一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法

1 一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　　　一元二次方程 ，当 时， . 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： ． 　　　 ①当 时，原方程有两个不等的实数根 ； 　　　 ②当 时，原方程有两个相等的实数根 ； 　　　 ③当 时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　 用公式法解关于 x 的一元二次方程 的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定 a、b、c 的值（要注意符号）； 　　　 ③求出 的值； 　　　 ④若 ，则利用公式 求出原方程的解； 　　　 　若 ，则原方程无实根. 要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的 选用. （2）一元二次方程 ，用配方法将其变形为： ①当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 2 2 4( )2 4 b b acx a a −+ = 2 4 0b ac∆ = − > 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −=2 ② 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当 时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为 0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个 等于 0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除 以含有未知数的代数式. 【典型例题】 类型一、公式法解一元二次方程 1．解关于 x 的方程 ． 【答案与解析】 (1)当 m+n＝0 且 m≠0，n≠0 时，原方程可化为 ． ∵ m≠0，解得 x＝1． (2)当 m+n≠0 时， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论． 举一反三： 【高清 ID 号：388515 2 4 0b ac∆ = − = 1,2 2 bx a = − 2 4 0b ac∆ = − < 2( ) (4 2 ) 5 0m n x m n x n m+ + − + − = (4 2 ) 5 0m m x m m+ − − = a m n= + 4 2b m n= − 5c n m= − 2 2 24 (4 2 ) 4( )( 5 ) 36 0b ac m n m n n m m− = − − + − = ≥ 22 4 36 2 4 | 6 | 2( ) 2( ) n m m n m mx m n m n − ± − ±= =+ + 1 1x = 2 5n mx m n −= +3 关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例 2 练习】 【变式】解关于 的方程 ； 【答案】原方程可化为 ∵ ∴ ∴ ∴ 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案与解析】 方程整理为 ， ∴ ，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解. 举一反三： 【高清 ID 号：388515 关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例 5（3）】 【变式】用公式法解下列方程： 【答案】∵ ∴ ∴ ∴ x 2 22 3 ( 1)x mx mx x m+ + = + ≠ 2(1 ) ( 3) 2 0,m x m x− + − + = 1 , 3, 2,a m b m c= − = − = 2 2 24 ( 3) 8(1 ) ( 1) 0b ac m m m− = − − − = + ≥ ， 23 ( 1) 3 ( 1) ,2(1 ) 2(1 ) m m m mx m m − ± + − ± += =− − 1 2 2 , 1.1x xm = =− 2 24 21 4 5 4 0m m m m m− − + + − − = 2 2 13 0m m− − = 2 24 ( 2) 4 1 ( 13) 56b ac− = − − × × − = 2 4 ( 2) 56 2 2 1 b b acm a − ± − − − ±= = × 2 2 14 1 142 ±= = ± 1 1 14m = + 2 1 14m = − 21, 3 , 2 ,a b m c m= = − = 2 2 2 24 ( 3 ) 4 1 2 0b ac m m m− = − − × × = ≥ 23 3 2 2 m m m mx ± ±= = 1 22 , .x m x m= =4 类型二、因式分解法解一元二次方程 3．（2016•荆门）已知 3 是关于 x 的方程 x2﹣（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个 实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10 或 11 【思路点拨】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰 △ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【答案】D 【解析】 解：把 x=3 代入方程得 9﹣3（m+1）+2m=0， 解得 m=6， 则原方程为 x2﹣7x+12=0， 解得 x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长， ①当△ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则△ABC 的周长为 4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则△ABC 的周长为 3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为 10 或 11． 故选：D． 【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系． 