导学案一元二次方程的应用

1 导学案一元二次方程的应用 【学习目标】 1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般 步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 【要点梳理】 要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 　　　答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题； 　　　二是把握问题中的等量关系； 　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是 0、1、2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. 　　(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差 1. 　　　 如：三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1. 　　　 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 2. 　　　 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-2，x+2. 2.平均变化率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或 降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　　平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题： 　　平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) (1 )na x b+ = (1 )na x b− =2 3.利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 5.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据 图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 要点诠释： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对 实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 【典型例题】 类型一、数字问题 1.（2015 春•兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是 143，求这两个数． 【答案与解析】 解：设这两个连续奇数为 x，x+2， 根据题意 x（x+2）=143， 解得 x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13， 则当 x=﹣13 时，x+2=﹣11． 答：这两个数是﹣13，﹣11． 故答案为：﹣13，﹣11．3 【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的 关键． 　 类型二、平均变化率问题 2. （2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进 入普通家庭，抽样调查显示，截止 2015 年底某市汽车拥有量为 16.9 万辆．己知 2013 年底该市汽车拥有 量为 10 万辆，设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意列方程得（　　） A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 【思路点拨】根据题意可得：2013 年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015 年底某市汽车拥有量，根 据等量关系列出方程即可． 【答案】A． 【解析】 解：设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x， 根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9， 故选：A．　　　 【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变 化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 举一反三： 【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患 流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000 【答案】 设每人每轮传染 x 人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12 舍去， 第三轮传染后患流感人数为 121(1+10)＝1331 人． 类型三、利润（销售）问题 3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间， 但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按 市场价收购了这种活螃蟹 1000kg 放养在塘内，此时市场价为 30 元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市 场价每天可上升 1 元，但是，放养一天各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 kg 的蟹死去，假定死 蟹均于当天全部售出，售价都是 20 元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利 6250 元，那么他应放养 多少天后再一次性售出? 【答案与解析】 解：设经销商放养的活蟹时间定为 x 天较为合适． 根据题意，得 20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250， 整理，得 x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25． 答：经销商放养 25 天后，再一次性售出可获利 6250 元． 【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干 个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数 x 与死蟹销售资金、x 天后 活蟹的价格、x 天后活蟹的剩余量及 x 天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几 个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破． 举一反三：4 【高清 ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：销售问题---例 6】 【变式】（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元． 【答案】 解：∵降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=50﹣x， 由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100， 化简得：x2﹣35x+300=0， 解得：x1=15，x2=20， ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选 x=20， 答:每件商品降价 20 元时，商场日盈利可达到 2100 元. 类型四、行程问题 【高清 ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：行程问题---例 8】 4. 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹 车后又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）？ 【答案与解析】 解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者 的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这 段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即 ，于是刹车到停车 的时间为“行驶路程 平均车速”， 即 ． （2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度 末速度） 车速变化时间”， 即 ． （3）设刹车后汽车行驶到 15m 用了 s，由（2）可知，这时车速为 ．这段路程内的 平均车速为 ，即 ． 由速度×时间=路程，得 ． 解方程，得 ． 20 0 10( / )2 m s + = ÷ 25 10 2.5( )s÷ = − ÷ 220 0 8( / )2.5 m s − = x (20 8 ) /x m s− 20 (20 8 ) ( / )2 x m s + − (20 4 ) /x m s− (20 4 ) 15x x− = 5 10 2x ±=5 根据问题可知， ，即 x＜5，又 x＜2.5；所以 ． 刹车后汽车行驶到 15m 时约用了 0.9 s． 【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题. 20 4 0x− > 5 10 0.92x −= ≈6 【巩固练习】 一、选择题 1. （2016•台州）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中 符合题意的是（　　） A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 2．上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a%后售价为 128 元，下列所列方程中正确的是 ( ) A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝128 3．从一块长 30cm，宽 12cm 的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积 为 296cm2，则截去小正方形的边长为 ( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 4．甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地相向而行，甲先行 1 小时后，乙才出发，又经过 4 小时两人在途中 的 C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由 C 地到达 A 地的途中因故停了 20 分钟，结果 乙由 C 地到达 A 地时比甲由 C 地到达 B 地还提前了 40 分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4 千米，则甲、 乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时. A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,24 5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为 200 千克，出油率为 50％(即每 100 千克花生可加工成花 生油 50 千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132 千克，其中花生出油率 的增长率是亩产量的增长率的 ．