一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【学习目标】 1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的 根的判别式，通常用“ ”来表示，即 （1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； （2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根； （3）当△ 1 2 0x x > 1 2 0x x+ > 1 2 0x x > 1 2 0x x+ 1 2 0x x < 1 2 0x x+ < ∆ a b+ a b− a b4 解得：k≤ ，且 k≠0. 则 k 的非负整数值为 1． 2.已知关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 m 的取值范围是________ 【答案】 且 m≠1 【解析】因为方程 有实数根，所以 ，解得 ， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即 ， ∴ m 的取值范围是 且 m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即 ，m≠1． 举一反三： 【高清 ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例 4（1）】 【变式】已知：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围. 【答案】 . 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 3. （2016•绥化）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2m=0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）若 x1，x2 是一元二次方程 x2+2x+2m=0 的两个根，且 x12+x22=8，求 m 的值． 【思路点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等 式即可得出结论； （2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出 x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出 x12+x22= ﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于 m 的一元一次方程，解方程即可求出 m 的值， 经验值 m=﹣1 符合题意，此题得解． 【答案与解析】 解：（1）∵一元二次方程 x2+2x+2m=0 有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0， 解得：m＜ ． ∴m 的取值范围为 m＜ ． （2）∵x1，x2 是一元二次方程 x2+2x+2m=0 的两个根， 2( 1) 1 0m x x− + + = 5 4m ≤ 2( 1) 1 0m x x− + + = 21 4( 1) 4 5 0m m= − − = − + ≥△ 5 4m ≤ ( 1) 0m − ≠ 5 4m ≤ ( 1) 0m − ≠ 2 ( 1) 04 kkx k x+ + + = 1 02k k ≠＞－ 且5 ∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m， ∴x12+x22= ﹣2x1•x2=4﹣4m=8， 解得：m=﹣1． 当 m=﹣1 时，△=4﹣8m=12＞0． ∴m 的值为﹣1． 【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题 的关键是：（1）结合题意得出 4﹣8m＞0；（2）结合题意得出 4﹣4m=8．本题属于基础题， 难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键． 举一反三： 【高清 ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例 3】 【变式】不解方程，求方程 的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1） ； （2）3． 4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 各根的负倒数． 【答案与解析】 设方程 的两根分别为 x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系， 得 ， ． 设所求方程为 ，它的两根为 y1、y2， 由一元二次方程根与系数的关系得 ， ， 从而 ， ． 故所求作的方程为 ，即 ． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两 个数 为根的一元二次方程是 .”可以用这种语言形式记忆“ 和 积 ＝ 0 ”， 或 “ 减 和 加 积 ”， 此 处 的 一 次 项 系 数 最 容 易 出 现 符 号 上 的 错 误 ． 22 3 1 0x x+ − = 13 4 25 2 3 0x x+ − = 25 2 3 0x x+ − = 1 2 2 5x x+ = − 1 2 3 5x x = − 2 0y py q+ + = 1 1 1y x = − 2 2 1y x = − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 25( ) 3 3 5 x xp y y x x x x x x −  += − + = − − − = + = = =    − 1 2 1 2 1 2 1 1 1 5 3q y y x x x x    = = − − = = −         2 2 5 03 3y y+ − = 23 2 5 0y y+ − = 2x − x +6 【巩固练习】 一、选择题 1. 关于 x 的方程 无实数根，则 m 的取值范围为( )． A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1 且 m≠0 D．m＞-1 2．（2015•烟台）等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的 两根，则 n 的值为（ ）. A．9 B．10 C．9 或 10 D．8 或 10 3．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值为（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 4．设 a，b 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）． A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 5．若 ab≠1，且有 ，及 ，则 的值是（ ）． A． B． C． D． 6．超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业额共 1000 万元， 如果平均每月增长率为 x，则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 　　　　 　 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 　　　　 　D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题 7．