导学案——图形的相似及相似图形的性质

1 导学案——图形的相似及相似图形的性质 【学习目标】 1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运 算求值； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及 相似图形的性质. 【要点梳理】 要点一、相似图形 1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形. 要点诠释： 　 (1) 相似图形对应线段的比叫相似比； (2) 相似图形的周长比等于相似比； （3）相似图形的面积比等于相似比的平方. 要点二、比例线段 1．两条线段的比： 在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比. 2．成比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d， 我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： 如果 那么 ad=bc. 要点诠释： （1）a，b，c，d 叫做这个比例的项，a，b 叫做比例外项，b，c 叫做比例内项. （2）若 a:b=b:c，则 b2=ac（b 称为 a,c 的比例中项） 4．比例的性质： （1）合分比性质：如果 那么 ； （2）等比性质：如果 （b+d+……+n≠0），那么 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm　　　 B．4cm、8cm、3cm、5cm　　 C．5cm、15cm、2cm、6cm　　　　D．8cm、4cm、1cm、3cm 【答案】C. 【解析】四个选项中只有 ，故选 C. 【总结升华】根据成比例线段的定义. 举一反三： 【变式】判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：　　 (1)a=4，b=6，c=5，d=10；　　 b c ,a d = a c ,b d = a b c d b d ± ±= a c m......b d n = = = a c ...... m a .b d ...... n b + + + =+ + +2 (2)a=2，b= ，c= ，d= ． 【答案】(1) ∵　 ， ， 　　　　 ∴　 ，　　　　　　 ∴　线段 a、b、c、d 不是成比例线段．　　　 　(2) ∵　 ， ，　　　　　 　 ∴　 ，　　　　　　 ∴　线段 a、b、c、d 是成比例线段． 2.已知线段 a、b、c 满足 a：b：c=3：2：6，且 a+2b+c=26． （1）求 a、b、c 的值； （2）若线段 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 的值． 【答案】解：（1）∵a：b：c=3：2：6， ∴设 a=3k，b=2k，c=6k， 又∵a+2b+c=26， ∴3k+2×2k+6k=26，解得 k=2， ∴a=6，b=4，c=12； （2）∵x 是 a、b 的比例中项， ∴x2=ab， ∴x2=4×6， ∴x=2 或 x=﹣2 （不合题意，舍去）， 即 x 的值为 ． 【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便． 3. （2016•洪泽县一模）已知 = ，则 =　 　． 【思路点拨】由 = ，则可设 x=2k，y=3k，然后把 x=2k，y=3k 代入原式进行分式的运算 即可． 【答案与解析】解：∵ = ， ∴设 x=2k，y=3k， ∴原式= = ． 故答案为 ． 【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比 性质；等比性质．3 举一反三： 【变式】已知 xyz≠0 且 =k，求 k 的值． 【答案】解:∵xyz≠0 ∴x≠0，y≠0，z≠0， ①当 x+y+z≠0 时，∵ =k， ∴k=2; ②当 x+y+z=0 时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x, ∴k=-1. 综上所述，k=2 或-1. 类型二、相似图形 4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________： 　　(1)两个腰长不等的等腰三角形 　　(2)两个半径不等的圆 　　(3)两个面积不等的矩形 　　(4)两个边长不等的正方形 【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 【答案】(2) (4). 【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似； (3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比 不一定相等，所以无法确定它们一定相似； (2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形， 是相似形. 【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对 应角相等，对应边的比相等”来识别. 举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍， 并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是 1:2，虽然它 们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 类型三、相似多边形 x y z x y z z y x + + += = x y z x y z z y x + + += =4 5.如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个 菱形 AEFG，且菱形 AEFG∽菱形 ABCD，连接 EB，GD． （1）求证：EB=GD； （2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求 GD 的长． 【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可 证得两条线段相等； （2）连接 BD 交 AC 于点 P，则 BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到 然后求得 EP=2 ，最后利用勾股定理求得 EB 的长即可求得线段 GD 的长即可． 【答案与解析】（1）证明：∵菱形 AEFG∽菱形 ABCD， ∴∠EAG=∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB=∠GAD， ∵AE=AG，AB=AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB=GD； （2）解：连接 BD 交 AC 于点 P，则 BP⊥AC， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BP= AB=1， AP= = ，AE=AG= ， ∴EP=2 ， ∴EB= = = ， ∴GD= ． 【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的 比相等，对应角相等． 1 12BP AB= = ，5 【巩固练习】 一．选择题 1. 