《一元二次方程》全章复习与巩固

1 《一元二次方程》全章复习与巩固 【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程； 其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最 高次数为 2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0． 要点二、一元二次方程的解法2 1．基本思想 一元二次方程 一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的 根的判别式，通常用“ ”来表示，即 . （1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； （2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根； （3）当△ 13 12k < 13 12k < 1 2 2 3 01 kx x k −+ = − =− 3 2k = 3 2k =7 【巩固练习】 一、选择题 1. 关于 x 的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是 0，则实数 a 的值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.－1 或 1 2．已知 a 是方程 x2+x﹣1=0 的一个根，则 的值为（　　） A. B. C.﹣1 D.1 3．（2015•德州）若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（　　） 　 A．a＜1 B． a≤4 C． a≤1 D． a≥1 4．已知关于 的方程 有实根，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 5．如果是 、 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A．1 B．17 C．6.25 D．0.25 6．（2016•台州）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符 合题意的是（　　） A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 7. 方程 x2+ax+1=0 和 x2-x-a=0 有一个公共根，则 a 的值是(　　) 　　A．0 　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 8. 若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，且满足 ． 则 k 的值为（　　） A.－1 或 　 B.－1　 C. 　 D.不存在 二、填空题 9．关于 x 的方程 的解是 x1=－2， x2=1（ a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 的解是 . 10 ． 已 知 关 于 x 的 方 程 x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2) ＝ 0 有 实 根 ， 则 a 、 b 的 值 分 别 为 ． 11．已知α、β是一元二次方程 的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________． 12．当 m=_________时，关于 x 的方程 是一元二次方程；当 m=_________时，此方 程是一元一次方程. 13．把一元二次方程 3x2-2x-3=0 化成 3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式 x2-ax+2a-3 是一个 2 2 2 1 1a a a −− − 1 5 2 − + 1 5 2 − ± x 2( 2) 2 3 0m x mx m− + + + = m 2m ≠ 6m ≤ 2m ≠ 6m < 6m ≤ α β 22 3 4x x+ = 2 2α β+ 2( ) 0a x m b+ + = 2( 2) 0a x m b+ + + = 2 4 3 0x x− − =8 完全平方式，则 a=_________. 14．（2015•绥化）若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x﹣1=0 无解，则 a 的取值范围是　　. 15．已知 ，那么代数式 的值为________. 16．当 x=_________时， 既是最简二次根式，被开方数又相同.　　　 三、解答题 17. （2016•南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+（2m+1）=0 有实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2+x1+x2≥20，求 m 的取值范围． 18．设(a，b)是一次函数 y＝(k-2)x+m 与反比例函数 的图象的交点，且 a、b 是关于 x 的一元二次 方程 的两个不相等的实数根，其中 k 为非负整数，m、n 为常数． （1）求 k 的值； （2）求一次函数与反比例函数的解析式． 19.长沙市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购 房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4050 元 的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打 9.8 折销售； ②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1.5 元，请问哪种方案更优惠? 20．已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成，共需工程费用 13 800 元，乙队单独完成这项工程 所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 2 倍少 10 天，且甲队每天的工程费用比乙队多 150 元. (1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？ (2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该 选择哪个工程队？请说明理由. 