已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，那么 m 的最大整数值是________． 8．关于 x 的一元二次方程 无实数根，则 m 的取值范围是__ ___． 9．（2015•曲靖）一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若 c 是整数， 则 c=　　．（只需填一个）． 10．在Rt△ABC 中，∠C=900，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 的两根，那么 AB 边上的中线长是 . 11．（2016•南京）设 x1、x2 是方程 x2﹣4x+m=0 的两个根，且 x1+x2﹣x1x2=1，则 x1+x2=　 　， m=　 　． 12．已知：关于 x 的方程 ①的两个实数根的倒数和等于 3，关于 x 的方程 ②有实数根且 k 为正整数，则代数式 的值为 . 2 2 1 0mx x+ + = 1x 2x 22 1 0x x+ − = 1 2 1 1 x x + 2 2013 0x x+ − = 2 2a a b+ + 25 2012 9 0a a+ + = 29 2012 5 0b b+ + = a b 9 5 5 9 2012 5 − 2012 9 − 2 21 ( 3) 04 x m x m− − + = 2 2(2 1) 1 0x m x m− + + + − =7 三、解答题 13. 已知关于 x 的方程 的两根的平方和等于 ，求 m 的值． 14．（2016•南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+（2m+1）=0 有实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2+x1+x2≥20，求 m 的取值范围． 15．（2015•峨眉山市一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根 x1、 x2． （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程的两实数根 x1、x2 满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求 k 的值． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B； 【解析】当 m＝0 时，原方程的解是 ；当 m≠0 时，由题意知△＝2 2-4·m×1＜0，所以 m＞ 1． 2．【答案】B ； 【解析】∵三角形是等腰直角三角形， ∴①a=2，或 b=2，②a=b 两种情况， ①当 a=2，或 b=2 时， ∵a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两根， ∴x=2， 把 x=2 代入 x2﹣6x+n﹣1=0 得，22﹣6×2+n﹣1=0， 解得：n=9， 当 n=9，方程的两根是 2 和 4，而 2，4，2 不能组成三角形， 故 n=9 不合题意， ②当 a=b 时，方程 x2﹣6x+n﹣1=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0 解得：n=10， 故选 B． 3．【答案】C ； 【 解 析 】 由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 知 ： ， ， 从 而 ． 22 2 1 0x mx m− − + = 29 4 1 2x = − 1 2 1 2x x+ = − 1 2 1 2x x = − 1 2 1 2 1 2 1 1 1x x x x x x ++ = =8 4.【答案】C； 【 解 析 】 依 题 意 有 ， ， ∴ ． 5．【答案】A ； 【解析】因为 及 ， 于是有 及 ， 又因为 ，所以 ，故 a 和 可看成方程 的两根， 再运用根与系数的关系得 ，即 ． 6．【答案】D； 【解析】一月份的营业额为 200 万元；二月份的营业额为 200（1+x）万元； 三月份的营业额为 200（1+x）2 万元；一季度的总营业额共 1000 万元， 所以 200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，故选 D. 二、填空题 7．【答案】1； 【解析】由题意知△＝ ，所以 ，因此 m 的最大整数值是 1． 8．【答案】 ； 【解析】因为关于 x 的一元二次方程 无实数根， 所以 ，解得 ． 9．【答案】4； 【解析】∵一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得 c＜ ， ∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c 是整数， ∴c=4． 故答案为：4． 10．【答案】 ； 【解析】因直角三角形两直角边 a、b 是方程的二根， ∴有 a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知 c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得 c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为 . 2 2013a a+ = 1a b+ = − 2 22 ( ) ( ) 2013 1 2012a a b a a a b+ + = + + + = − = 25 2012 9 0a a+ + = 29 2012 5 0b b+ + = 25 2012 9 0a a+ + = 21 15( ) 2012 9 0b b + • + = 1ab ≠ 1a b ≠ 1 b 25 2012 9 0x x+ + = 1 9 5a b • = 9 5 a b = 2 21[ ( 3)] 4 04m m− − − × × > 3 2m < 5 4m < − 2 2(2 1) 1 0x m x m− + + + − = 2 2(2 1) 4 ( 1)(1 ) 0m m+ − × − − < 5 4m < −9 11【答案】4；3． 【解析】∵x1、x2 是方程 x2﹣4x+m=0 的两个根，∴x1+x2=﹣ =4，x1x2= =m．∵ x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1， ∴m=3． 12.【答案】0. 【解析】先根据根与系数的关系求得 a 值，a=-1,再将 a=-1 代入到第二个方程. 因第二个方程一定有实根，由△≥0 得 ，因为 k 为正整数， 当 时，分母为 0，故舍去，所以 k=1, 当 k=1 时. . 三、解答题 13. 【答案与解析】 解：设方程的两根为 x1、x2，则由根与系数关系， 得 ， ． 由题意，得 ， 即 ， ∴ ， 整理，得 ．解得 ， ． 当 m＝3 时，△＝ ； 当 m＝-11 时，△＝ ，方程无实数根． ∴ m＝-11 不合题意，应舍去． ∴ m 的值为 3． 14. 【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得 m≤4； （2）根据题意得 x1+x2=6，x1x2=2m+1， 而 2x1x2+x1+x2≥20， 所以 2（2m+1）+6≥20，解得 m≥3， 而 m≤4， 所以 m 的范围为 3≤m≤4． 15. 【答案与解析】 17 8k≤ =1 2k 或 ， =2k 0=k- 1 k- 2 1 2 2 mx x+ = 1 2 1 2 2 mx x −= 2 2 1 2 29 4x x+ = 2 1 2 1 2 29( ) 2 4x x x x+ − = 2 1 2 2922 2 4 m m−  − =    2 8 33 0m m+ − = 1 3m = 2 11m = − 2 8(2 1) 49 0m m+ − = > 2 8(2 1) 63 0m m+ − = −