举一反三： 【变式】解方程（2015·茂名校级一模） （1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0． 【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 ∴x-3=0，x+1=0 ∴x1=3,x2=-1. （2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0 ∴x-1=0，3x-1=0 ∴x1=1,x2= . 4．如果 ，请你求出 的值． 【答案与解析】 设 ，∴ z(z-2)＝3． 整理得： ，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ ，∴ z＝-1(不合题意，舍去) ∴ z＝3． 即 的值为 3． 2 2 2 2( )( 2) 3x y x y+ + − = 2 2x y+ 2 2x y z+ = 2 2 3 0z z− − = 2 2 0z x y= + > 2 2x y+ 1 35 【总结升华】如果把 视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式 分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求 x、y 的值，然后计算 ，但实际上如果把 看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设 再求 z 值，从而求出 的值实际就是换元思想的运用． 易 错 提 示 : 忽 视 ， 而 得 或 ． 2 2x y+ 2 2x y+ 2 2x y+ 2 2z x y= + 2 2x y+ 2 2 0x y+ > 2 2 3x y+ = 2 2 1x y+ = −6 【巩固练习】 一、选择题 1. （2016•天津）方程 x2+x﹣12=0 的两个根为（　　） A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3 2．整式 x+1 与整式 x-4 的积为 x2-3x-4，则一元二次方程 x2-3x-4＝0 的根是( )． A．x1＝-1，x2＝-4 B．x1＝-1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝-4 3．如果 x2+x-1＝0，那么代数式 的值为( ) A．6 B．8 C．-6 D．-8 4．若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0 的常数项为 0，则 m 的值等于( ) A．1 B．2 C．1 或 2 D．0 5．若代数式 的值为零，则 x 的取值是( )． A．x＝2 或 x＝1 B．x＝2 且 x＝1 C．x＝2 D．x＝-1 6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2-7x+10=0 的两根，则该等腰三角形周长是 ( )． A．12 B．9 C．13 D．12 或 9 二、填空题 7．已知实数 x 满足 4x2-4x+1＝0，则代数式 的值为________． 8．已知 y＝x2+x-6，当 x＝________时，y 的值是 24． 9．若方程 可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则 m＝________，n＝________． 10．若规定两数 a、b 通过“※”运算，得到 4ab，即 a※b＝4ab，例如 2※6＝4×2×6＝48． (1)则 3※5 的值为 ； (2)则 x※x+2※x-2※4＝0 中 x 的值为 ； (3)若无论 x 是什么数，总有 a※x＝x，则 a 的值为 ． 11．阅读下面的材料，回答问题： 解方程 x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y2﹣5y+4=0 ①，解得 y1=1，y2=4． 当 y=1 时，x2=1，∴x=±1； 当 y=4 时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　　法达到　　的目的，体现了数学的转化思想． （2）方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0 的解为 ． 12．（2016•柘城县校级一模）三角形两边的长分别是 8 和 6，第 3 边的长是一元二次方程 x2﹣16x+60=0 的一个实数根，则该三角形的面积是　 　． 3 22 7x x+ − ( 2)( 1) | | 1 x x x − − − 12 2x x + 2x mx n+ +7 三、解答题 13. 用公式法解下列方程： （2） ． 14．(2015 春·北京校级期中)用适当方法解下列方程： （1）（2x-3）2=25 (2)x2-4x+2=0 (3)x2-5x-6=0 15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想? ① 方 程 x2+2x+1 ＝ 0 的 根 为 x1 ＝ ________ ， x2 ＝ ________ ， x1+x2 ＝ ________ ， x1 · x2 ＝ ________． ② 方 程 x2-3x-1 ＝ 0 的 根 为 x1 ＝ ________ ， x2 ＝ ________ ， x1+x2 ＝ ________ ， x1 · x2 ＝ ________． ③ 方 程 3x2+4x-7 ＝ 0 的 根 为 x1 ＝ _______ ， x2 ＝ ________ ， x1+x2 ＝ ________ ， x1 · x2 ＝ ________． (2)利用求根公式计算：一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0，且 b2-4ac≥0)的两根为 x1＝________， x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题： 设 x1、x2 是方程 2x2+3x-1＝0 的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ① ； ② ． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D 【解析】x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则 x+4=0，或 x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．故选 D． 2．【答案】B； 【解析】∵ ，∴ 的根是 ， ． 3．【答案】C． 【解析】∵ ，∴ ． ∴ ． 