一元二次方程的解法（二）配方法

1 一元二次方程的解法（二）配方法 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力。 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次 方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为 的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 ． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而 比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出 待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中 也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不 等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 2 2 22 ( )a ab b a b± + = ±2 【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程 1. （2016 春•石景山区期末）用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0． 【思路点拨】首先将二次项系数化为 1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上 9，左边化为完 全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：2x2﹣12x﹣2=0， 系数化为 1 得：x2﹣6x﹣1=0， 移项得：x2﹣6x=1， 配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10， 开方得：x﹣3=± ， 则 x1=3+ ，x2=3﹣ ． 【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为 1， 常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方 转化为两个一元一次方程来求解． 举一反三： 【高清 ID 号：388499 关联的位置名称（播放点名称）：用配方法解一般的一元二次方程例 2、用配方法解含字母系数的一元 二次方程例 3】 【变式】 用配方法解方程 （1） （2） 【答案】（1） . （2） 2 0x px q+ + = 22 3 5x x+ = 22 5 3x x− = − 2 5 3 2 2x x− = − 2 2 25 5 3 5( ) ( )2 4 2 4x x− + = − + 25 1( )4 16x − = 5 1 4 4x − = ± 1 2 3 , 12x x= = 2 0x px q+ + = 2 2 2( ) ( )2 2 p px px q+ + = − +3 ①当 时，此方程有实数解， ； ②当 时，此方程无实数解. 类型二、配方法在代数中的应用 2. 用配方法证明 的值小于 0． 【思路点拨】 本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一 致． 【答案与解析】 ． ∵ ，∴ ， 即 ．故 的值恒小于 0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个 常数的式子来证明． 举一反三： 【变式】试用配方法证明：代数式 的值不小于 ． 【答案】 2 2 4( )2 4 p p qx −+ = 2 4 0p q− ≥ 2 2 1 2 4 4,2 2 p p q p p qx x − + − − − −= = 2 4 0p q− ＜ 210 7 4x x− + − 2 2 2 710 7 4 ( 10 7 ) 4 10 410x x x x x x − + − = − + − = − − −   2 7 49 4910 410 400 400x x = − − + − −   27 4910 420 400x   = − − − −      2 27 49 7 11110 4 1020 40 20 40x x   = − − + − = − − −       2710 020x − − ≤   27 11110 020 40x − − −