在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上，相距 3cm 的两地，它们的实际距离为 （　　） 　　A.3km　　B.30km　　C.300km　　D.3 000km 2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （　　） 　 A. ＝2， ＝4， ＝3， ＝6　　B. ＝ ， ＝ ， ＝1， ＝ C. ＝6， ＝4， ＝10， ＝5 D. ＝ ， ＝2 ， ＝ ， ＝2 3. 下列命题正确的是(　　) 　　A．所有的等腰三角形都相似 　　　B．所有的菱形都相似 　　C．所有的矩形都相似 　　　　　　D．所有的等腰直角三角形都相似 4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼 上的点(a，b)对应大鱼上的点(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A．(-2a，-2b)　　　 B．(-a，-2b)　　　 C．(-2b，-2a) 　　　D．(-2a，-b) 5.（2016•兰州模拟）若 a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（　　） A．2a=3b B．3a=2b C． D． 6.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） 　 A． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 　 B． 图形中线段的长度与角的大小都会改变 　 C． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 　 D． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 二. 填空题 7. （2016•常州）在比例尺为 1：40000 的地图上，某条道路的长为 7cm，则该道路的实际 长度是　 　km． 8. 若 ，则 ________ 9．已知若 若 : =___. 10.（2015•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为 25m．在图纸上，这条边的 长为 5cm，其他两条边的长都为 4cm，则其他两边的实际长度都是　　m． a b c d a b c d a b c d a b c d - 3= , =____;4 x y x y y 则 5 -4 =0,x y 则 x y6 11. 用一个放大镜看一个四边形 ABCD，若四边形的边长被放大为原来的 10 倍，下列结论① 放大后的∠B 是原来∠B 的 10 倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应 角相等， 则正确的有 . 12. 如图：梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB,若 AD=3，BC=4，则 三 综合题 13.如果 ，一次函数 经过点 （-1,2）， 求此一次函数解析式. 14.一个矩形 ABCD 的较短边长为 2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形 ABCD 的另一边长为 4，剪去一个矩形 ABEF 后，余下的矩形 EFDC 与原矩形相似，求余下矩形 EFDC 的面积． 　　 15. (2015.新宾县模拟)如图：矩形 ABCD 的长 AB=30，宽 BC=20． （1）如图（1）若沿矩形 ABCD 四周有宽为 1 的环形区域，图中所形成的两个矩形 ABCD 与 A′B′C′D′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 A′B′C′D′相似？ ______.AE BE = a b c d kb c d a c d a b d a b c = = = =+ + + + + + + + y kx m= +7 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B． 【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺． 2．【答案】C． 【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它 们是否成比例． 3．【答案】 D 4．【答案】 A 【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为 1：2，若将小鱼放大 1 倍，则小鱼和大鱼 关于原点对称. 5.【答案】B 【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误； B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确； C、 = ⇒b：a=2：3，故选项错误； D、 = ⇒a：b=4：3，故选项错误． 故选 B． 6．【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等， ∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选 D． 二、填空题 7.【答案】2.8 【解析】设这条道路的实际长度为 x，则： ， 解得 x=280000cm=2.8km．8 ∴这条道路的实际长度为 2.8km． 故答案为：2.8 8.【答案】 【解析】由 可得 ，故填 . 9.【答案】 10.【答案】20. 【解析】设其他两边的实际长度分别为 xm、ym， 由题意得， = = ， 解得 x=y=20． 即其他两边的实际长度都是 20m． 11.【答案】 ③ 12.【答案】 . 【解析】因为梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB，所以 ,即 EF= , 所以 三、 解答题 13.【解析】∵ ∴ ∴ 则分两种情况：（1） ，即 , (2) ,即 所以当 ，过点（-1,2）时， 当 ，过点（-1,2）时， . 14.【解析】解：（1）由已知得 MN=AB=2，MD= AD= BC， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， = ， ∴DM•BC=AB•MN，即 BC2=4， 7 4; .4 5 3 2 AD EF EF BC = 2 3 3 3 .22 3 AE AD BE EF = = = a b c d kb c d a c d a b d a b c = = = =+ + + + + + + + +1= +1= +1= +1= +1+ + + + + + + +c a b c d kb c d a c d a b d a b + + + + + + + + + + + += = = = +1+ + + + + + + +c a b c d a b c d a b c d a b c d kb c d a c d a b d a b + + + =0a b c d +1=0k =-1k + + = + + = + + = + +b c d a c d a b d a b c = = = ,a b c d 1= 3k则 =-1k =- +1y x 1= 3k 1 7= +3 3y x9 ∴BC=2 ，即它的另一边长为 2 ； （2）∵矩形 EFDC 与原矩形 ABCD 相似， ∴ = ， ∵AB=CD=2，BC=4， ∴DF= =1， ∴矩形 EFDC 的面积=CD•DF=2×1=2． 15.【解析】 解：（1）不相似， AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18， 而 ≠ ； （2）矩形 ABCD 与 A′B′C′D′相似，则 = ， 则： = ， 解得 x=1.5， 或 = ， 解得 x=9．