点在 BC 边的高上且 A 和垂足除外． 5、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点 A 作 AE⊥AB 且 AB=AE，过点 E 分别作 EF⊥AC，ED⊥BC，分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F，D．若 FC=5，求四边形 ABDE 的周长． 【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出 BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出 AB 的 长，进而得出四边形 EFCD 是矩形，求出四边形 ABDE 的周长即可． 【答案与解析】 解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB， ∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°． ∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC， ∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4． 1 2 1 210 在△ABC 和△EAF 中， ∵ ，， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． ∴BC=AF，AC=EF． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9． 在 Rt△ABC 中，AB= . ∴AE= ． ∵ED⊥BC， ∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形 EFCD 是矩形． ∴CD=EF=9，ED=FC=5． ∴四边形 ABDE 的周长=AB+BD+DE+EA= +4+9+5+ =18+2 ． 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识， 根据已知得出 AC=EF=9 是解题关键． 举一反三： 【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形 ABCD 中，AC=6，BD=8，点 P 从点 A 出发 以每秒 1cm 的速度沿射线 AC 移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1cm 的速度沿射线 CA 移 动． （1）经过几秒，以 P，Q，B，D 为顶点的四边形为矩形？ （2）若 BC⊥AC 垂足为 C，求（1）中矩形边 BQ 的长． 【答案】解：（1）当时间 t=7 秒时，四边形 BPDQ 为矩形． 理由如下：当 t=7 秒时，PA=QC=7， ∵AC=6， ∴CP=AQ=1 ∴PQ=BD=8 ∵四边形 ABCD 为平行四边形，BD=8 ∴AO=CO=3 ∴BO=DO=4 ∴OQ=OP=4 ∴四边形 BPDQ 为平形四边形， 3 4 2 B AB AE ∠ = ∠ ∠ = ∠  = 2 2 2 24 9 97CB AC+ = + = 97 97 97 9711 ∵PQ=BD=8 ∴四边形 BPDQ 为矩形， （2）由（1）得 BO=4，CQ=7， ∵BC⊥AC ∴∠BCA=90° BC2+CQ2=BQ2 ∴BQ= ． 类型四、正方形 6、（2016•南京二模）如图，D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AB 的垂直平分线上的一 点，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F． （1）求证：DE=DF； （2）当 CD 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 CEDF 为正方形？请说明理由． 【思路点拨】 （1）由 CD 垂直平分线 AB，可得 AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠ FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD，得出 CE=CF 即可； （2）先证明四边形 CEDF 是矩形，再证出因此 AB=2CD 时，四边形 CEDF 为正方形． 【答案与解析】 （1）证明：∵CD 垂直平分线 AB， ∴AC=CB． ∴△ABC 是等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD=∠BCD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90° ∴∠EDC=∠FDC， 在△DEC 与△DFC 中， ，12 ∴△DEC≌△DFC（ASA）， ∴DE=DF； （2）解：当 AB=2CD 时，四边形 CEDF 为正方形．理由如下： ∵AD=BD，AB=2CD， ∴AD=BD=CD． ∴∠ACD=45°，∠DCB=45°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°， ∴四边形 DECF 是矩形． 又∵DE=DF， ∴四边形 CEDF 是正方形． 【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的 判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题（1）的 关键． 举一反三： 【变式】如图（1），正方形 ABCD 和正方形 CEFG 有一公共顶点 C，且 B、C、E 在一直线上， 连接 BG、DE． （1）请你猜测 BG、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由． （2）若正方形 CEFG 绕 C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和 DE 是否 还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由． 　 　　　　 【答案】 解：(1)BG＝DE，BG⊥DE； 　　　理由是：延长 BG 交 DE 于点 H， 　　　因为 BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE 所以△BCG≌△DCE， 所以 BG＝DE，∠GBC＝∠CDE． 由于∠CDE＋∠CED＝90°， 所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°． 所以 BG⊥DE.13 (2)上述结论也存在． 理由：设 BG 交 DE 于 H，BG 交 DC 于 K， 同理可证△BCG≌△DCE， 得 BG＝ED，∠KBC＝∠KDH． 又因为∠KBC＋∠BKC＝90°， 可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°． 所以 BG⊥DE.14 【巩固练习】 一.选择题 1. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积 是矩形面积的( ). 　 　　A. 　　　B. 　　　 C. 　　　