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A； 【解析】先把 x＝0 代入方程求出 a 的值，然后根据二次项系数不能为 0，把 a＝1 舍去． ny x = 2 2( 3) ( 3) 0kx k x k+ − + − =9 2．【答案】D； 【解析】先化简 ，由 a 是方程 x2+x﹣1=0 的一个根，得 a2+a﹣1=0，则 a2+a=1， 再整体代入即可． 解：原式= = ， ∵a 是方程 x2+x﹣1=0 的一个根， ∴a2+a﹣1=0， 即 a2+a=1， ∴原式= =1． 故选 D． 3．【答案】C； 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程有实根， ∴ △=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得 a≤1． 故选 C． 4.【答案】D； 【解析】△≥0 得 ，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根. 5．【答案】C； 【解析】 . 6.【答案】A． 【解析】∵有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为 x（x﹣1）， ∴共比赛了 45 场， ∴ x（x﹣1）=45， 故选 A． 7．【答案】C； 【解析】提示：先求公共根 m=-1,再把这个公共根 m=-1 代入原来任意一个方程可求出 a=2. 8．【答案】C； 【解析】由题意，得： . 二、填空题 9．【答案】x1=﹣4，x2=﹣1． 【解析】解：∵关于 x 的方程 a（x+m）2+b=0 的解是 x1=﹣2，x2=1，（a，m，b 均为常数，a≠0）， ∴则方程 a（x+m+2）2+b=0 的解是 x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1． 2 2 2 1 1a a a −− − 2 ( 1) ( 1)( 1) a a a a a − + + − 1 ( 1)a a + 1 ( 1)a a + 6m ≤ 2 2+ = + - =6.25α β α β αβ2（ ） 2 2 2 1 2 1 2 1 1 = 1 k k k k kx x x x k    = − = − + =  = −  4≤≥0 4 35 当 时，不符合 ≤ ， 舍去，故 3 5 4或 410 故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1． 10.【答案】a＝1， ． 【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a2+4ab+4b2+2) ＝4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8) ＝-8a2-16ab-16b2+8a-4 ＝-4(2a2+4ab+4b2-2a+1) ＝-4[(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1)]． ＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]． 因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0， (a+2b)2+(a-1)2≤0， 又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0， ∴ a-1＝0 且 a+2b＝0， ∴ a＝1， ． 11．【答案】-6； 【解析】∵ α、β是一元二次方程 的两实数根， ∴ α+β＝4，αβ＝-3． ∴ ． 12．【答案】-3； ． 13．【答案】 ；2 或 6. 【解析】即 .a=2 或 6. 14.【答案】a＜﹣1； 15.【答案】-2； 【解析】原方程化为： . 16.【答案】-5； 【解析】由 x2+3x=x+15 解出 x=-5 或 x=3, 当 x=3 时， 不是最简二次根式，x=3 舍去.故 x=-5. 三、解答题 17.【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得 m≤4； （2）根据题意得 x1+x2=6，x1x2=2m+1， 而 2x1x2+x1+x2≥20， 1 2b = − 1 2b = − 2 4 3 0x x− − = ( 3)( 3) 3( ) 9 3 3 4 9 6α β αβ α β− − = − + + = − − × + = − 2(- ) 2 32 a a= −11 所以 2（2m+1）+6≥20，解得 m≥3， 而 m≤4， 所以 m 的范围为 3≤m≤4． 18. 【答案与解析】 (1)因为关于 x 的方程 有两个不相等的实数根， 所以 解得 k＜3 且 k≠0， 又因为一次函数 y＝(k-2)x+m 存在，且 k 为非负整数，所以 k＝1． (2)因为 k＝1，所以原方程可变形为 ，于是由根与系数的关系知 a+b＝4，ab＝-2， 又当 k＝1 时，一次函数 过点(a，b)，所以 a+b＝m，于是 m＝4，同理可得 n＝-2， 故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为 与 ． 19. 【答案与解析】 (1)设平均每次下调的百分率是 x． 依题意得 5000(1-x)2＝4050． 解得 x1＝10%，x2＝ (不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为 10%． (2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)； 方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元) ∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优惠. 20. 【答案与解析】 (1) 设甲队单独完成需 x 天，则乙队单独完成需要(2x－10)天. 根据题意,有 ， 解得 x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3 不符题意舍去.故 x=20. ∴乙队单独完成需要 2x－10=30(天). 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要 20 天、30 天. (2) 设甲队每天的费用为 y 元，则由题意有 12y+12(y－150)=138 000，解得 y=650 . ∴ 选甲队时需工程费用 650×20=13 000，选乙队时需工程费用 500×30=15 000. ∵ 13 000 △ 2 4 2 0x x− − = y x m= − + 4y x= − + 2y x = − 19 10 1 1 1 2 10 12x x + =−