4.【答案】B； 【解析】由常数项为 0 可得 m2-3m+2＝0，∴ (m-1)(m-2)＝0，即 m-1＝0 或 m-2＝0， ∴ m＝1 或 m＝2，而一元二次方程的二次项系数 m-1≠0，∴ m≠1，即 m＝2． 5．【答案】C； 【解析】 且 ，∴ ． 6．【答案】A ； 【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是 5，5，2，其周长为 12． 2(1) 2 1 0x ax− − = ； 2 2 2 2 2( 1) ( )ab x a x b x a b+ = + > 1 2 1 1 x x + 2 2 1 2x x+ 2 3 4 ( 1( 4)x x x x− − = + − 2 3 4 0x x− − = 1 1x = − 2 4x = 2 1 0x x+ − = 2 1x x+ = ( 2)( 1) 0x x− − = | | 1x ≠ 2x = 3 2 3 2 2 2 2 22 7 7 ( ) 7 7 1 7 6x x x x x x x x x x x+ − = + + − = + + − = + − = − = −8 二、填空题 7．【答案】2； 【解析】用因式分解法解方程 得原方程有两个等根，即 ， 所以 ． 8．【答案】5 或-6； 【解析】此题把 的值代入得到关于 的一元二次方程，解之即可． 如：根据题意，得 ，整理得 ，解得 ， ． 9．【答案】 1 ； -12 ； 【解析】 ，∴ m＝1，n＝-12． 10．【答案】(1)60；(2) ， ；(3) ． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60； (2)∵ ※ +2※ ※4＝ ，∴ ， ； (3)∵ ※ ， ， ∴ 只有 ，等式才能对任何 值都成立． ∴ ． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x1=﹣3，x2=2． 【解析】解：（1）换元，降次 （2）设 x2+x=y，原方程可化为 y2﹣4y﹣12=0， 解得 y1=6，y2=﹣2． 由 x2+x=6，得 x1=﹣3，x2=2． 由 x2+x=﹣2，得方程 x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为 x1=﹣3，x2=2． 12.【答案】24 或 8 ． 【解析】解：∵x2﹣16x+60=0， ∴（x﹣6）（x﹣10）=0， 解得：x1=6，x2=10， 当 x=6 时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高， ∴BD=4，AD= =2 ， ∴S△ABC= BC•AD= ×8×2 =8 ； 当 x=10 时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°， 24 4 1 0x x− + = 1 2 1 2x x= = 12 1 1 22x x + = + = y x 2 6 24x x+ − = 2 30 0x x+ − = 1 5x = 2 6x = − 2 2( 3)( 4) 12x mx n x x x x+ + = − + = + − 1 2x = 2 4x = − 1 4a = x x 2x − 24( 2 8) 0x x+ − = 1 2x = 2 4x = − a 4x ax= = x 4 (4 1) 0ax x a x− = − = 4 1 0a − = x 1 4a =9 S△ABC= BC•AC= ×8×6=24． ∴该三角形的面积是：24 或 8 ． 故答案为：24 或 8 ． 　 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）∵ ∴ ∴ ∴ （2） ， 即 ， 令 A＝ab，B＝ ，C＝ab． ∵ ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ． 14.【答案与解析】 解：（1）直接开平方得：2x-3=±5， ∴2x-3= 5 或 2x-3=-5 1, 2 , 1,a b a c= = − = − 2 2 24 ( 2 ) 4 1 ( 1) 4 4 0b ac a a− = − − × × − = + ＞ 2 22 4 4 12 a ax a a ± += = ± + 2 2 1 21, 1.x a a x a a= + + = − + 2 2 2( 1)ab x a x b x+ = + 2 2 2( ) 0abx a b x ab− + + = 2 2( )a b− + 22 2 2 2 2 24 ( ) 4 ( ) 0B AC a b ab ab a b − = − + − • = −  ＞ ， 2 2 2 2 24 ( ) 2 2 B B AC a b a bx A ab − ± − + ± −= = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b a b a ax ab ab b + + −= = = 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b a b b bx ab ab a + − −= = = 1 ax b = 2 bx a =10 ∴x1= 4，x2= -1 （2）∵a=1,b=-4,c=2, ∴△=b2-4ac=16-8=8. ∴ ∴ （3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0 ∴ x-6= 0 或 x+1=0 ∴x1= 6，x2= -1. 15.【答案与解析】 (1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数． ① -1 ； -1 ； -2 ； 1. ② ； ； 3 ；-1. ③ ； 1 ； ； . (2) ； ； ； . (3) ， ． ① ． ② ． 3 13 2 + 3 13 2 − 7 3 − 4 3 − 7 3 − 2 4 2 b b ac a − + − 2 4 2 b b ac a − − − b a − c a 1 2 3 2x x+ = − 1 2 1 2x x = − 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 31 2 x x x x x x −++ = = = − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 9 1 9 13( ) 2 2 14 2 4 4x x x x x x  + = + − = − × − = + =   4 2 2 =2 22x ±= ± ， 1 2=2 2 =2 2 .x x+ −，