D. 2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）. A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上 的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开， 得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）. A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2 4. 如图，在矩形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上的动点,点 R 是 CD 边上的定点。点 E、F 分别是 AP,PR 的中点。当点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动时，下列结论成立的是（ ）. A. 线段 EF 的长逐渐变大； B. 线段 EF 的长逐渐减小； C. 线段 EF 的长不改变； D. 线段 EF 的长不能确定. 5. 如图是一块矩形 ABCD 的场地，长 AB＝102 ，宽 AD＝51 ，从 A、B 两处入口的中路宽 都为 1 ，两小路汇合处路宽为 2 ，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ). A.5 050 B.4 900 C.5 000 D.4 998 m m m m 2m 2m 2m15 6.如图，矩形 ABCD 的周长是 20 ，以 AB、CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若 正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68 ,那么矩形 ABCD 的面积是　　）. A．21 B．16 C．24 D．9 7. 正方形内有一点 A，到各边的距离从小到大依次是 1、2、3、4，则正方形的周长是 （ ） . Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25 8．（2015•陕西模拟）如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（　　） A. B. C. D. 二.填空题 9.（2015 春•南长区期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的取值范围是　 　． 10．在正方形 ABCD 中，E 在 AB 上，BE＝2，AE＝1，P 是 BD 上的动点，则 PE 和 PA 的长度之 和最小值为___________． 2m cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 2 3 1 2 3 2 2 216 11．如图，矩形 ABCD 的面积为 5，它的两条对角线交于点 O1，以 AB，AO1 为两邻边作平行 四边形 ABC1O1，平行四边形 ABC1O1 的对角线交于点 O2，同样以 AB，AO2 为两邻边作平行 四边形 ABC2O2……依此类推，则平行边形 的面积为___________． 12. （2016•贵州）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=10，则菱形 ABCD 的面积 为　　． 13.已知菱形的两条对角线长分别是 6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2. 14. 如图所示，是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6 个颜色不同的正方形组成，设中 间最小的一个正方形边长为 1，则这个矩形的面积为________． 15. 如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将△ABE 向上翻折， 点 A 正好落在 CD 上的 F 处，若△FDE 的周长为 8，△FCB 的周长为 22，则 FC 的长为 ________． n nABC O17 16. 如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△ PCD、△PDA，设它们的面积分别是 ，给出如下结论： ① ② ③若 ，则 ④若 ，则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是___________(把所有正确结论的序号都填在横线上)． 三.解答题 17. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°．CD⊥AD， ． (1)求证：AB＝BC． (2)当 BE⊥AD 于 E 时，试证明 BE＝AE＋CD． 18. （2016•衢州）如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线． （1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作图痕迹， 不写作法和证明）． （2）连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由． 19. 探究问题： (1)方法感悟： 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足∠EAF＝45°，连 接 EF，求证 DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点 A 顺时针旋 转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点 G，B，F 在同一 条直线上． 1 2 3 4S S S S、 、 、 1 2 3 4S S S S+ = + 1 3 2 4S S S S+ = + 3 1S S=2 4 2S S=2 1 2S S= 2 2 22AD CD AB+ =18 ∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又 AG＝AE，AF＝AF ∴ △GAF≌△________． ∴ _________＝EF，故 DE＋BF＝EF． (2)方法迁移： 如图，将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF＝ ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． 20.在口 ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． (1)在图①中证明 CE＝CF； (2)若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点(如图②)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB、DG(如图③)，求∠BDG 的度数． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S 阴影=S△COD= S 矩形 ABCD. 2．【答案】A； 3.【答案】A； 【解析】由题意知 AC⊥BD,且 AC= 4 cm，BD= 5 cm， 1 219 所以 . 4.【答案】C； 【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半. 5.