则新品种花生亩产量的增长率为 ( ) 　A．20％ 　　　B．30% 　　　C．50%　　　 D．120% 6．从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里 剩下纯酒精 5 升．则每次倒出溶液的升数为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 二、填空题 7．某公司在 2009 年的盈利额为 200 万元，预计 2011 年盈利额将达到 242 万元，若每年比上一年盈利 额增长的百分率相同，那么该公司在 2010 年的盈利额为________万元． 8．有一间长 20 m，宽 15 m 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周 未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________． 9．一块矩形耕地大小尺寸如图 1 所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖 3 条和 4 条水渠．如果 水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为 8700m2，那么水渠应挖的宽度是 米. 7 10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是 8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两 位数乘原来的两位数就得 1855，则原来的两位数是 ． 11．某省十分重视治理水土流失问题，2011 年治理水土流失的面积为 400 km2，为了逐年加大治理力度， 计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到 2013 年年底，使这三 年治理水土流失的面积达 1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数 是 ． 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD 为 BC 边上的高．动点 P 从点 A 出发，沿 A→D 方向以 cm/s 的速度向点 D 运动．设△ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0＜t＜8），则 t=　 秒时，S1=2S2． 三、解答题 13．（2016•百色）在直角墙角 AOB（OA⊥OB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角 墙角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块，若只选 其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？ 14.（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各 围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC 是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由 A 点以 2cm/s 的速度向 B 爬行，同 时另一只蚂蚁由 O 点以 3 cm/s 的速度沿 OC 方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与 O 点组8 成的三角形的面积为 450cm2? 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A 【解析】∵有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为 x（x﹣1）， ∴共比赛了 45 场， ∴ x（x﹣1）=45， 故选 A． 2．【答案】B； 【解析】168 元降价 a%后的价格为 168(1-a%)元，再降价 a%后为 168(1-a%)(1-a%)元． 根据题意可列方程 168(1-a%)2＝128． 3．【答案】D； 【解析】设截去小正方形的边长为 x，则 30×12-4x2＝296，∴ x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4． 4.【答案】C； 【解析】设甲的速度为 x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时. 根据题意，得 解之,得 x1=16，x2=－2. 经检验：x1=16，x2=－2 都是原方程的根，但 x2=－2 不合题意，舍去. ∴当 x=16 时，x+4=20. 5．【答案】A； 【解析】设新品种花生亩产量的增长率为 x． . 6．【答案】D； 【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了． 1 2 16 ( ), =0.2=205x x= − 舍去 ％9 若设每次倒出 x 升，则第一次倒出纯酒精 x 升， 第二次倒出纯酒精（ ·x）升． 根据 20 升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 20－x－ ·x＝5． 二、填空题 7．【答案】220. 【解析】 方法一，设增长的百分率为 x，则 2010 年盈利额为 200(1+x)万元，2011 年的盈利额为 200(1+x)2 万元，依题意得 200(1+x)2＝242．解得 x1＝10%，x2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝ 220． 方法二，设 2010 年的盈利额为 x 万元，则 2010 年增长的百分率为 ， 2011 年增长的百分率为 ，由增长率相同可列方程 ， 解得 x1＝220，x2＝-220(舍去) 8．【答案】2.5m. 【解析】设留空的宽度为 x m，则 ，解得 x1＝15(舍去)， ． 9．【答案】1. 【解析】如图 2 所示设水渠的宽度为 xm，即可耕土地的长 为(120-4x)m，宽为(78-3x)m． (120-4x)(78-3x)＝8700， 即 x2-56x+55＝0， 解得 x1＝1，x2＝55． 当 x＝55 时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x＝1． 答：水渠应挖 1m 宽． 10．【答案】35 或 53． 【解析】设原两位数的十位数字为 x，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855． 化简得 x2-8x+15＝0， 解之得：x1＝3，x2＝5． 经检验，x1＝3，x2＝5 都符合题意． 答：原两位数是 35 或 53． 11．【答案】10%． 【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为 x， 依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324． 即 100x2+300x-31＝0． 解得 x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合题意，舍去)． 答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为 10%． 12.【答案】6　. 【解析】∵Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD 为 BC 边上的高， 20 20 x− 20 20 x− 200 100%200 x − × 242 100%x x − × 200 242 200 x x x − −= 1(15 2 )(20 2 ) 20 152x x− − = × × 2 5 2x =10 ∴AD=BD=CD=8 cm， 又∵AP= t， 则 S1= AP•BD= ×8 × t=8t，PD=8 ﹣ t， ∵PE∥BC， ∴△APE∽△ADC， ∴ ， ∴PE=AP= t， ∴S2=PD•PE=（8 ﹣ t）• t， ∵S1=2S2， ∴8t=2（8 ﹣ t）• t， 解得：t=6． 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）设这地面矩形的长是 xm，则依题意得： x（20﹣x）=96， 解得 x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是 12 米； （2）规格为 0.80×0.80 所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）． 规格为 1.00×1.00 所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）． 因为 8250＞7680， 所以采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少． 14. 【答案与解析】 解：（1）设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得 （ ）2+（ ）2=58， 解得：x1=12，x2=28， 当 x=12 时，较长的为 40﹣12=28cm， 当 x=28 时，较长的为 40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成 12cm 和 28cm 的两段； （2）李明的说法正确．理由如下： 设剪成的较短的这段为 mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得 （ ）2+（ ）2=48， 变形为：m2﹣40m+416=0， ∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根， ∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2． 15. 【答案与解析】 (1)当蚂蚁在 AO 段时，设离开 A 点 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450cm2．11 根据题意，得 ． 整理得： ， 解得 t1＝10，t2＝15． (2)当蚂蚁爬完 AO 这段距离用了 后，开始由 O 向 B 爬行，设从 O 点开始 x s 后组成的 三角形的面积是 450 cm2，根据题意，得： ， 整理得 x2+25x-150＝0，解得 x1＝5，x2＝-30(舍去)． 当 x＝5 时，x+25＝30．这时蚂蚁已由 A 点爬了 30s． 答：分别在 10s，15s，30s 时，两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450cm2． (50 2 ) 3 4502 t t− = 2 25 150 0t t− + = 50 252 s= 2 3( 25) 4502 x x + =