【答案】C； 【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移 1 ，向下平移 1 ，三块草坪拼成了一个长为 100 ，宽为 50 的矩形，因此 草坪的面积为 100×50＝5 000 . 6.【答案】B； 【解析】设两个正方形的边长分别为 ,根据题意得： ， 则 ，解得 . 7.【答案】B； 【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半. 8.【答案】D； 【解析】连接 BP，过 C 作 CM⊥BD. S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ× +BE×PR× =BC×（PQ+PR）× =BE×CM× ， ∵BC=BE， ∴PQ+PR=CM， ∵BE=BC=1，且正方形对角线 BD= BC= ， 又∵BC=CD，CM⊥BD， ∴M 为 BD 中点，又△BDC 为直角三角形， ∴CM= BD= ， 即 PQ+PR= ． 故选：D． 二.填空题 9.【答案】 ； 【解析】根据已知条件得四边形 AEPF 是矩形， ∴AP=EF， ∵∠BAC=90°，M 为 EF 中点， ∴AM= EF= AP， ∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12， ∴BC= =13， 当 AP⊥BC 时，AP 值最小， 21 1 4 5 10 cm )2 2S AC BD= ⋅ = × × =菱形 （    =+ =+ 10 6822 yx yx m m m m 2m x y， 2 2 2 100,x y xy+ + = 16xy = 30 613 AM≤ ＜20 此时 S△BAC= ×5×12= ×13×AP， ∴AP= ， 即 AP 的范围是 AP≥ ， ∴2AM≥ ， ∴AM 的范围是 AM≥ ， ∵AP＜AC， 即 AP＜12， ∴AM＜6， . 10．【答案】 ； 【解析】连接 CE，因为 A，C 关于 BD 对称，所以 CE 为所求最小值 . 11．【答案】 ； 【解析】 每一次变化，面积都变为原来的 . 12.【答案】30. 【解析】∵在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=10， ∴菱形 ABCD 的面积为： AC•BD=30． 13.【答案】20；24； 14.【答案】143； 【解析】设正方形①的边长为 ，则正方形②③④⑤的边长分别为 ， ＋1， ＋2， ＋3，则 AD＝ ＋2＋ ＋3＝2 ＋5，BC＝ ＋ ＋ ＋1＝3 ＋1， 所以 2 ＋5＝3 ＋1，所以 ＝4，所以 BC＝13，AB＝2 ＋3＝11．所以矩形面积＝ 13×11＝143． 15.【答案】7； 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以 BE 为折痕， 将△ABE 向上翻折到△FBE 的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知 DE＋DF＋EF＝8， 即 AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．① 又∵ BF＋BC＋FC＝ 22，即 AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得 FC＝7． 16.【答案】②④； 【解析】 与 的面积均为矩形面积的一半，故②正确； ，说明这两个 三角形的高相等，（底边均为 AP），则 P 点满足在矩形的对角线上. 三.解答题 ⋅n2 5 30 613 AM∴ ≤ ＜ 13 13 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3S S+ 2 4S S+ 1 2S S=21 17.【解析】 (1)证明：连接 AC ∵ ∠ABC＝90°，∴ ． ∴ CD⊥AD，∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ AB＝BC． (2)证明：过 C 作 CF⊥BE 于 F． ∵ BE⊥AD， ∴ 四边形 CDEF 是矩形． ∴ CD＝EF． ∵ ∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴ ∠BAE＝∠CBF， ∴ △BAE≌△CBF． ∴ AE＝BF． ∴ BE＝BF＋EF＝AE＋CD． 18.【解析】 解：（1）如图所示，EF 为所求直线； （2）四边形 BEDF 为菱形，理由为： 证明：∵EF 垂直平分 BD， ∴BE=DE，∠DEF=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE， ∴∠BEF=∠BFE， ∴BE=BF， ∵BF=DF， ∴BE=ED=DF=BF， ∴四边形 BEDF 为菱形． 19. 解：(1)EAF、△EAF、GF． (2)DE＋BF＝EF，理由如下： 假设∠BAD 的度数为 m，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 m°得到△ABG，如图，此时 AB 与 AD 2 2 2AB BC AC+ = 2 2 2AD CD AC+ = 2 2 22AD CD AB+ = 2 2 22AB BC AB+ =22 重合，由旋转可得： AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°， ∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ． ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝ ． 即∠GAF＝∠EAF． 又 AG＝AE，AF＝AF． ∴ △GAF≌△EAF． ∴ GF＝EF． 又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF， ∴ DE＋BF＝EF． 20. 【解析】 (1)证明：如图① ∵ AF 平分∠BAD， ∴ ∠BAF＝∠DAF ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥CD． ∴ ∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F． ∴ ∠CEF＝∠F． ∴ CE＝CF (2)∠BDG＝45° (3)解：分别连接 GB、GE、GC(如图③) ∵ AB∥DC，∠ABC＝120° ∴ ∠ECF＝∠ABC＝120° ∵ FG∥CE 且 FG＝CE． ∴ 四边形 CEGF 是平行四边形． 由(1)得 CE＝CF， 平行四边形 CEGF 是菱形． ∴ EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝ ∠ECF＝60° ∴ △ECG 是等边三角形 ∴ EG＝CG， ① ∠GEC＝∠EGC＝60° 1 2EAF m∠ = ° 1 12 3 2 2BAD EAF m m m∠ + ∠ = ∠ − ∠ = − =° ° ° 1 2 m° 1 223 ∴ ∠GEC＝∠GCF． ∴ ∠BEG＝∠DCG． ② 由 AD∥BC 及 AF 平分∠BAD 可得∠BAE＝∠AEB． ∴ AB＝BE． 在平行四边形 ABCD 中，AB＝DC． ∴ BE＝DC． ③ 由①②③得△BEG≌△DCG． ∴ BG＝DG．∠1＝∠3． ∴ BGD＝∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60° ∴ 180 602 BGDBDG ∠∠ = =°- °